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1、极化恒等式引例：平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型。 你能用向量方法证明：平行四边形的对角线的平方和 等于两条邻边平方和的两倍.证明：不妨设48 = a, AD = b,贝I AC = a + b，DB = a b，=AC2=DB2一2 M 丁 7 2a + 2a - b + b-2 L二)=a 2a - b + b(1)(2)（1） （2）两式相加得:=2AD结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.思考1：如果将上面（1） I?两式相减，能得到什么结论呢？a b =1代+ba - b 4极化恒等式4 L对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得极
2、化恒等式 的几何意义是什么？ 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与 “差对角线平方差的1.4即：a b=4 |aci2|db|2 -（平行四边形模式）思考：在图1的三角形ABD中（M为BD的中点），此恒等式如何表示呢?2 （三角形模式）因为 AC = 2AM，所以 a b = AM2 4DBM例1. （2012年浙江文15）在AABC中，M是BC的中点，AM = 3, BC = 10 ,则AB AC =目标检测（2012北京文13改编）已知正方形 ABCD的边长为1, 点E是AB边上的动点，贝lj DE - DA的值为 .例2.（自编）已知正三角形48。
3、内接于半径为2的圆O,点尸是圆O上的一个动点， 则PA PB勺取值范围是.目标检测（2010福建文11）若点。和点尸分别为椭圆打+ 2 = 1的中心和左焦点，点P43为椭圆上的任意一点，则0P 尸用勺最大值为（）A. 2 B.3 C.6 D.8例3.（2013浙江理7）在AABC中，P0是边AB上一定点，满足PB = 4AB，且对于边ABD. AC = BC上任一点P，恒有PB PC PB PC。则（）00A. ZABC = 90 B. ZBAC = 90 C. AB = AC例4. （2017全国2理科12）已知AABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点， 则PA （PB + PC
4、）的最小是（）c34D.-1A. -2B.一二C.-23课后检测 U，一T T-r1.在 AABC 中，ABAC = 60 若 AB = 2 , BC = *3 , D 在线段 AC 上运动，DB - DA 的 最小值为.2.已知AB是圆。的直径，AB长为2, C是圆。上异于A, B的一点，P是圆。所在平面上 任意一点，则PA + PB).PC的最小值为3.在AABC中，AB = 3 , AC = 4 , ABAC = 60 ,若P是AABC所在平面内一点，且OAP = 2，则PB - PC的最大值为4.若点O和点F(-2,0)分别是双曲线一一y2 = 1(a 0)的中心和左焦点，点P为双曲线
5、 a 2右支上任意一点则OP FP的取值范围是.5.在 RtAABC，AC = BC = 2，已知点 P 是 AABC 内一点，则 pC (PA + PB)的最小值是.6.已知A、B是单位圆上的两点，O为圆心，且AAOB = 120o,MN是圆O的一条直径，点C在圆内，且满足OC = XOA + (1 人)OB(0 X 1)，则CM CN的取值范围是()A.B. L1,1)c IT,0D. L 1,0)7.正AABC边长等于*3，点P在其外接圆上运动，则AP PB的取值范围是（一3 3 3 1 13 1 1 A. -二；B. |_g，二 IC. |_二,二 ID. |_二，二 I|_2 2|_
6、2 2|_22|_2 2 丸一8.在锐角ABC中，已知B =寻，AB - AC = 2，则AB- AC的取值范围是1MBn（2008浙江理9）已知。,。是平面内2个互相垂直的单位向量，若向量c满足f BfaI OB I9. （a c） - （b c） = 0,则|c的最大值是（）A.1B.2C.%2D.至2平面向量基本定理系数的等和线【适用题型】平面向量基本定理的表达式中，研究两系数的和差及线性表达式的范围与最值。【基本定理】（一）平面向量共线定理已知OA = XOB + OC，若人+卜=1，则A, B, C三点共线；反之亦然（二）等和线平面内一组基底OA,OB及任一向量OP，OP = XOA
7、 + OB（人,口 e R），若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则人+卜=k （定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。 一 一 -（1） 当等和线恰为直线AB时，k = 1 ；（2） 当等和线在O点和直线AB之间时，k e （0,1）；（3） 当直线AB在点O和等和线之间时，k e （1,+3）；（4）当等和线过O点时，k = 0 ；（5）若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数;【解题步骤及说明】1、确定等值线为1的线；2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；说
8、明：平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究的两系数的线性关系，则需要 通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和。BAO【典型例题】 例1、给定两个长度为1的平面向量OA和0B，它们的夹角 为1200，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动。若OC = xOA + yOB，其中x, y e R，则x + y的最大值是.跟踪练习：已知O为AABC的外心，若cos ZABC = -，AO = XAB + 口AC，则人+卜的最大值为例2、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，两定点A,B满足I OA l=l OB
9、 1= OA - OB = 2 ,则点集P I OP = XOA + pOB,I人I + I 口1 1入pg R所表示的区域面积为例3、如图，在扇形OAB中，ZAOB = 600，C为弧AB上不与A,B重合的一个动点，OC = XOA + yOB，若u = x +人y （九0）存在最大值，则人的取值范围为跟踪练习：在正方形ABCD中，E为BC中点，P为以AB为直径的半圆弧上任意一点，设AE = xAD + yAP，则2x + y的最小值为.【强化训练】1、在正六边形ABCDEF中，P是三角形CDE内（包括边界）的动点，设AP = xAB + yAF，则x + y的取值范围.2、如图，在平行四边
10、形ABCD中，M,N为CD边的三等份点，S为AM,BN的交点，P为边AB上的一动点，Q为福MN内一点（含边界），若PQ = xAM + yBN，则x + y的取值范围3、设D,E分别是AABC的边AB , BC上的点，AD = - AB，2BE = - BC，3DE = X AB + X AC （人，人为实数），则人+人的值为1212124、梯形 ABCD中，AD 上 AB，AD DC 1， AB 3，P 为三角形 BCD 内一点（包 括边界），AP xAB + yAD，则x + y的取值范围.5、已知 I OA I1,1 OB = 2, OA - OB 0，点 C 在 ZAOB 内，且 ZA
11、OC 300，设mOC = mOA + nOB，则的值为.n6、在正方形ABCD中，E为AB中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一 点，设AC = xDE + yAP，则x + y的最小值为.7、已知I OM I=I ON = 1，OP = xOM + yON（x, y为实数）。若APMN为以M为直角顶点的直角三角形，则x- y取值的集合为8、平面内有三个向量OA,OB,OC，其中OA,OB夹角为120。，OA,OC的夹角为30。，且I OA I=I OB I= 1I OC I= 2后 ， 若 OC mOA + nOB ，贝ij m + n 的值为9、如图，A,B, C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D ,若OC = mOA + nOB，则m + n的取值范围为2兀C，3且10、已知 O 为 AABC 的外心，若 A(0,0), B(2,0)，AC = 1,/BAC =AO = XAB + 日AC，则人+日=.11、已知a,b是两个互相垂直的单位向量，且c-a = c-b = 1，则对任意的正实数t，I c + ta + -b I的最小值为.t
