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1、固体物理总复习题一、填空题1. 原胞是 的晶格重复单元。对于布拉伐格子，原胞只包含 个 原子。2. 在三维晶格中，对一定的波矢q,有支声学波， 支光学波。3. 电子在三维周期性晶格中波函数方程的解具有 形式，式 中 在晶格平移下保持不变。4. 如果一些能量区域中，波动方程不存在具有布洛赫函数形式的解，这些能 量区域称为 ;能带的表示有、 三种图式。5. 按结构划分，晶体可分为 大晶系，共 布喇菲格子。6. 由完全相同的一种原子构成的格子，格子中只有一个原子，称为 格子，由若干个布喇菲格子相套而成的格子，叫做 格子。 其原胞中有 以上的原子。7. 电子占据了一个能带中的所有的状态，称该能带为 ;
2、没有任何电 子占据的能带，称为 ;导带以下的第一满带，或者最上面的一个满 带称为 ;最下面的一个空带称为 ;两个能带之间，不允许存 在的能级宽度，称为。8. 基本对称操作包括，三种操作。9. 包含一个n重转轴和n个垂直的二重轴的点群叫。10. 在晶体中，各原子都围绕其平衡位置做简谐振动，具有相同的位相和频率， 是一种最简单的振动称为。11. 具有晶格周期性势场中的电子，其波动方程为。12. 在自由电子近似的模型中，随位置变化小，当作 来处理。13. 晶体中的电子基本上围绕原子核运动，主要受到该原子场的作用，其他原子场的作用可当作 处理。这是晶体中描述电子状态的模型。14. 固体可分为15. 典
3、型的晶格结构具有简立方结构，, , 四种结构。16. 在自由电子模型中，由于周期势场的微扰，能量函数将在K=处断开，能量的突变为。17. 在紧束缚近似中，由于微扰的作用，可以用原子轨道的线性组合来描述电 子共有化运动的轨道称为，表达式为。18 .爱因斯坦模型建立的基础是认为所有的格波都以相同的 振动，忽略了频率间的差别，没有考虑 的色散关系。19. 固体物理学原胞原子都在，而结晶学原胞原子可以在顶点也可以 在 即存在于。20. 晶体的五种典型的结合形式是、21.两种不同金属接触后，费米能级高的带电，对导电有贡献的是的电子。22. 固体能带论的三个基本假设是:23. 费米能量与 和 因素有关。二
4、、名词解释1. 声子；2.；布拉伐格子；3.布里渊散射；4.能带理论的基本假设.5. 费米能；6.晶体的晶面；7.喇曼散射；8.近自由电子近似。9.晶体；10.布里渊散射；11.晶格；12.喇曼散射；三、简述题1. 试说明在范德瓦尔斯结合、金属性结合、离子性结合和共价结合中，哪 一种或哪几种结合最可能形成绝缘体、导体和半导体。2. 什么是声子？声子与光子有什么相似之处和不同之处？3. 什么是德拜温度？它有什么物理意义？4. 试叙述原子能级与能带之间的对应关系。5. 简述Bloch定理，解释简约波矢k的物理意义，并阐述其取值原则。6. 试说明晶体结合的基本类型及其特点？7. 共价结合中为什么有”
5、饱和性”和”方向性” ？8. 什么是晶体热容的爱因斯坦模型和德拜模型？比较其主要结果。9. 什么是晶体振动光学支和声学支格波？它们有什么本质上的区别？10. 近自由电子模型与紧束缚模型各有何特点？它们有相同之处？11. 金属晶体的结合力是什么？ 一般金属晶体具有何种结构，最大配位数为多 少？12. 德拜模型在低温下理论结果与实验数据符合相对较好但是仍存在偏差，其 产生偏差的根源是什么？13 .原子间的排斥作用取决于什么原因？14. 在能带顶，电子的有效质量m*为什么为负值？试解释其物理意义。15. 试述固体物理学原胞和结晶学原胞的相似点和区别？16. 根据结合力的不同，晶体可分为几种类型其各自
6、的结合力分别是什么？17. 爱因斯坦模型在低温下理论结果与实验数据存在偏差的根源是什么？18 .什么是“空穴”？简述空穴的属性。四、推导题1. 对一维简单格子，按德拜模型，求出晶格热容，并讨论高、低温极限。2. 对二维简单格子，按德拜模型，求出晶格热容，并讨论高、低温极限。3. 推导一维单原子链的色散关系4. 推导一维双原子链的色散关系五、计算题1. 已知铝为三价金属，原子量为27，密度为2.7g/cm3,金属铝在T = 0 K下的 费米波矢、费米能和费米速度。2. 已知电子在周期场中的势能为、1 一 ，一一U(x) = mw 2b2 一 (x- na)2, 当na -b x na + b时U
7、 (x) = 0,当(n - 1)a + b x na - b时其中：a = 4b， w为常数。(1)画出势能曲线，并求出其平均值；(2)用近自由电子模型求出此晶体的第1及第2个禁带宽度。3. 用紧束缚模型，试求解(1) 面心立方点阵s态电子的紧束缚能带；(2) 证明在k=0附近等能面近似为球形面，并计算有效质量m*.sn中的Eat, C ,J均为已知，且在k=0cosk a 淫 1（上k a）22 x 2 2 *E (k) = Eat + C - Jz ei后 R附近时，即ka，对应于*的格波称为光 学分支的格波。对应于一的格波称为声学分支的格波。对于光学分支的格波，相邻两不同原子的振动方向
8、相反。而对于声学分 支的格波，相邻两原子的振动方向相一致，且在长波情况下，声学分支的格 波与弹性波相一致。10. 近自由电子模型与紧束缚模型各有何特点？它们有相同之处？解：所谓近自由电子模型就是认为电子接近于自由电子状态的情况，而紧束 缚模型则认为电子在一个原子附近时，将主要受到该原子场的作用，把其它原 子场的作用看成微扰作用。这两种模型的相同之处是：选取一个适当的具有正 交性和完备性的布洛赫波形式的函数集，然后将电子的波函数在所选取的函数 集中展开，其展开式中有一组特定的展开系数，将展开后的电子的波函数代入 薛定谔方程，利用函数集中各基函数间的正交性，可以得到一组各展开系数满 足的久期方程。
9、这个久期方程组是一组齐次方程组，由齐次方程组有解条件可求出电子能量的本征值，由此便揭示出了系统中电子的能带结构。11. 答：金属晶体的结合力为原子实与电子云之间的静电库仑力，其一般具有面 心立方结构及六角密积结构，配位数为12。12. 答：它忽略了晶体的各向异性；忽略了光学波和高频声学波对热容的贡献， 光学波和高频声学波是色散波，它们的关系式比弹性波的要复杂的多。13. 答：两部分原因：带正电荷的原子核之间的库仑排斥力；原子或正负离子 的闭合电子壳层相互交叠时，由泡利不相容原理而产生的排斥力。14. 答：晶体中的电子除受外场力，还和晶格相互作用，设外场力为F，晶格对 电子的作用力为弓，电子的加
10、速度a = L（F + F）,七 的具体形式难以得知，F为了不显含f,则只有a = F，晶格作用越小，有效质量与真实质量相差越小， 当电子的波矢落在布里渊区边界上时，与布里渊区边界平行的晶面族对电子散射 作用最强烈。使得加速度与外场力的方向相反，有效质量为负。15. 答：固体物理学原胞是只考虑周期性的最小的重复单元，而晶胞是同时计 及周期性与对称性的尽可能小的重复单元。两者都体现了晶体结构的周期性，但 是结晶学原胞还要考虑到对称性，所以其体积往往是固体物理学原胞的几倍。固 体物理学原胞原子都在顶点，而结晶学原胞原子可以在顶点也可以在面心、体心 即存在于原胞内部。16. 答：晶体根据结合力不同分
11、为五种晶体类型。离子晶体（正负离子间静电库仑力）分子晶体（范德瓦尔斯力）金属晶体（电子云和原子实之间的静电库仑力）共价晶体（共价键）氢键晶体（氢键作用）17. 答:爱因斯坦模型建立的基础是认为所有的格波都以相同的频率振动，忽略 了频率间的差别，没有考虑格波的色散关系。18. 答：空穴：空缺一个状态的能带的电流犹如由一个带正电荷e，具有空缺态 电子的速度的“粒子”对电流的贡献。这一粒子称为“空穴”空穴的属性：带正电荷e速度为缺失状态电子的速度，有效质量为正，数值等于该电子有效质量的绝对值。四、推导题 1.解：德拜模型格波为弹性波，色散关系为： q,d内包含的振动模式数目为：dZ = 2 xdq
12、=2兀模式密度：g ()=竺=-d 冗c利用：g()d = 4d = N N是原子总数得 冗c 007叩/方、e加/kBT晶格热容:方kBT=k J()2Bg()db K T (e脸/kT -1)2kBL J 方 )2 e加/kBT d c 0 KT (e 尬 / kT -1)2八 Lk2T e*t exx2 ,C = J dxV方c(ex 一 1)202. 解：德拜模型格波为弹性波，色散关系为=vq，在二维波矢空间内，格波等 频线是一个个圆周，在q T q + dq区间内波矢数为:dZ =2qdq =d(2 )22v 2模式密度：dg ()=竺=Sd 2v 2二维介质由两支格波，总模式密度：
13、g ()=挡 V 2格波振动能：E = :一1 d0S 方e加/灯 ,晶格热容：c =一Tk()2mv 兀v 2KT (e 枷 / kT -1)20其中： g ()如=hd=2 N 兀V 200令尤=四,C =业心2 E dx kT v 兀v 2 方 (ex 1)2 0其中0 =方高温极限：ex注1 + x C - 2Nk，与经典理论一致。低温极限:芸赤dx=位（常数） 0C = AT 2在低温下二维晶格的热容量与温度的平方成正比。3. 解：只考虑临近原子相互作用，第n个原子所受的总作用力u u ）n1 n+1第n个原子的运动方程d 2 u dt 2 n=&(2u u u )nn 1n+1设解
14、的形式为:u = Aei (qna Wt)运动方程MW2 =一。eiqa eiqaMcos=Wm qa sin2m=24. 解：质量为M的原子位于2n-1，2n+1，2n+3质量为m的原子位于2n，2n+2,2n+4运动方程为：M巴广-gG七1-% 2一 )；Mi -13(2 日-日-日)设方程解的形式：日2 A&、(2 na )山和日2 1 Bei屋乂 n+1)aq 因为Mm，复式格子中不同原子振动的振幅一般来说是不同的。将日 Ae i (wt-(2 na )q 日 Be i R-G n+1)aq 带回到运动方程得到：-mw 2 A P (eiaq + e-皿)B - 2。A (2 P -
15、mw 2) A - (2 P cos aq)B 0 -Mw2B P(eiaq + e-iaq)A- 2PB -(2P cosaq)A + (2P -Mw2)B 0J20 - mw2-2P cos aq若A、B有非零的解，系数行列式满足：-2P cosaq0 2P- M w 2w2 P (m + M)1 土 1- 4mMsin2 aqi/2mM(m + M )2(m + M)4mM.w2 p1 + 1-sin2 aq1/2+ mM(m + M )2w2 p (m + M)1 - 1- 4mMsin2 aq1/2- mM(m + M )2五、计算题1解：由题设可得金属铝的电子浓度为：一 ,2.7n
16、 = 3 x (x 6.02 x 1023)= 1.8 x 1023 (cm-3) = 1.8 x 1029 (m-3)27K = (3兀2n)1/3 = (3x兀2 X 1.8x 1029)1/3 = 1.75x 101o(m-1)F2 x 9.11 x 10 - 31方竺=(1.0546x 10-34 xL75x 1010)2 = 1.87x 10-18 j = 11.7ev 2mV =尝兰10-34 x侦5x1010) = 2.03 x 106m/sF m9.11 x 10-312.解：（1）该周期场的势能曲线如下所示:其势能平均值为：f U (x)dxj U (x)dxU =-8 +j
17、 dx3j dxb 1m32(b2 一 x2)dx217-b= m3 2 b 24b6-8-3b（2）根据近自由电子模型，此晶体的第1及第2个禁带宽度为其中U1和U2表示周期场U（x）的展开成傅立叶级数的第一和第二个傅立叶系数。于是有U = j e-2“*U(&)dg = je-2“# 1 m32(b2-g2)dg = 4m32b214b4b2兀 3-3b-bU = j e一眼才U(&)d& = je-2兀点 1 m32(b2 -&2此=m324b4b22 兀 2-3b-b故此晶体的第1及第2个禁带宽度为AE1 = 2 |U J = 8 竿所3.解：(1)利用紧束缚模型计算能带Es (k) =
18、 Ea + Cs J近邻e5，对Rn于面心立方点阵，S态电子波函数来说，交迭积分相等，原点的最近邻位 于R = a(1,1,0),a(1,0,1),a(0,1,1) (3 分)222将最近邻的12个格点的格矢代入公式：近邻、E (k) = Eat + C Jt ei后 RnRn1 71 7=Eat + C - 4J (cos_ k a cos_ k a1111+ cos_k acos_k a + cos_k acos_k a)2 y 2 乙 2 乙 2 x 7(2)在的极限下，将cos2 k?等用泰勒级数展开1 . 11 xcos = k a = 1 兀(=k a)2+.取一级近似，得2 x
19、2 2 xE (k) = E at + Cs 12 J + Jk 2 a 2显然，Es(k)与k的方向无关，即等能面为球形。有效质量m * =也二= d 2 E 2 Ja 2dk 24. 解：1)声学波的最大频率： a = , M a = 3 x 1014 radjs光学波的最大频率：o =，p =队苗=0.2Mmax pm + MIF 一一 o =J5, m - 6.7 x 1014 rad s 光学波的最小频率：o =；业=6x 1014 rad：s min m2）相应声子的能量COAmaxCDOmax。min|2p，EoV |Llmax二津，E。Y mmin一力 CO A , max=力
20、(0。， max=力 ft) 0 ,minEa =Q.198eV maxEo = 0.442eV maxEo = 0.396eV min3）因为E。= 0.442eV ,对应电磁波的波长为人= 2.8|iun max要激发3。的声子所用的电磁波波长在近红外线波段 max由此可知：d = -a4解：（1）由题意可知，GaAs的晶格为复式面心 立方晶格，其原胞包含一个Ga原子和一个As原子, 其中Ga原子处于面心立方位置上，而As原子则处 于立方单元体对角线上距离Ga原子1/4体对角线 长的位置上，如左图所示： Ga原子。一As原子44故 a = d - x 2.45 x 10-w m = 5.5
21、9 x 10-w mV3J3(2) 由于GaAs的空间点阵为面心立方结构，故其固体物理学原胞基矢为：a =?(j + k) =2.795 x 10-w (j + k)1a = - (k + i) = 2.795 x 10-w (k + i)2 2a =-(i + j) = 2.795 x 10-w (i + j)3 2其倒格子基矢为：b =(-i +j + k) = 1.124 xlOio(-i +j + k)1 a=-4 J a 2 sinsf k a、- sinf k a、cosf k a、8k 8kX k 2 J2 kJz k 2 J在带底(0,0,0)处，有2J a2sm *Xym *
22、yy8 2 E / dk dkym* = m* =3，一 r 2 兀、，在带顶H 2-,0,0处，有Ia ）力2力2m * =xx合 2 E / 6k 22 J a 2方2m * =3y6 2 E / 6k 6kh 2m* =m* =m* =-亏sm* = m* = 3yz xz六、证明题1.证明：倒格子基矢为:a x a23a - a x aa x a1a - a x a a x a b = 2兀 i3 a - a x a倒格子体积：V* = b - (b x b )= )3 (a x a ) - (a x a ) x (a x a ) c 123 V 3233112c A x B x C
23、= (A C)B (A B)C (a x a ) x (a x a ) = (a x a ) a a 一 (a x a ) a a = V a311231213112 c 1（2兀）3一、一“ （2兀）3V* = （a x a ） a V =2.cc证明：离原点最近的晶面如下图所示:ABC是晶面族叫h2 h离原点最近的晶面，-K - ASj = (h b + h b + h b)-(幻-i) = 2兀一 2兀=0 h1 12 23 3hhK - Ab = (h b + h b + h b)-(幻-i) = 2兀一 2兀=0 h1 12 23 3hh所以K = h b+h b+h b与晶面abc
24、正交，也即与晶面指数为(h h h) h 1 12 23 3123的晶面族正交。a = (-i + j + k)3.证明：我们知体心立方格子的基矢为：a = (i - j + k) 2 2a 3 = |(i + j - k)根据倒格子基矢的定义，我们很容易可求出体心立方格子的倒格子基矢为:卜”=专。+kb =丝3=竺(i+k)其中。=2 。ab = 2兀 % * 叩=史(i + j)3 。a由此可知，体心立方格子的倒格子为一面心立方格子。%=号(j + k)面心立方格子的基矢为：J a 2 = (k +1) a = (i + j)32b = 2兀气、a3=竺(-i + j + k)1 。a倒格
25、子基矢为：J其中。=1 34b = & 气 * 叩=竺(i - j + k)2 。ab = *罢=竺(i + j - k3 。a由此可知，面心立方格子的倒格子为一体心立方格子。七、说明题1.解：答题要点：离子性结合：正、负离子之间靠库仑吸引力作用而相互靠近，当靠近到一 定程度时，由于泡利不相容原理，两个离子的闭合壳层的电子云的交迭会产生强 大的排斥力。当排斥力和吸引力相互平衡时，形成稳定的离子晶体。共价性结合：靠两个原子各贡献一个电子，形成所谓的共价键。金属性结合：组成晶体时每个原子的最外层电子为所有原子所共有，因此 在结合成金属晶体时，失去了最外层（价）电子的原子实“沉浸”在由价电子组 成的“电子云”中。在这种情况下，电子云和原子实之间存在库仑作用，体积越 小电子云密度越高，库仑相互作用的库仑能愈低，表现为原子聚合起来的作用。范德瓦耳斯性结合：惰性元素最外层的电子为8个，具有球对称的稳定封 闭结构。但在某一瞬时由于正、负电中心不重合而使原子呈现出瞬时偶极矩，这 就会使其它原子产生感应极矩。非极性分子晶体就是依靠这瞬时偶极矩的互作用 而结合的。2.解：答题要点：布洛赫电子论作了3条基本假设，即绝热近似，认为离子实固定在其瞬
