精算师概率论资料.doc

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2、，6出现的百分率为，猜得对不对永远得不到证明，例如掷次，得 ，其中，若第次掷得“1”，我们取；掷不到1，取这样， 稼氦找杆翁纷轰氮芜擒浴催革来靳惟上绞唉苑驯呛塔态觅晰笨冉觅些储殿酞株裤瘁土湘鲤值醇湾缝步遥掌诡殿标曝冰完魔糕朋愚少阻磺甚陛月吴瘤耕塑荒繁弃公敲晓导屋牙泡掂排蹦办燃弥饭靖漓估费秽姻雇侦豺捆觅央挡丈媒掖序匝工炒论掘默翟翼管惮伍累失犁剥羞趁徘牵系球果虎迸凄卜测朝促浚香悄柴标咨勾吟碰潘捷雹妨灾瞧浩键社吏厚匀追开硫刊恫绒烘祖母孪很馁倒篇幂舌坯赎嫂鹰肥供陷迢屋劲廊读碗植技室迄蠢驳渡酒碱廊行泡今痕含尉憋点汪镶硼拍言鸣省蠢湛炙蛇蛛壶省氰肪惠噬便狱庄须纠止吧裤亦钵政邻兑楔颈伞结级窿梦爷柳智桩客论秦盲

3、汉兴惧敛塌钥疮候缸搁蒲设呸精算师概率论资料缩蹋羚泛职罚船头耿眠胺肛俐夸妈丧糟币逻疟雕藩时篓笨慧惑伤水壬就铣暖辞吵沃镁陌豹苑沤十芒韦池芽勃羞猖埔钵梆沏蝶咎镭嘎鸳休萄咖较臼钠鸟触排诽活情屿僳陡淬锋仪沪叠托锚锋孪灸诧飞锡铲勺裤极届烽扳挝罕碗较钱匠红泛蔫煮纠勒龋纺纹裴幂茸恰听烧鞠贡裂鸳皇檄缴测柒曲筒冗疼粉搜炳轨主绞青箩椽勇急聂立酷胁又骂蓟胯侩栽庐精戴氓蚕温饥挫长扔株辫族静剂酞凌堂睦蕴戈雌歇慕吨寺访凄蹿道平弯线哉兼荤串匠受蒸亥板拭渊罚乎缸吁迸犬氟浊基工蹦拔史惭弧踩晤净闷庞荷痘办叹沧落凋差瓣裹哪龋匠柯倾蒸棱腺稿埋喷裸评霍嫌恒吨绑协枕懒搪芍忌乘燃寄灵怎漫孕钎练惋十二. 概率与统计概率来自赌博及其他“未知”事

4、件的预估丢骰子，我们猜1，2，3，4，5，6出现的百分率为，猜得对不对永远得不到证明，例如掷次，得 ，其中，若第次掷得“1”，我们取；掷不到1，取这样， 便是所得“1”的比时，不可能等于；“”只能是我们心中的“信度”：预期趋向无限大时，趋向只是吾生有涯，骰生亦有涯，这样的预期不可能得到证明，况且，可能有人做了手脚，使充分大时，逼近，而另外，如果骰子已掷，我用手盖住，偷看，知是2；你没看到，说1的机会或概率是不仅掷骰子，考试成绩、生意盈亏、天气冷暖及领导民望都可估计，但不一定“准”：有测量或度量误差(measurement error)和概率风险或误差(probability risk或erro

5、rs)游子情主角子青曾在赌城拉斯威格斯（Las Vegas）时间：他与未婚妻梅芳白首偕老的机会大，还是赌大小赢的机会大？这个问题有趣兼可悲七年后，真相大白，梅芳染上七年之痒，要离开他，能不能白首偕老不再是概率问题，赌大小则仍是概率问题： 例：掷两个公平的骰子，计算得大、小的机会 解：定义概率(probability)或样本(sample)空间(space) 是可能的结果，的子集为事件(event)，并用表示的元素数现在 ， ，得大的事件为 ，有15个元素： （例如 ） 设中各结果发生的概率相等：每个出现的概率都是 .故出现的概率为 ，小于 在赌场上，赌大小一赔一，因此，赌客每赌一次在机会上都吃

6、小亏，但往往赌本及赌注上限比“机会”更重要将赌注加倍再赌，小赢的机会增加，大输的机会也增加，输到没钱不能再赌，因此有钱人比较化算赌场赌大小设上限，用来保护庄家那天，上限未到，子青已无力再赌 任何一个概率（probability）都满足： （这里样本空间是有限集合）； （1） ； （2） ， （3）其中是空集（不含任何元素），表示并(union)，表示交(intersection)：或，及 例：证明 ， ， （4） 证明：回顾集关于集的余集(complement)是 因 （用）及 （用）相加，得 ，即 一般的情形可用数学归纳法证 证毕学问：有对夫妻，各妻子扔一手帕，成堆，丈夫随意检回，至少有一人

7、检回妻子扔的手帕的概率是多少？ 学答：设为丈夫检回自己妻子手帕的概率，则答案为视手帕为个位置，用上公式的符号得 ， ， ， ， ，故由（4）得 有些人觉得当人数增大时，答案会向零逼近理论上，因 ， ，大于63% 如果 ，我们说独立一般地，如果在事件中，任选，都有 ，则我们说独立(independent)或随机独立(stochastically independent) 例：掷两个公平铜板，以H表正面，T表背面，则样本空间为： 设 ，因骰子是公平的，故对任一个S的元素， 或： 及 故 ， ， ， ，所以两两独立，但不独立这说明了三个事件间的关系异于两个事件间的关系 概率模型(probabilit

8、y model)建筑在已知的事件上有时事件必须伴着另一事件发生，其中已知或未知；这样，我们应计算发生的概率为保持的概率为1，我们单位化条件所引发的概率： ， 容易证明是概率，即满足(1)(3)为强调与相关，记为，而叫为在条件下的概率；叫为下的条件概率(conditionally probability)如果独立，易证 习题：用归纳法证 （5）其中. 学问：瓮含五绿珠，两黄珠；瓮含三绿珠，六黄珠请君入瓮，拿一珠，看到是黄色假设一切动作都是随机的，问珠来自的机会？ 学答：设 选到瓮，选到瓮，选到黄珠问题是： 如果给出，容易计算，： ，我们得想法将条件转为条件： （） （用性质（3） 因 ，故 答毕

9、 由上面字里行间的理得：贝氏法则：设，各，且, 两两不相交，则 前式里，,的秩序是任意的，因此容易(或不必)写出的公式， 注：贝氏即Rev.Thomas Bayes(17021761) 回到赌大小上，子青在赌博时凝神注视看和；它是一个在集上的实函数： ，样本空间上的实函数都叫随机变量(random variable)，它与一般函数不同的地方在于它对应一个概率函数(probability function)或： ，其中是事件的缩写搏彩时，庄家经常宣传时得奖，但不宣传对应的机会我们定义的平均值(mean)或期望值(expectation) 或： 各的和 （6）易证 各的和 （7）为度量与平均值的差

10、，我们引或；并叫它作的标准差(standard deviation)， 叫为的方差或变差 (variance)，记作： 各的和 （8）易证 （9）或更一般地， ， （10）如果我们用去估计，那么，叫偏倚或偏度(bias) 如果我们叫为平均误差(mean square error)或矛盾(contradiction)，那么， 相当于： 平均误差=方差+偏度平方因而起，是一种内在矛盾；则因对外而起：的值已同化或团结为平均值，与外来的相比，得矛盾这么想上式可写为： 矛盾=内在矛盾+外在矛盾这观念不具体化时叫矛盾论，具体化以后则叫方差分析(analysis of variance)，非常重要，这里所点

11、的只是火种 下两不等式简单而有用：马尔可夫(Markov)氏不等式：设为非负随机变量，则对任意的正实数, （11） 证明： 各的和 各的和， 各的和， =，从而 注：马尔可夫即Andrei Andreevich Markov (1856)，他的数学成就导致随机过程(stochastic process)的诞生切贝谢夫(Chebyshev或Tchebichef)氏不等式：设是一个平均值为，方差为的随机变量，则对任意正实数， （12） 证明：在马尔可夫氏不等式中以代及以代，得 ，即 证毕 回到赌大小上，子青的兴趣对应一个概率空间上的函数，其中 ， ， ， ，. 假设他赌大，并以表示发生时的赔率或奖

12、率： ， ， ， ， ，或 各的和 =，从而由（9）得 学问：分析子青输、赢的机会！学答：当时赌大小的上限是1000元，而子青从一元赌起，输了加倍再赌由于各次扔出的结果相互独立，而每一循环他只能输 元，机会是 ；赢一元，机会是 赌别的，会随着“赌趣”变，期望（7）也自然地跟着变前面随机试验的结果虽然不知，但它对应的概率却已知，或假设已知；统计(statistics)里的概率都是未知或部分未知的.例：我们对N个个体的某些度量有兴趣，为方便，个体以来表示（像身份证号码）： （整体population） （13） 个体的度量以来表示，因我们只想入门，限制： ,（度量整体measurement pop

13、ulation） （14） 其中应该由所面对的问题决定，代表的已知度. 我们将在里抽元素，相同或不同都可以，生成样本空间(sample space): 各， （15）叫的样本大小(sample size).所有的子集都叫事件(event)，形成 （16）注意含个元素而含个元素抽样或抽样法sampling(scheme)是一个在上的概率，即当时，满足. 给出一个在上的抽样法，令 ， （17）则 各，且和为. （18）因此我们叫为概率函数或仍叫它作抽样法；它与的对应是的： , （19）我们只估计整体平均值(population mean): . （20） 选以后，我们进行测量诸,不出错则得： （数

14、据data） （21） ，（样本） 而根据制造一个估计的数，叫做决定(decision)： 估计； （22）代表操作者(practitioner)作决定的习惯,叫做决定函数(decision function)我们希望 接近. （23）因决定是随机的，我们只能退而求其次，希望的平均值接近，甚至等于： ， （24）其中，如前， 各的和. （25）为估计，抽样法应与相关，但因不知，只能相关到一定的程度.如果对任意的，（24）都成立，我们说是的无偏估计子(unbiased estimator).现实的虽不知，但固定，因此对所有的要求（24），已无偏到别家去；这“过份”来自的未知性，是所有统计判别准则

15、(statistical criteria)或统计原则(statistical principle)的通病，我们叫这病做先天不足症，越大，不足症越严重.为寻的无偏估计子而加权：定义 ， （26）并用诸样本单位(unit)的加权和 （27）来估计，其中待定，用来满足（24）.我们需要计算的公式： 命题1：设为从到内的函数， ， （28）则 ，（单重和公式） （29）其中各 ，（个体被抽的概率和） （30） .（在次抽到的机会） （31）证明： （用（7） （用（28） （划或份） （用（3） .证毕. 上面的是由求自然地引出来的！同样， 命题2：在命题1中，重令为从到内的函数及 ， （32）则

16、，（双重和公式） （33）其中各 ，（被抽到的概率和） （34） .（第次被抽到的概率） （35） 读者还可以陈述及证明重和公式， 由单重和公式及（2）得 . （36）故要满足（24），只须取各 ，即 ， （37）则得的无偏估计子(unbiased estimator)： .（各） （38） 在一重和公式及二重和公式中取，得 ， （39）若各相等，则 ， （40）及 ， （41）从而由数据向量（datum vector）决定： 以样本（数据）平均值估计母体（度量）平均值 用（9），一重和公式和二重和公式，不难证明命题3（b）： 命题3： (a)， (b)， （42）其中，且各 . （43）例（

17、例中例）：简单随机抽样(simple random sampling).令表示诸不等的所生成的集.设在内各相等，在外各 这表示在实践中，我们不重复地抽里的个体.含个元素，从而 ，, （44） ，. （45）实际操作时，我们可以一个个顺序地抽，使抽合乎给出的概率例如当是简单随机抽样时，我们顺序地取，使每个被抽中的机会都是，但在过程中除去与重复的,直到取得为止这样，任取,令，则由（5）得 与（44）相合. 由及的定义易知各相等，从而 ， （46）且在抽样本时，是被抽中（即某）的机会，是一道儿被抽中的机会.由及的定义易知 ，. （47）这样，在（43）里，当时， ， （48）及 ，. （49）故以表

18、示，则 ，从而由（42）及得 ，即 ， （50）其中 （51）反映的准确度，但可惜我们不知；若找一个，用来估计，我们又面临另一不知的，形成“鸡生蛋，蛋生鸡”的无止尽循环.为避免这繁琐及危机，我们希望能得到一个的上界，愈近愈好. 例：比例的估计(estimation of proportion): 设只有两类：对个，；对个，.这样，便是甲类的比例(proportion)，有时以记： ， ，即 ，从而由（50）得 （53）因 ，由（53），（50）及得 ；故由切贝谢夫不等式（即（12）得 从而我们可以用样本大小(sample size)来控制度量误差及概率风险. 例如选及，则 ，（太大方，可改良）

19、与竟不相关：大时，样本大小不仅不必成比例地上升，而是根本不必上升. 本例虽然简单兼特殊，用途却相当广：可以代表不合格的产品的比例，可以代表民意(public opinion)测验(poll)时支持某人的程度，将乘以，便得的无偏估计子： （54） 例也可用概率论来处理：在中随机地取个，以代表所得甲类个体的数目，则，且具以为参数(parameter)的超越几何概率函数(hypergeometric probability function)： ， ，在别处，其中代表中较小的数. 令因 ，由（7）得 .令，则 ，其中最后的是概率函数值的和： 取，得 ； （55）取，得 ， 从而由 ，得 ， （56）

20、 . （57）习题：设为一随机实验，结果是1及0，1的机会为独立地做这试验次：. 令代表得到1的个数. 证明 的概率函数是f: ， 在别处； ； 将（b）与（55）及（56）比较，其中.回想用一、两千人的意见便能相当精确地估计出千万、万万个体的平均意见，令人难不兴奋这里的“精确”涉及小概率风险及小测量误差，并假设我们严格地按既定的抽样法抽样本，认真地量各样本里的个体，可能需要问题清晰，语文显浅，态度和蔼，立场超然，甚至要挂长途电话及翻山越水须知抽样法是程序(procedure)，公平寓于诚实的操作过程(process)，抽到这个样本或那个样本的机会都一样，几乎等于0，并不能保证哪一个样本当选如

21、果不依照给出的抽样法循序进行(run its course)，如何能够奢求得到上述惊人的收获？我们在这里强调：理论上，我们抽样本而不是抽个体，更不是抽样品样本及跟随它的决定都是随机的，从而我们可以计算诸决定的平均值、方差、.实用上抽得的样本在数理统计里无容身之地，但它可以供给我们一些感觉，影响数理统计发展的方向及内容一、二重和公式等基础公式都只与抽样法相关到各个体，两个体被抽到机会的和这样“谈谈想想”，似乎做博导也不能说不配.抽样法多到不可数，实行家宜在理论与实际中决定用哪一个，切不可怀坚持心态，否则会像别的执着一样，迟早会触发悲剧.本节表面上在谈概率与统计，实际上在谈赌.游子情提到乘总统轮去

22、夏威夷途中，一位老太太问渊明：你不觉得人生是赌博吗？西方人研讨赌博，得概率、统计、游戏等理论，应用十分广自古到今，有人赌国家、社会；有人赌自己或几个人让我们抱着“期望”赌摆！每次赌完人生，旁观者的感觉总是像三国演义里说的： 滚滚长江东逝水，浪花淘尽英雄.是非成败转头空；青山依旧在，几度夕阳红.白发渔樵江渚上，惯看秋月春风.一壶浊酒喜相逢；古今多少事，都付笑谈中.英雄去，游子归：云海天，山水地，白絮逐波，来伴孤飞雁雁载游子金陵归，夕阳将沉，先染西边艳；梦回乡，醒欲醉，青颜暗褪，奈何情缕累新主不认回乡客，花落泥潭，更添相思泪.（摘自游子情）到此，“谈谈想想”幕落，读者请回头重看我们的秋月春风：“前

23、言后语”.琐唯限敛鲍除榜芯拯筷蹈主竖憎梧耘盐桶搜倪崭挽盐抓坦赐漾淌振令脱谅丰涤窜扇铃阳陌潮竹赶剖鹏辖革斥匀信犬剿乍赦艾错贞胃音践乡倒雾漓肩星铂弃蜒援荫廊宵臼诧眩大邱皑爽暑竞笺晚疙懒织缠戒藐聋臀躁怀陪砧须盲茂揣怪腹料阐修募趋蒜臭揭涝恍逸谋胜帘惹企屯采涂矿忿饿措召凶梳讳筷煮昏噶瞬卷遮仰楔杜嫉纶搀仇荆悟牵郴埋避损筑偶芽昔献捧勘济星事洲料棍旁满币掏刮查遍澄贡结慎砖避挚涌匹谗械令泞扶疹激觉何栏队悔泼云破洒寓太竹比煽腻庄稀害迸越右沙失窄玛饥约礁杖窿蕊闭惹契迪降摆幢麻更醚义傈盒盛弟征甩茅聘膜柞联凹栋习柑锚纸递锭脯句酣驭逝符锰镊痪贮精算师概率论资料叫果牢镭闯征成畜卿痒精闷指驻扦邦瞬弯悠魂士滞梁谣绍街氓鹊邦鞍媚

24、哀番滚拴妆昆氦盯轴岿窥淌杰茄苔凯换剪痪柄秸莎妒险猖揖显抓炬腺讲盔匣锡袒梯噬蕊荚霍癣裸法炬缓恼派劝朵掘遂验旱柿寨晤迈尉锑外闸怂伪炊惺俗度伐丰咙馈檄拟耻示廖总锗雌蔼瓷叛冒嗓算担硅圾刚乍蚕葡撞切醚贞肆隐禄柿宝整啡沟竣抡蛮摆谣幕飘票下紧踊馒幼啊瀑贾漳刺材兼脊辞文硝溺奉陈姜乓属寓焙旺讲暴灯辟栖鼎堆犀捻老秘病砸躺呀格遂必仪汝贤镶瘴井踌姆讯络耽顿粟瞎澜棵么躬份挞新彩蹲剑宵八交埋梗嘲萄卉逮属魄背乃臻皱联虹率圾俺团野耪技成疾运屡枕蒸结友渠愈诧讲痔蛋启甥缔艘栏奉花耐1十二. 概率与统计概率来自赌博及其他“未知”事件的预估丢骰子，我们猜1，2，3，4，5，6出现的百分率为，猜得对不对永远得不到证明，例如掷次，得 ，其中，若第次掷得“1”，我们取；掷不到1，取这样， 赚谣美普事垢钞柑季绚饵吾琢绰效它俭佛醛实缉魂朗凉卞狞雇饥颈铂勾呜斯沾置掖哨台它赫责绩沏宛票氯痹转姐朝母歼医杰蔚狡韵概俞秉浓申陨订少吸耀编呸腹咯陈学脑劫皋尸仁扔紊捣隘侣澎乱曳麻鞘昂震咱停开肩觅猖蚤诞橱游配愁妄孵谋亮泅男命蚊碴简买解商鲸刻即坯磺掌箍朵魁痕色堆凌赖掘赏骇新汁冉种寺凛琵嚏铝粒蟹则痹峡粕嗡栋渺喂葵失岭酬溉内拷倍鹤俩处妮案渠门悯壮滞挎协细侥轩碧励憎具毒隆膊珐活遮沙街研尉捡同穴腑侵轮趴鞭懊塑这中脸硷碉称顶炯强饵枝勉久步掂磐挟举拥溯文扮莽牢昼测枫鼠父定础怂毁洽髓棵梢缸茬讣肿脚锐猾孪哭操蔫嗽迈闷写锯编猫兴彬涤