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1、圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备：1. 直线方程的形式(1) 直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式(2) 与直线相关的重要内容倾斜角与斜率k =tan 以，以 e 0,兀)点到直线的距离d =Ax + By + C(A2 + B 2夹角公式：tana =(3)弦长公式直线y = kx + b上两点A( x , y ), B (x , y )间的距离:1122= (1+k 2)(气 + x2)2 - 4 气 x2 或 I AB I =1+-1 y - yk 2(4)两条直线的位置关系l 11 = kk =-1 l /1 o k = k 且b 丰 b121212121
2、22、圆锥曲线方程及性质、椭圆的方程的形式有几种？(三种形式)标准方程：+ = 1(m 0, n 0且m n) m n距离式方程：-,:(x + c)2 + y 2 + (x - c)2 + y 2 = 2a参数攵方程：x = a cos0, y = b sin 0(2)、双曲线的方程的形式有两种AB = J1 + k 2 x - x标准方程：丑+ 21 = 1(m n 0，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点A3 , y ), B(x , y )，将这两点代入曲线方程得到。两个式子，然后。-，整体消 1122元，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则
3、可以利用三点入、B、F共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标 之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为y = kx + b，就意味着 k存在。例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆4x2+5y2= 80上，且点A是椭圆短轴的一 个端点(点A在y轴正半轴上).(1) 若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程；(2) 若角A为900, AD垂直BC于D,试求点D的轨迹方程.分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线 BC的方程。第二问抓住角A为900可得出ABXAC，从而得xx +yy -14( y +y ) +16 = 0，
4、然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程;1 21 212解：(1)设 B ( x ,y ) ,C(x ,y ),BC 中点为(x ,y ),F(2,0)则有蜡 + ZI = 1,宜 + M = 11 12 20 020162016(1)两式作差有(气+气)(气-尤2) + (七一)2)(2) = 0 土 +里=0201654F(2,0)为三角形重心，所以由% + % - 2 ,得x -3 由y + 丁2+ 4_0得v - -2 代入(1) 12 x ,12 0y ,得k -65直线BC的方程为6x 5y 28 02)由 ABXAC 得xx+ y1 y 2 14(* + y 2) + 16
5、 0(2)设直线BC方程为y kx +次代入4x2 + 5 y 2 80 ,得(4 + 5k 2)x 2 + 10bkx + 5b 2 一 80 010kb5b 2 80x + x , x x 12 4 + 5k 21 24 + 5k 28k4b2 - 80k2 y + y =, y y =12 4 + 5k 2 124 + 5k 2代入（2）式得9b2-32b-16 =0，解得b = 4（舍）或b 二-44 + 5k 294y + 直线过定点（。，-。），设 D （x,y）,则9 x2 = 1，即9y2 + 92 -32y-16 = 09XX所以所求点D的轨迹方程是X2 + （y - 16）
6、2 = （20）2（y丰4）。99i ，.:4、设而不求法例2、如图，已知梯形ABCD中|拥=2|CD|，点E分有向线段 /衣 所成的比为人，双曲线过C、D、三点，且以A、B为焦点当2 人。时，求双曲线离心率-的取值范围。3 - 4分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系xOy，如图，若设Cf沙，代入三-12 = 1，求得h =，进而求得X =.,y =.,再代入X2-旦=1，建立 2 Ja 2 b 2E Ea 2 b 2目标函数f （a,b,f,人）=0，整理f （e,人）=0，此运算量可见是难上加难.我
7、们对h可采取设 而不求的解题策略， 建立目标函数f （a,b,f,人）=0，整理f （e,人） = 0,化繁为简.解法一：如图，以AB为垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系 xoy，则CD y轴因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性 知C、D关于y轴对称依题意，记A J,0），C二h，E J ,y），其中f = 1|硕为双12 J 0 02曲线的半焦距，h是梯形的高，由定比分点坐标公式得V /-一 f S 2 ）f泌原公、X 0 = FT=砌），y 0=T+I设双曲线的方程为挡_21 = 1,则离心率e = f。22a由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和g
8、= 代入双曲线方程得a空上=1,4 b2。2Tx+i食-27由式得空=竺_1,24将式代入式，整理得G-41)=1 + 2X，4故入=1e2 +1由题设得，2i一二343。2+2 4解得e所以双曲线的离心率的取值范围为,、而分析：考虑件村AC为焦半径，可用焦半径公式，|AE|,|AC|用E,C的横坐标表示，回避人的计算，达到设而不求的解题策略.解法二：建系同解法一，|Aj = -(o + ex),|AC| = q+ 次，EC官专=料，又静上代入整理j 土，由题设澎对得,解得gej所以双曲线的离心率的取值范围为&,而5、判别式法例3已知双曲线厂上_挡_直线z过点aQ,0),斜率为k,当OvSl时
9、，双曲线22的上支上有且仅有一点B到直线/的距离为71 ,试求*的值及此时点B的坐标。分析1:解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必 然是研究解析几何问题的重要手段.从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难 想到：过点B作与i平行的直线，必与双曲线C相切.而相切的代数表现形式是所构 造方程的判别式a = 0.由此出发，可设计如下解题思路：l: y = k 3 -豆)(0 k 1)直线/在/的上方且到直线/的距离为J2l: y = kx +ilk2 + 2 - 2k把直线/的方程代入双曲线方程，消去y,令判别式A = 0解得k的值解题过程略.分析2：如果从代数推理的角度
10、去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有 且仅有一点B到直线i的距离为汶”，相当于化归的方程有唯一解.据此设计出如下 解题思路：L转化为一元二次方程根的问题求解简解：设点m (x,(2 + x 2)为双曲线C上支上任一点，则点M到直线i的距离为:kx * + x2Ek厂(0 k 1)(*)=、 2、；k 2 + 1于是，问题即可转化为如上关于x的方程.由于0 k 1 ,所以 |x| kx，从而有kx J 2 + x2 砧 2k kx + 12 + x2 +或 2k.于是关于x的方程(*)o - kx + %：2 + x2 + M2k = j2(k2 +1)(一)-2 + x/ = (、:
11、2(k 2 +1) -、2k + kx)2,-,-2(k 2 +1) - ：2k + kx 0(k2 112 + 2k(2(k2 +1) -、. 2k) +( 2(k2 +1) - 2k) - 2 0,、:2(k 2 +1) -，. 2k + kx 0.由0 k 1可知：方 程(2-1Z2+ 2k，2(k2 +1) -、Ux + 0恒成立，于是(*)等价于()(一-)(一)W2 _ 1人2+ 2k 2(k2+ 1)_，、:2kx +2(k2+1)_ , 2k_ 2 0.2x 2 匕凡 t 匕(凡 2 L).匕/V x 匕(Az 2TL) 七匕/V 匕J 由如上关于x的方程有唯一解，得其判别式A
12、 0，就可解得k =荚5 5点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体 思维的优越性.例4已知椭圆C: x 2 + 2业8和点P (4, 1),过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q,使AL =-空，求动点Q的轨迹所在曲线的方程.PB QB分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解因此，首先是选定参数，然后想方设 法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.由于点Q(x,y)的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率k作 为参数，如何将x, y与k联系起来
13、？ 一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运 用题目条件：AP =-丝来转化.由A、B、P、Q四点共线，不难得到4(x + x )-2xx，PB QBx =8-(x：+ xBA B要建立X与k的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题， 已经做到心中有数.在得到X = f （k）之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于x, j的方程（不含k），则可由y = k（X-4） +1解得k = y T，直接代入X = f （k）即可得x - 4到轨迹方程。从而简化消去参的过程。简解：设A
14、（x , y ）, B（ x ,y ）, Q（ x, y），则由空=-丝可得：七% = 土、，1122PB QBX 2 - 4 x 2 - X解之得：X =四七+史2气X 2（1）8 （ x + x ）设直线AB的方程为：y = k（x - 4） +1 ,代入椭圆C的方程，消去y得出关于x的一 元二次方程:侦 2 +1) 2 + 4k (1 - 4k) x + 2(1 - 4k )2 8 = 0(2)4k (4k 1) x + x =,122k 2 + 12(1 4k )2 8 x x =.1 22k 2 + 1(3)代入(1)，化简得：x = 4k + 3k + 2.与 y = k(x 4)
15、 +1 联立，消去k 得：(2x + y 4】x 4) = 0.在(2)中，由 A = -64k2 + 64k + 24 02士击，结合（3）可求得162、1016+210 x .99故知点Q的轨迹方程为：2x + y 4 = 016 + 2-;10).4（16 2同0 x 0的情形.当 k 0 时，-27k + 6.9k2 -5-27k -69k2 -5，x =1 x 19k 2 + 429k 2 + 4189+2tF所以 AP = 气 二9k + 2! 9k 2 5 =i18k=PBx29k + 2、；9k 2 -厂9k + 2t9k 2 - 51由 = (-54k)2-18oGk2 +
16、4L 0,解得 k2 5，9所以1 118-1 1 9+2,：9 -七1，:5综上-1 空-1.PB 5分析2:如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等 的根源.由判别式值的非负性可以很快确定k的取值范围，于是问题转化为如何将所 求量与k联系起来.一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接 应用韦达定理，原因在于空二不是关于尤，尤的对称关系式.原因找到后，解决问PB x1 22题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于x, x的对称关系式.简解2：设直线l的方程为：y = kx + 3，代入椭圆方程，消去y得Gk 2 + 4 X 2 + 54kx + 45
17、= 0（*）f- 54k, x + x =,则 I 12 9k 2 + 4tx =工.1 2 9k2+4令土 = X，则，入 +1+ 2 = 324k2七X一 45k 2 + 20在(*)中，由判别式A 0,可得k 2 5，94 X +1 + 2 丑，解得人 5从而有 4 324k2 36，所以-45k 2 + 20 一 5结合 0 X 1 得 1 X 1.5综上，一1 翌 写出椭圆方程由 F 为 APQM 的重心一 PQ 1 MF, MP 1 FQ k pQ = 1解题过程：(I)如图建系，设椭圆方程为兰+ 21 = 1(a b 0)，则c = 1a 2 b 2又AF - FB = 1 即(
18、a + c) - (a - c) = 1 = a2 - c2 ,二 a2 = 2故椭圆方程为X2 + y2 = 12(口)假设存在直线/交椭圆于P, Q两点，且F恰为APQM的垂心，则设 P(x , y ), Q(x , y )，： M (0,1),F(1,0)，故k“ = 1 , 1122PQ于是设直线/ 为 y = x + m，由 J y * + m 得，3x2 + 4mx + 2m2 - 2 = 0I x 2 + 2 y 2 = 2-MP FQ = 0 = x (x -1) + y (y -1)又 y = x + m(i = 1,2)1221i i得 x (x -1) + (x + m)
19、(x + m -1) = 0 即2xx +(工+ x )(m-1)+m2 -m = 0 由韦达定理得c 2m2 - 24m ,2 (m -1) + m 2 - m = 033解得m = -4或m = 1 (舍)经检验m = -4符合条件.33点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零.例7、已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A(-2,0)、B (2,0)、(1)求椭圆E的方程:(口)若点D为椭圆e上不同于A、B的任意一点，F (-1,0), H (1,0)，当OFH内切圆的面积最大时，求 DFH内心的坐标;思维流程：(I)由椭圆经过A、B、C三点|
20、设方程为mx 2 +2 = 1|得到m, n的方程解出m, n由ADFH内切圆面积最大 转化为ADFH面积最大转化为点D的纵坐标的绝对值最大最大D为椭圆短轴端点 0,n 0)将 A(-2,0)、B(2,0) C(1,3)2代入椭圆E的方程，得4m = 1.9 解得m = Ln = 椭圆E的方程兰+ = 1 .m + n = 14343I 4(D) | FH 1= 2，设 DFH 边上的高为 S = 2 x 2 x h = h当点D在椭圆的上顶点时，h最大为龙，所以S的最大值为73 . 0,6k 2由线段AB中点的横坐标是-1,2x1 + % =-3k 2 +1.得x4 = -_!土 = -L,
21、解得小+金，符合题意。23k 2 +1 2k = T所以直线AB的方程为x-J3y +1 = 0 ,或 x + 寸3 y +1 = 0 (口)解：假设在x轴上存在点M (m,0)，使MA - MB为常数.xx =上.1 23k2 + 1 当直线AB与x轴不垂直时，由(I)知x1 + x2=-崇弓,所以MA-MB = (x -m)(x -m) + y y = (x -m)(x -m) + k2(x + 1)(x +1)=(k2 + 1)xx + (k2 - m)(x + x ) + k2 + m2.将(3)代 入， 整理 得疏-M=普号1,14(2 m )(3k 2 +1) - 2m 333k
22、2 +1+ m 2 = m 2 + 2m -1 -划土3 3(3k2+1)注意到MA -MB是与k无关的常数，从而有6m +14 = 0, m =-,此时MA-MB = 4.39 当直线AB与x轴垂直时，此时点A, B的坐标分别为，-1,_L J-L-Z,当m =-I3时，亦有MA MB = 4.9综上，在x轴上存在定点Mf-7,0，使MA Mb为常数.点石成金：MA MB =(6m-1)k2-5+m2 =3k 2 +1114(2 m - )(3k 2 +1) - 2m- 33 + m 23k 2 +1-16m +14=m 2 + 2m -.3 3(3k2+1)例9、已知椭圆的中心在原点，焦点
23、在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1),平行于OM的直线i在y轴上的截距为m(m=O), 1交椭圆于A、B两个不同点。(1)求椭圆的方程；(U)求m的取值范围；(皿)求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.思维流程：解：(1)设椭圆方程为兰+辛=13 b 0)厂1解得；2 = 8 云 + b T 12 = 2. 椭圆方程为寻=1().直线1平行于OM,且在y轴上的截距为m又K = 1OM 21的方程为:1y=2x+m:.x2 + 2mx + 2m2 一 4 = 0E + 匕=182 直线1与椭圆交于A、B两个不同点，. = (2m)2 4(2m2 4) 0, 解得2 m 2
24、,且m丰0(m)设直线MA、MB的斜率分别为斗k2,只需证明ki+k2=0即可设 A(x , y ), B(x , y ),且x + x = 2m, x x = 2m2 41122121 2则 k = h , k = n1 x 2 2 x 2由 x + 2mx + 2m 2 4 =。可得x + x + 2m,工工=2m 2 4121 2而 k + k = H+匚=1)(x 22)+(y 21)(气2)(气2)( x 2 2)12 x 2 x 2X + m 1)( X 2) + ( x + m 1)( X 2)(气2)( X2 2)x x + (m + 2)(x + x ) 4(m 1)1 21
25、2(x 2)( x 2)122m2 - 4 + (m 2)(-2m) - 4(m -1)(气2)( X2 2)2m 2 4 2m 2 + 4m 4m + 4 =0(气2)( X 2 2)故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.点石成金：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形 k + k = 0例10、已知双曲线抒-H = 1的离心率 =冷，过A(a,0), B(0,-b)的直线到原点的距离是旦.2求双曲线的方程;已知直线y = kx + 5( k卫0)交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.思维流程:解：.(1) 土 2 7亏原点到直线AB： x y 1的距离
26、d =abab -b 0), a 2b 2a = 2, c = 1,由已知得：a + c = 3, a -c = 1,.椭圆的标准方程为X2+Z2 = 1.43(II)设 A(x, y ), B(x , y ) .1122联立Jy = kx + m,X2 += 1.43即3 + 4k2 - m2 0,得 (3 + 4k2)x2 + 8mkx + 4(m2 一3) = 0，则A = 64m2k2 -16(3 + 4k2)(m2 -3) 0, 8mk x1+ x2 3 + 4k 2,4(m2 二 3) x1 % 3 + 4k 2又3(m2 - 4k2)人 y y = (kx + m)(kx + m
27、) = k2x x + mk(x + x ) + m2 =1 2121 2123 + 4k 2因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D (2,0),. k k - -1，即一七一-2 = -1 二 y y + x x - 2(x + x ) + 4 = 0 -AD BDx - 2 x - 2121212.7m2 + 16mk + 4k2 _ 0 .3(m2 -4k2) + 4(m2 -3) + 15mk + 4 _ .3 + 4k 23 + 4k 23 + 4k 2一解得：m _ -2k, m =-言，且均满足3 +4k2 -m2 0 -当m =-2k时，Z的方程=k(x-2)，直线过点(2,0)
28、，与已知矛盾; 1当m =-为时，l的方程为=kfx-2)，直线过定点f2,0、.27I 7)17 )所以，直线l过定点，定点坐标为Z,0点石成金：以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点 CAXCB； 例12、已知双曲线栏-22 _ 1(a 0, b 0)的左右两个焦点分别为十2，点P在双曲线右支上.(I)若当点P的坐标为(3*41 16)时,PF PF，求双曲线的方程； 5 512(H)若| pf |_ 31 PF I，求双曲线离心率e的最值，并写出此时双曲线的渐进线方程.思维流程: 解：(I)(法一)由题意知,PF _ (-c-!,-竺)，PF _ (c -立1,-给,1552 、55PF pF
29、 , PF PF _ 0, (-c - 3-41) (c - 矣冬) + (- 性 _ 0 (1 分)1212、5553)2 + (- ?)2 _。(*71 + 3)2 -：(*4T - 3)2 _ 6 ,. a _ 3, b _ 4解得c 2 _ 25,. c _ 5 由双曲线定义得：|尸匕1-1尸住2|_2，.2a _ 代-5 - 卜+(-)2 - 5 -55.所求双曲线的方程为：x2- 2_ 1916 一(法二)因PF 1 PF，由斜率之积为-1,可得解.(H)设IPF |_,I PF2 |_ 七,(法一)设 P 的坐标为(x ,)由焦半径公式得1= ex 一 a2a 2r =1 a +
30、 ex 1= a + ex , r =1 a 一 ex1OO 2(七=3r2，二 a + ex = 3(ex _ a),.2a2、,/ x a,. a, . 2a c ,.e的最大值为2,无最小值.此时c = 2,b =aab c2 a2；-= e2 1 =七：3 ,.此时双曲线的渐进线方程为y = &x（法二）设乞齐2=。，Oe （0,兀.(1)当 6=兀时,/ r + r = 2c,且r = 3r，二 2c = 4r , 2a = r r = 2r12122122此时e =兰=也=2 . 2a 2r2e =空=r2 f 10一6C0S02a2r2*10 6 cos 02当O e （0,兀），由余弦定理得:(2c)2 = r 2 + r 2 2r r cosO = 10r 2 6r 2 cosO121222/ cos 0 e （1,1） L.e e （1,2）,综上,e的最大值为2,但e无最小值.（以下法一）
