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1、2023/6/2,1,第二节 二重积分的计算方法,第八章,(Calculation of Double Integral),一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,三、小结与思考练习,2023/6/2,2,解法:类似定积分解决问题的思想:,复习.求曲顶柱体的体积 I,给定曲顶柱体:,底：xoy 面上的闭区域 D,顶:连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线,母线平行于 z 轴的柱面求体积.,“大化小,常代变,近似和,求极限”,2023/6/2,3,复习：直角坐标系情形:,若积分区域为,则,若积分区域为,则,2023/6/2,4,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解:为计算简便,
2、先对 x 后对 y 积分,及直线,则,例1 计算,2023/6/2,5,一、利用极坐标计算二重积分,对应有,在极坐标系下,用同心圆 r=常数,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,在,内取点,及射线=常数,分划区域D 为,2023/6/2,6,即,则,设,2023/6/2,7,2023/6/2,8,其中D 为由圆,所围成的,及直线,解：,平面闭区域.,例3.计算,2023/6/2,9,特别地,对,若 f 1 则可求得D 的面积,2023/6/2,10,思考:下列各图中域 D 分别与 x,y 轴相切于原点,试,答:,问 的变化范围是什么?,(1),(2),2023/6/2,11,其中,解:在极
3、坐标系下,原式,的原函数不是初等函数,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,例4 计算,2023/6/2,12,利用例4可得到一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的反常积分公式,事实上,当D 为 R2 时,利用例6的结果,得,故式成立.,注:,2023/6/2,13,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解:设,由对称性可知,例5 求球体,2023/6/2,14,内容小结,直角坐标系情形:,若积分区域为,则,若积分区域为,则,2023/6/2,15,则,极坐标系情形:若积分区域为,2023/6/2,16,课外练习,习题82 第二次作业 7（1）（2）(4)；8；11;12(选做),
