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1、一、多元函数的概念,二、二元函数的极限,三、二元函数的连续性,第九章 多元函数微分学,第一节 多元函数的概念 二元函数的极限和连续性,一、多元函数的概念,1.二元函数的定义,设有三个变量 x,y 和 z,如果当变量 x,y 在一定范围内任意取定一对数值时.,变量 z 按照一定的规律 f,总有确定的数值与它们对应，,则称 z 是 x,y 的二元函数，,记为,定义 1,自变量 x、y 的取值范围称为函数的定义域.,其中 x,y 称为自变量，,z 称为因变量,二元函数在点(x0,y0)所取得的函数值记为,例 4,以及 n 元函数 u=f(x1,x2,xn)，,类似地，,可以定义三元函数 u=f(x,
2、y,z),多于一个自变量的函数统称为多元函数.,解,二元函数的定义域有时是由一条或几条曲线所围成的区域，用 D 表示.,2.二元函数的定义域,围成区域的曲线称为区域的边界，不包括边界的区域称为开区域.,连同边界在内的区域称闭区域，,如果一个区域可以被包含在一个以原点为圆心，适当长为半径圆内，则称此区域为有界区域.,求下列函数的定义域 D，,并画出 D 的图形：,应有,解,例 5,所以函数的定义域 D 是以 x=2,y=3 为边界的矩形闭区域.,x,y,O,3,2,-3,-2,(2)因为要使函数,应有,是有界区域.,所以函数定义域是以原点为圆心的环形区域，,即 1 x2+y2 4,x,y,2,1
3、,O,有意义，,设D 由 y=1,x=2,y=x 围成.,例 6,的不等式组来表示平面区域 D:,求形如,y=x,y=1,x=2,先做出区域 D 的图形，,直线 y=x,y=1 交于点(1,1).,y=x,y=2 的交点为(2,2).,解,再将 D 投影到 x 轴上，,得到区间 1,2，,则区域 D 内任一点的横坐标 x，,在 1,2 内任取一点 x，,作平行于 y 轴的直线，,由图可知，,对于所给的 x,D 内对应的纵坐标 y 满足：,因此区域 D 用形如 的不等式组表示为,若想把 D 用形如 的不等式组表示，,则将 D 投影到 y 轴上，,所以在 y 轴上得到区间 1,2.,因为直线 x=
4、2 与 y=x 的交点为(2,2)，,在区间 1,2 内任意取一点 y,作平行于 x 轴的直线，,由图可知对于所给的 y，,D 内对应点的横坐标 x 满足,故 D 用形如 的不等式组表示为,则称 A 为函数 z=f(x,y)当 时的极限，,二、二元函数的极限,设函数 z=f(x,y)在点 P0(x0,y0)的某一邻域内有定义(点 P0 可以除外)，,如果当点 P(x,y)无限地接近于点 P0(x0,y0)时，,记为,定义 2,恒有,例 8,令 u=x2+y2，,有时可以转化成一元函数的极限问题.,二元函数的极限问题,解,例 9,当(x,y)沿 y 轴趋向于原点，,解,考察函数,即当 y=k x
5、，,但是，当点(x,y)沿着直线 y=k x(k 0)趋向于点(0,0)时，,而当点(x,y)沿 y 轴趋向于原点，,有,随着 k 的取值不同，,时，,且等于它在点 P0 处的函数值，,设函数 z=f(x,y)在点 P0(x0,y0)的一个邻域内有定义，,如果当点 P(x,y)趋向于点P0(x0,y0)时，,函数 z=f(x,y)的极限存在，,1.二元函数的连续定义,三、二元函数的连续性,定义 3,则称函数 z=f(x,y)在点 P0(x0,y0)处连续.,因此，可以改写成,函数 z=f(x,y)的全增量，,即,设函数 z=f(x,y)在点 P0(x0,y0)的一个邻域内有定义，,若当自变量 x,y 的增量 x,y 趋向于零时，,则称函数 z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续.,定义 4,对应的函数的全增量 z 也趋向于零，,即,所以 又可改写成：,如果函数 z=f(x,y)在区域 D 内各点都连续，,则称函数 z=f(x,y)在区域 D 内连续.,2.有界闭区域上连续函数的性质,1 最大值最小值定理,在有界闭区域上连续的二元函数在该区域上一定能取得到最大值和最小值.,2 介值定理,在有界闭区域上连续的二元函数必能取得介于它的两个不同函数值之间的任何值至少一次,
