可靠性毕业论文正文.docx

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1、摘要1关键词指数分布；可靠性；步加试验；极大似然估计；BAYES估计； 1引言1第一章可靠性的基础21.1可靠性的基本概念21.2指数分布21.2.1指数分布的实际背景21.2.2指数分布的定义及其可靠性指标31.2.3指数分布的无记忆性31. 3 Gamma 分布4第二章：参数估计42.1. 未知参数的点估计的常用方法42.2. 参数点估计的矩估计法52.3. 参数点估计的最大似然计法62.4. 指数分布的应用7第三章：指数分布下的步加寿命试验103.1.假定和引理103.2步加试验的贝叶斯估计113.3模拟比较12致谢14参考文献14英文摘要15Abstract：15KEYWORDS:15

2、附录：程序部分16指数分布及其在可靠性中的应用作者：*1指导老师：*（*大学理学院信息与计算科学专业学号：*）摘要 本文首先介绍了可靠性的基本概念及两种常用的寿命分布：指数分布和 Gamma分布。研究了指数分布的一个重要的性质：指数分布的无记忆性。其次， 介绍了两种重要的参数估计方法：矩估计和最大似然估计，并给出了指数分布场 合三种系统的可靠性指标。最后，我们研究了CE模型下指数分布场合步进应力加 速寿命试验的一种基于Gibbs抽样的Bayes估计。通过模拟例子表明该算法比最大 似然估计更加有效。关键词 指数分布；可靠性；步加试验；极大似然估计；Bayes估计；引言加速寿命试验是指，在超过使用

3、环境条件的应力水平下对样品进行的寿命试 验。这种试验的特点是：选择一些比正常使用环境恶劣的应力水平，又称为加速 应力水平，在这些加速应力水平下进行寿命试验。由于产品的试验环境变得恶劣， 从而加速了产品失效，缩短了试验时间。本文首先讨论了指数分布的概念、性质及它的应用，讨论了步加试验数据的 统计分析方法，对定数截尾情况下的步加试验数据给出了一种统计分析方法，提 出了极大似然估计方法，但论述区间估计的很少，参数估计的分布。在评定高可靠性、长寿命产品的可靠性时，步进应力加速寿命试验（简称步 加试验，参见文献（1, 2）是一种重要试验。近年来，已有一些文献讨论了步加试 验数据的统计分析方法。在点估计方

4、面，文献3 在指数分布场合给出了定数截 尾样本的统计分析方法，文献4 则对定数截尾情况下的步加试验数据给出了一 种优于文献3 的统计分析方法。文献8给出了指数分布场合下步进应力加速寿 命试验定时和定数截尾的MLE的存在和唯一的充要条件，然后给出了正常应力下 平均寿命的近似置信区间。并且做了模拟比较，得到其真值覆盖率较好。文献5 给出了定数截尾情况下指数分布场合的步加试验的Bayes方法，主要采用带约束 参数的方法。文献6给出了定数截尾情况下指数分布步加试验的一种近似Bayes1 1作者简介：论文完成时间：2007年5月20日方法。本文给出了 CE模型下指数分布场合步进应力加速寿命试验的一种Ba

5、yes估计 方法。其算法主要是对完全后验分布采用了抽样方法，再利用Gibbs抽样(可参见 文献7)对参数进行迭代。最后利用随机模拟的方法，对基于Gibbs抽样的Bayes 估计和最大似然估计进行了比较分析，得出基于Gibbs抽样的Bayes估计比最大似 然估计更加有效。第一章可靠性的基础1.1可靠性的基本概念在可靠性研究中，人们主要关心产品的使用寿命，即产品能保持完成其规定 功能的正常工作时间。由于产品寿命是随机的，因此无法直接用寿命作为指标来 度量产品的可靠性。为了定量描述产品可靠性，人们从不同角度定义了各种产品 的可靠性指标。为此，我们引入了可靠度函数。在实际中，产品在0,1时间内正常工作

6、的概 率为R(t) = P(T t)(1.1)则称R(t)为产品在时刻t的可靠度函数，简称可靠度。由于R(t) = 1 - F(t)，因此可 靠度函数R(t)具有下列性质1) 0 R(t) 1,0 0)小时的电子管，在以后At小时内失效的概率为XAt +。(At)，其中人是不依赖于t的正数，假定电子管寿命为零的概率是零，现 在研究电子管在t0小时内失效的概率。设T为电子管的寿命，T的分布函数为F(x).则P(t T t)=竭 +o(At)P (t T t)=AAt + o (At)P (T t)P (t v T t)F (t + At) - F (t)=AAt + o (At)1 - F (t

7、)F (t + At)-F (t)= 1 - F (t胪 + 性AtAt令 At 0,得 F(t) = X 1 - F(t)故J* = J1 - F (t)ln1 F (t) = X t + c 1，1 - F (t) = ce-X 由 F (0) = 0,得 c = 1,故 t 0,有 F (t) = 1 - e-X.1.2.2指数分布的定义及其可靠性指标在可靠性理论中，特别是在电子产品的可靠性研究中。指数分布是最基本、 最常用的寿命分布，它的密度函数f (t) = Xe-Xt , t 0(1.2)式中X为非负参数。其分布函数和可靠度函数分别为F(t) = 1 -e-Xt,t 0(1.3)R

8、(t) = e-舄,t 0(1.4)由式(1.2)可知，若产品寿命服从指数分布，其失效率是常数，即X (t) = X(1.5)其他可靠性指标还有平均寿命、方差、可靠寿命、特征寿命，他们分别是：平均寿命0 = 1/X；方差Var(T) = 1/X2 ；可靠寿命t = -(ln r)/X ;特征寿命t = 1/X,它与re-1平均寿命相等。1.2.3指数分布的无记忆性设随机变量X服从参数为人的指数分布，则对任意的实数S 0, t 0,有PX S +11 X s = PX t证明：由条件概率定义可知PX s +11 X s = PX s +1，X sPX sPX s +1PX sXe -&dxs+t

9、J*le -Xxdxse-X( s+t)=e -Xte -Xs=PX t1. 3 Gamma 分布称随机变量T服从Gamma分布。若T的密度函数Xaf (t) =1a-1e-Xt, t 0r(a)(1.6)式中a, X为参数，且a 0, X 0,记作Tr(a, X).当a =1时，f (t)为指数分布;当a为正整数时，f (t)为爱尔兰分布。Gamma分布的失效率函数为f (t)t a-ie-Xt/、X (t) = M =, t 0(1.7)R(t)j+81 a-ie -XtdttGamma分布的平均寿命与方差分别为E (t) = a, Var (T) = a(1.8)XX2特别，当a= 1,

10、r(1,X)就是参数X的指数分布Gamma分布是指数分布的一种推广。Gamma分布具有可加性，即：设X.服从Gamma分布r(a,X)，i = 1,2,n， 则 X1 + X2 + . + X 服从 Gamma 分布。 + . + a ,X)。第二章：参数估计2.1.未知参数的点估计的常用方法设总体分布的函数F3;。，,6 )形式为已知，6，,6是m个待估计的未知 1 m1 m参数，(X , X，,X )是来自X的一个容量为n的样本，3 , x，,x )是相应的一12n12 n个样本值。为要估计61,.,6m，需要构造m个适当的统计量(2.1)。1 =叩 XX 2,., Xn),且=62(X,

11、X2,.,X ),y =y (X,X2,.,X ),用它们的观测值6 (x ,x，,x ),6 (x ,x，,x ),.,6 (x ,x，,x )，分别作为未知112 n 212 nm 12 n参数61?62,.,6m的近似值，称6 (X , X，,X ),6 (X , X，,X ),.,6 (X , X，,X )为未知参数的估计量，称112n 212nm 12n6 (x ,x ,.,x ),6 (x ,x ,.,x ),.,6 (x ,x ,.,x )为6 ,6 ,.,6 的估计值。112 n 212 nm 12 n12 m2.2. 参数点估计的矩估计法设F(x;6),6 e0是总体X的分布

12、函数族，6 = g,.,6以)是m个待估计的未知参数，假设总体X的m阶矩存在。记总体X的*阶原点矩为r*，则巳二七(6,., 6 ) = EXk =M xkdF (x;6),1 k m对于样本(x 1,x2,.,x )，其样本矩是：气=1 11 Xk,1 kmn i=1以样本矩作为总体矩的估计，即令r (6，,6 )=1 X k,1 k 0,人 0.试求参数为人的矩估计。解：总体&的一阶矩为Eg = jg xf(x)dx = jg Xke 入dx = ； j te-tdt =:一80人0人此结果的意义是：若随机变量g表示产品的寿命，服从参数为人的指数分布， 则产品的平均寿命为I则有1 51 g

13、 E& ni=1解得(2.2)2.3. 参数点估计的最大似然计法设样本(X1,X2，., X)的联合密度函数P(x,0 ),其中0为未知参数对给定x,乙(0, x) = P (X, 0)为0的似然函数。若存在统计量#，使L(0 x) =max L(0, x)则称0为0的极大似然计(MLE)一般情况下，寻找MLE最常用的方法是解似然方程，即aln 0,x) = 0, i = 1,2,., k(2.3)i式中，k为未知参数0的个数。例2：设总体g服从参数为人的指数分布，其密度函数为:f (X；K) = Ke-Ax ,X 0,人 0.试求参数为人的极大似然估计量。解：我们知道人的似然函数为-匹L（人

14、）=H （Ke-料）=Xne 贸，则i=1ln L(K) = n InK KX &.i=1似然方程为竺户=n-芝&. =0,i=1解得：K = 2.(2.4)&2.4. 指数分布的应用假如一个电路系统有n个同种电路元件，其寿命分别为X1, X2，,X.，它们 独立同分布于参数为K 0的指数分布。情况一：电路串联，即当这n个元件都无故障时，电路正常工作，否则电路不能 正常工作。如下图1图1：串联系统假设电路正常工作的时间为X，X的分布函数Fx （x）为F ( x ) = P (X x ) = P(min(X, X，X ) x)=1 - P(X x, X x, :X x)=1 - P(X x)P(

15、X x) P(X x)=1 - 1-F (X)n=1 e - nXxX的概率密度函数PX (X)为p (x) = n1- F (x)n-1 p(x) = nXe-nXx可靠度函数为R (t) = e -nXtt 0平均寿命为0= 1/nX；方差为Var(T) = 1/(nX )2；可靠寿命为t = -(lnr)/nX; r特征寿命t = 1/nX,它与平均寿命相等。引情况二：电路并联，当这n个元件都坏了时，电路才不能工作。如下图2图2：并联系统X的分布函数FX (X)为F (x) = P(X x) = P(max(X,X，X ) x)=1 - P(X x, X X,，X X) =1 -P(X

16、x)P(X x)- P(X 0分布函数为F (t) = 1 e - nt 0可靠度函数为1R (t) = e - ntt 0平均寿命为0 = n /1；方差为Var (T) = (n )2；可靠寿命为t = n(ln r)/1;r特征寿命为t=n/1,匕与平均寿命相等。e-1情形三：冷贮备系统：当一个元件失效马上接上下一个元件，以保证系统能正常 工作，其系统的正常工作时间就是所有元件的正常工作时间总和。如下图3图3：冷贮备系统因为参数为人指数分布其实是服从参数为(1入)的分布(r(i,x)。r分布 的可加性可得由其系统工作时间x的概率密度函数为入n .,、CXn-ie-M, x 0,/、 p

17、(x) = r(n)(2.5)x 0, X 0,/.X的分布函数为Fx (x) = 0 r(n)(2.6)0, x 0,现在从参数为500的指数分布F(x;500)中产生容量分别为20、30、50、100的一组随机样本，考虑三种情况下系统的正常工作时间，见表1。表1：随机模拟下系统的正常工作时间样本容量n :工作时间t:串联系统并联系统冷贮备系统2025.57861.9949 x 1036.9016 x 1033035.31072.3096 x 1031.8744 x 104502.86042.3062 x 1032.7317 x 1041004.98352.2217 x 1035.4435

18、x 104第三章：指数分布下的步加寿命试验3.1.假定和引理在产品寿命服从指数分布的情况下，安排如下1) 确定正常应力水平S和k个加速应力水平S , S，,S ,这些应力水平一般满足012 kS0 S S2 . Sk(3.1)2) 从该批产品中随即选出n个样品，并分为k组，样本容量分别为n ,n，n (n + n +. + n = n),将第，组样品安排在应力水平S下进行寿命实验。12 k 12ki3) 在k个加速应力水平下分别进行定数或定时截尾寿命实验。设在应力水平Si 下n.个样品中有七个失效，其失效数据满足t t .t 0; i = 0,1,.k(3.3)式中0 ,人分别为产品在应力水平

19、S下的平均寿命及失效率，且人=1/。 i iiii假定A2产品的平均寿命0,与所施加的加速应力水平5,之间有如下加速模型，即ln0 = a + 加(S ) i = 0,1,.k(3.4)ii其中a,b是未知参数，b 0，中(S)是应力s的已知的减函数，当应力是温度时，中(S) = 1/s ；当应力s是电压时，中(S) = ln(1/s)。假定3 产品的剩余寿命仅依赖于当时已累积失效部分和当时的应力条件，而与 累积方式无关。3.2步加试验的贝叶斯估计对于步加试验数据(1.2),当i 1时其失效数据t疽匕，七并不是产品的寿命数据，为了对试验数据(1.2)进行统计分析，必须将其失效时间换算成寿命数

20、据，在应力s,下产品工作时间为匕可折算为在应力S下工作时间为t，从而有t =i, i, j = 1,., k(3.5)ij 人 j现在记r = r, R =, i = 1,2,., ki=1j=1ri t + (n R )r (定时截尾场合)(3.6)(3.7)T , = j=1 ijii,ri t + (n R )t(定数截尾场合)lj=1 ijr 外，t = (n, r ,t , t , j = 1,2,., r , i = 1,2,., k，则得到似然函数 i i ijiL(k ,.,人)=廿 人ri exp(一人 t)1 kii ii=1则(人(k),0(k),k = 1,2,.,M,

21、M +1,.,N)为参数(X,0)的一个抽样，其中 M 为抽样达到稳定状态之前舍弃的样本容量，N M为总的样本容量，于是人和0的Bayes估计分别为尤= 义 X（k）,（3.8）N - Mk = M +1e= 尹 0（k）（3.9）N - Mk = M +1在此基础上，可以得到加速方程以及在常应力S下平均寿命的估计。3.3模拟比较现在从指数分布中抽取40个产品作4步的步加试验.正常应力水平为S0 = 28V （伏特），现在选取应力为S广38V, S2 = 41V, S3 = 44V, S4 = 47V，每步 的截尾时间为，t 1 = 1000h具 2 = 600h,T 3 = 250h 具 4

22、 = 125h,加速方程为：ln 门=a + b ln S,其中a = 68, b = -16.我们用Monte-Carlo方法获得一个样本，样本数据如下.=469.8323，匕=3.6784，122 = 47.5449，123 = 115.0847，124 = 134.7872125 = 163.2973，126 = 287.7000，127 = 318.2798，128 = 452.0957， = 34.6327132 = 48.8047，133 = 70.6249，134 = 76.9902，135 = 86.2010，136 = 126.3920137 = 136.2715，138 =

23、 179.5036，妇=26.0096，142 = 46.3135，143 = 91.4068 利用最大似然估计法（文献8）得到a和b的MLE分别为a = 54.8155, b = -12.6366从而失效率人和加速系数0的估计值为% = 3.0272 x 10-6,0 = 115.7302取入的先验分布为r（X 10.1,30）,0的先验分布为均匀分布U120,150,取Gibbs抽样 的迭代次数N = 11000,迭代初值为X = 2,0= 3.可以发现在迭代1000以后参数 就达到稳定状态.因此，参数人和0的Bayes估计取为M = 1000步后10000个样本 的均值，结果得到人和加速

24、系数0的Bayes估计为% = 5.8385 x 10-7,0 = 134.9093,进一步可得到加速方程中a和b的估计为a = 67.8707,b = -16.0606.可以看 出Bayes估计值与真值很接近，而利用MLE得到的值与真值相差较大.如下图： 分别给出了 Gibbs抽样迭代序列图。从图可以看出Gibbs抽样收敛情况较好。(a)X的Gibbs抽样(b)目的Gibbs抽样序列图本论文完成之际，我要由衷感谢武东老师在课题设计和论文写作上的悉 心指导，在文章的选题、结构方面都给我提供了宝贵的建议和意见，向我指 出文章中的问题，使我能及时的加以改正，他严谨的治学态度是我今后宝贵 的精神财富

25、，对这所有的一切我都表示衷心的感谢！同时对所有帮助过我们 的老师和同学致以谢忱。最后，感谢各位评委的批评和指正。谢谢！参考文献1 Nelson W. Accelerated life testing-step-stress models and data analysis：；. IEEE Trans, Reliabil-ity,1980,29(2): 103-108.2 茆诗松，王玲玲，加速寿命试验M,科学出版社,20003 茆诗松，指数分布场合下步进应力加速寿命试验的统计分析J,应用数学 学报，1985,8(3):311-316.4 仲崇新，张志华，指数分布场合定时和定数截尾步进应力加速寿命

26、试验和 统计分析J,应用概率统计，1991,7(1):52-59.5 仲崇新，茆诗松，指数分布场合下加速寿命试验的Bayes方法J,高校应 用数学学报，1993,8:376-385.6 张志华，指数分布场合下步进应力加速寿命试验的Bayes分析J,高校应 用数学学报，1997,12(2):175-181.7 汤银才，费鹤良，基于Gibbs抽样的Weibull分布序进应力加速寿命试验的 Bayes分析J,数理统计与应用概率，1998,13:81-88.8 费鹤良，张学新，指数分布场合下步进应力加速寿命试验的极大似然估计 J,应用数学，2004,17(3):398-404.9 高惠璇，统计计算M,

27、北京大学出版社,1995.10 田铮，随机数学基础，高等教育出版社，2005.英文摘要Exponential Distribution and Its Application in ReliabilityAbstract： In the paper, firstly, basic concept and two life distributions, exponential distribution and Gamma distribution are introduced. Secondly, an important property, non-memory property of exp

28、onential distribution is researched. Thirdly, two important parameter estimation method, moment estimation and maximum likelihood estimation are introduced. In the fields of exponential distribution reliability index of three systems are given. Finally, we research Bayesian estimation based on Gibbs

29、 sampler of the step-stress accelerated life testing of exponential distribution under CE model. It shows that from the simulation example this algorithm is more effective than maximum likelihood estimation.Keywords： Exponential distribution; Step-stress life testing; Bayesian estimation;Gibbs Sampl

30、er附录：程序部分clear;%加速寿命试验随机数产生器n=40;m=11000;%迭代步数M=1000;%迭代舍弃的步数lambda=zeros(m+1,1);theta=zeros(m+1,1);theta(1)=3;%迭代初值lambda(1)=2;% 迭代初值s=28,38,41,44,47;%应力水平，其中S(1)为正常应力水平tau=1000,600,250,125;% 工作时间varphi=log(s);%加速方程模型，逆幕律模型for i=1:4phi(i)=(varphi(1)-varphi(i+1)/(varphi(1)-varphi(2);endt1=469.8323;%

31、 试验数据t2=3.678447.5449115.0847 134.7872163.2973287.7000452.0957;t3=34.632748.804770.624976.990286.2010126.3920179.5036;t4=26.009646.313591.4068;318.2798136.2715t=sum(t1) sum(t2) sum(t3) sum(t4);% 失效时间r1=size(t1,2);% 失效个数r2=size(t2,2);% 失效个数r3=size(t3,2);% 失效个数r4=size(t4,2);% 失效个数r=r1,r2,r3,r4;for i=1

32、:4R(i)=sum(r(1:i);endsumr=sum(r);for i=1:4tau1(i)=t(i)+(n-R(i)*tau(i);endfor i=2:mfor k=1:4beta(k)=(theta(i-1)Aphi(k)*tau1(k);endlambda(i)=gamrnd(.1+sumr,1/(20+sum(beta),1,1);theta(i)=theta_rnd(lambda(i),r,phi,tau1);endfor i=1:m-Mlambdam(i)=mean(lambda(M+1:M+i);endfor i=1:m-Mthetam(i)=mean(theta(M+1:M+i);endfigure(1);clf;plot(1:m-M,lambdam,-);figure(2);clf;plot(1:m-M,thetam,-);thetaend=thetam(end)lambdaend=lambdam(end)b=log(thetaend)/(varphi(1)-varphi(2)a=-log(lambdaend)-b*log(s(1)