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1、圆锥体体积公式的证明证明需要几个步骤来解决:（上图中，第二个等底等高”的高”是横着的，而底”是竖着的。）现在需要证明，这三个三棱锥，体积都是相等的，也就是各自的体积都是图中三棱柱的体积的1/3.证明需要的命题是：底面全等，且高度相等的三棱锥，体积必然相同。3）如图，底面全等，且高度相等的三棱锥，体积必然相同。这个命题的证明，需要基本的一个原理: 祖暅原理。注释：祖暅原理祖距原理也就是“等积原理”。它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之（429-500）的儿子祖 暅（g仓ng）首先提出来的。祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间 的两个几何体，被平行于这两个 平行平面的任何平 面所截，如果 截得两个
2、截面的面积总相等，那 么这两个几何体的体积相等。在西方，直到17世纪，才由意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri.B,1589-1647）发现。于1635年出版的连续不可分几何中，提出了等积原理，所以西方人把它称之为“卡瓦列里原理”。其实，他的发现 要比我国的祖暅晚1100多年。祖晒原理的思想我们都知道“点动成线，线动成面面动成体”这句话，直线由点构成，点的多少表示直线的长短；面由线构成，也就是由点构成点的多少表示面积的大小；几何体由面构成，就是由线构成，最终也 就是由点构成，点的多少也表示了体积的大小，要想让两个几何体的体积相等，也就是让构成这 两个几何体的点的数量相同，祖暅原理就运用到了
3、它。两个几何 体夹在两平行平面中间，可以理解为这两个几何体平行面间的的高度相等。两平行面之间的距离一定，若视距离为一条线段，那么这个距离上就有无数个点，过一个点，可以画出一个平行于两平行面的截面，若两几何体在被过每一点的平行截面截出的截面面积两两相等，则说明两几何体在同一高度下的每两个截面上的点的数量相同。有无数个截面，同一高度每两个几何体的截面上的点的数量相同，则说明，这两个几何体所拥有的点数量相同，那么也就是说，它们的体积相同。所以我们可以用这种思想来理解祖暅原理。这个原理说：如果两个高度相等的立体，在任何同样高度下的截面面积都相等，那么，这两个立体的 体积就相等。所以，下图可证明：若两三
4、棱锥的底面（三角形）全等，高度相等，那么它们在任何高度上的截面（三 角形）也必然全等。于是可以根据祖暅原理断言：等底等高的三棱锥，体积都相等:三棱柱的体积，与立方体的体积一样，是底面积乘以高，（三棱柱可来自于半个立方体）：知道有关三角形的相似、比例、全等的一些定理，就可深入完成题目的证明。下面这个图，说明了一个直接的、有趣的推论:三个物体体积相等注意上面这个图，在推算球体的体积的时候，还可以用到。下面再给几个有趣的推论，直到求出球体的体积和表面积公式:1）金字塔锥的体积也是：（1/3）x底面积x高.这是由于金字塔锥是两个三棱锥构成的:2）下面的图说明，球体的微分单元是金字塔锥体。由此可知，球体
5、的体积=（1/3）x球的表面积x球半径.上面的公式说明，球体的体积和表面积，只要知道其中一个信息，那么就可知道另一个信息。实际上， 根据球体半径推算球体的体积，可以更先一步。3）球体的体积。先看半球的体积:= 寸 py这还要用到祖暅原理。上图中，左边的内部被挖空一个圆锥体的圆柱体，我们前面见过，右边是一个 半球，高度(球半径)与左边的挖空圆柱体高度相同，都是R.根据图，在任何一个高度h上的水平截面，左边的被截环(绿色)面积是：nR2- nh2-而右边的 图里，被截的圆(绿色)面积是:nr2= n(R2- h2).可见，两形体在任何高度上的截面面积都是相等的。于是，根据祖暅原理，上面两形体的体积相同。左边形体的体积=圆柱体的体积-圆锥体的体积= (2/3)nR3.所以，右边的半球的体积也是= (2/3)nR3.可知整个球体的体积公式是：V=(4/3)nR3.再根据球的体积与表面积的关系公式，可得球体的表面积公式为：S=4nR2.（我们用直观方法得出了球的体积公式。学了微积分的人容易知道用下图的微积分算法求出球的体积公式）dx
