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1、第十六章 例题讲解,八年级 下册,体系建构,本章知识结构图,知识梳理,知识点 1与二次根式有关的概念：（1）二次根式的定义：一般地，我们把形如（a0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号.（2）最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式.（3）同类二次根式：几个二次根式化简成最简二次根 式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫 做同类二次根式.,知识梳理,知识点 2二次根式的性质：（1）二次根式的双重非负性：a0 且 0.（2）（a0）（3）,（a0）,（a0）,点拨：与 的区别与联系.呈现方式相近，所含意义不同；取值范围
2、有别，运算顺序相反；运算结果虽不同，结果都是非负数.,知识点 3二次根式的化简和运算：（1）二次根式的乘除 二次根式的乘法法则：积的算术平方根的性质：二次根式的除法法则：商的算术平方根的性质：（2）二次根式的加减：先把所有二次根式化简为最简 二次根式，再合并同类二次根式.,知识梳理,知识梳理,本章概述（一）本章的重点、难点：重点：二次根式的概念和运算；难点：二次根式的概念和运算.（二）本章的易错点：1.对二次根式有意义的条件的理解；2.二次根式的化简；3.二次根式的运算：（1）忽视运算顺序；（2）混淆运算法则.,典例剖析,例 1完成下列各个问题：（1）使二次根式 有意义的 x 的取值范围 是；
3、（2）函数 的自变量 x 的取值范围 是.,x0.25,x-3 且 x1,考点解析：1.二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；2.分式有意义的条件：分母不等于 0.,典例剖析,例 2完成下列各个问题：（1）已知，则；,1,考点解析：1.三种非负数：二次根式，绝对值，完全平方式；2.几个非负数之和为 0，则每个非负数都为 0.,典例剖析,例 2完成下列各个问题：（2）当 x 取何值时，的值最小？,解：0 当 时，的值最小 解得 即当 时，的值最小,考点解析：二次根式的值为非负数.,典例剖析,例 2完成下列各个问题：（3）若 a1，化简式子 的结果是（）A.B.C.D.,D,典例剖析,例 3化简
4、：（1）；（2）；（3）.,考点解析：1.商的算术平方根的性质；2.最简二次根式的条件.简记：（如下图）,典例剖析,例 4计算下列各题：（1）（2）,考点解析：1.二次根式的加减法运算步骤：先化简再分类后合并 2.二次根式的乘除法运算步骤：先整合再约分,典例剖析,例 4计算下列各题：（3）,另解：原式,考点解析：巧用乘法公式、因式分解及运算律,典例剖析,例 4计算下列各题：（4）,考点解析：混合运算步骤：运算顺序 运算法则 运算结果,王牌例题,例 1二次根式的大小比较问题（请在横线上填写“”、“”或“”）（1）；（2）；（3）.,考点解析：巧用二次根式比较大小的方法：（1）外因内移法；（2）平
5、方法；（3）求差法.,王牌例题,例 1 拓展延伸如图，在一块正方形 ABCD 的顶点 A 处，有一只兔子，在边 AB 的中点 E 处有一只狼，如果狼只能沿正方形的边跑动，而兔子可以随便跑动，假设狼的速度与兔子的速度相同，请问兔子与狼谁先到达 C 处？,解析：比较 AC 和 BEBC 的大小,a,a,a,0.5a,王牌例题,例 2二次根式的化简求值问题 已知，求式子 的值.,解：，,王牌例题,例 2二次根式的化简求值问题 已知，求式子 的值.,王牌例题,例 3阅读理解，探索问题阅读材料：小明学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行以下探索：设（其中 a
6、、b、m、n 均为正整数），则有，.这样小明就找到了一种把部分 式子化为平方式的方法.请你按照小明的方法探索并解决下列问题：,王牌例题,例 3解决问题,设则有，,（1）当 a、b、m、n 均为正整数时，若，用含 m、n 的式子表示 a、b，则 a，b；,m23n2,2mn,（3）若，求 a 和 n 的值.,解：b12，m3,根据题意，得,解得,王牌例题,例 3阅读理解，探索问题,例 3 拓展延伸、课下思考若，且 a、m、n 均为正整数，求 a 的值.,课堂回顾,1.体系构建：,2.解题技巧与方法讲解：（1）二次根式有意义的条件；（2）二次根式非负数的应用；（3）二次根式的化简求值问题；（4）二次根式的大小比较；（5）与二次根式有关的探究问题.,3.数学思想方法的渗透：（1）转化思想；（2）整体思想；（3）分类讨论思想；（4）类比思想.,
