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1、圆锥曲线八种解题方法、七种常规题型和性质（有相应例题详解）总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法（点参数、K参数、角参数）7、代入法中的顺序8、充分利用曲线系方程法七种常规题型（1）中点弦问题（2）焦点三角形问题（3）直线与圆锥曲线位置关系问题（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题（5）求曲线的方程问题1. 曲线的形状已知这类问题一般可用待定系数法解决。2. 曲线的形状未知-求轨迹方程（6）存在两点关于直线对称问题（7）两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r+r =2a。第二定义中，r =ed r
2、=ed。1 21122（2）双曲线有两种定义。第一定义中，r - r | = 2a，当r r时，注意r的最小值为12122c-a:第二定义中，red，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准 线距离”互相转化。（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用 定义解决更直接简明。2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化 为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线 问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不 要忽视判别式的作用
3、。3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解 决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问 题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A（x1，y1）,B（x2,y2）,弦 AB中点为M（xQ,y0），将点A、 B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不 求”法，具体有：QQ群557619246X 2V 2（1）a2 +万7 = l（a b 0）与直线相交于A、B，设弦AB中点为M（x0，y0），则有土 +上k = 0。（其中K是直线AB的斜率） a 2 b 2X 2V 2（2）a
4、2 b7 = l（a 0,b 0）与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M（x,y0）则有-0 k = 0 （其中K是直线AB的斜率） a2 b2（3）y2=2px（p0）与直线 l 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M（x0，y0）,则有 2y0k=2p，即 y0k=p. （其中K是直线AB的斜率）4、弦长公式法弦长公式:一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是:把直线方程y = kx + b代入圆锥曲线方程中，得到型如ax2 + bx + c = 0的方程，方程的两根设为X , XB，判别 . 王式为，则IAB =玉1 + k2 IXA XBI = V1 + k2-，右直接用结论，能
5、减少配方、开 方等运算过程。5、数形结合法解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数 式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。如“2x+y”，令2x+y=b，则b表示斜率为-2的直线在y轴上的截距；如“x2+y2” ,令:.一y 3 y 3诲2 + y2 = d，则d表示点P（X，y）到原点的距离；又如“ J;”，令;二k，则kx + 2 x + 2表示点P（x、y）与点A（-2，3）这两点连线的斜率6、参数法（1）点参数利用点在某曲线上设点
6、（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他 相关量，再列式求解。如x轴上一动点P，常设P（t，0）；直线x-2y+1=0上一动点P。 除设P（xi，yi）夕卜，也可直接设P（2yi-1,yi）（2）斜率为参数当直线过某一定点P（x0,y0）时，常设此直线为y-y0=k（x-x0），即以k为参数，再按命题 要求依次列式求解等。（3）角参数当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。7、代入法中的顺序这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件 PP2求（或求证）目标Q”，方法1是将条件七代入条件P2,方法2可将条件七代入条件Pi，
7、 方法3可将目标Q以待定的形式进行假设，QQ群557619246代入PP2，这就是待定法。不 同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。八、充分利用曲线系方程法一、定义法【典型例题】例1、（1）抛物线C:y2=4x上一点P到点A（3,4 t2 ）与到准线的距离和最小，则点标为（2）抛物线C: y2=4x上一点Q到点B（4,1）与到焦点F的距离和最小，则点QP的坐的坐标为.当A、P、F三点共线时，距离和最小。分析：（1） A在抛物线外，如图，连PF，则PH = |PF|，因而易发现（2） B在抛物线内，如图，作QRl交于R,则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。解：（
8、1）（2，巨）连PF，当A、P、F三点共线时，Ap + PH = |AP| + |PE|最小，此时AF的方程为 =- 3 -1）即 y=2：2（x-1）,代入 y2=4x 得 P（2,2 t2 ），（注：另一交点为（了,、2），3 12它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去）（2）（顶）4过Q作QRl交于R，当B、Q、R三点共线时，bQ + Qf| = bQ + QR最小，此时Q一11 .点的纵坐标为1，代入y2=4x得x=4，Q（4，1）点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。 X 2 V 2 2a AFf = 4 当P是Fa的延长线与椭圆的交点时，P
9、A + |PF|取得最小值为4- 5。 1（2）作出右准线 1，作 PHl 交于 H，因 a2=4，b2=3，c2=1， a=2，c=1，e=g，.Pf| = 1| ph |,即 2| pf | = |ph | 2?. |pa| + 2|pf| = |pa| + |ph|a 2当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为一 x = 4 -1 = 3解：如图，|mc| = md，a ac - MA = MB - DB 即6 - MA = MB - 2.ma+MB = 8(*)x 2y 2.点M的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b2=15轨迹方程为p +壬 =116 15点评：得到方程（*）后
10、，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出：（x +1）2 + y2 + ；（x-1）2 + y2 = 4，再移项，平方，相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐!3例 4、AABC 中，B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB= sinA，求点 A 的轨迹方程。分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R为外接圆半径）， 可转化为边长的关系。33解：sinC-sinB=5 sinA 2RsinC-2RsinB= 5 , 2RsinA3,.|AB| -AC = 5 BC即 |AB|- AC = 6(*).点A的轨迹为双曲线的右支
11、（去掉顶点）2a=6，2c=10a=3， c=5， b=4x2y2所求轨迹方程为亏一 1- = 1（X3）点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M,求点M到x轴 的最短距离。分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设A（X,X2），B（x2, X22），又设AB中点为M（x0y0） 用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。（2）M到x轴的距离是一种“点线距离”可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。解法一：设 A（xi，xi2），B（x2，x22），AB 中点 M
12、（x0，y）(X - X )2 + (x2 X2)2 = 9 x + x = 2 xX2 + X2 = 2 y由得(xx2)21+(x+x2)2=9即(x1+x2)2-4x1x2 1+(x1+x2)2=9 由、得 2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代入得(2x0)2-(8x02-4y0) 1+(2x0)2=9,994 y = 4 x 2 += (4 x 2 +1) +004x 20N 2.9 1 = 5,当 4x02+1=3=项时5克5(y0、= 4此时M( 2,4yAM2BL xB2AF+BF-ABA3法二如图，2| MM J = IAA2I + Bq,3MM -2 2,13
13、即 |MM | + |MM | 5当AB经过焦点F时取得最小值。一，5 AM到x轴的最短距离为了点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消, x2,从而形成y0关于x0的函数， 这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中,M到x轴 的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合 定义与三角形中两边之和大于第三边(当三角形“压扁”时，QQ群557619246两边之和等 于第三边)的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验iiAB是否能经过 焦点F，而且点M的坐标也不能直接得出。二、韦达定理法【典型例题】X 2 V 2例6
14、、已知椭圆一 + J = 1(2 m 5)过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次交于A、B、C、D、设f(m)=|AB| |CQ|,(1)求f(m), (2)求f(m)的最值。分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因A、B来源于“不同系统”，A在准线上，B在椭圆上，同样C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段 “投影”到x轴上，立即可得防f (m) = |(xB - xA )很-气-工疽廿2 =。2|气-xA) - (xD - X。)=V2|(x + x ) (x + x )用v此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。,x 2V 2解：(1)椭圆福 + mi
15、 = 1 中，a2=m, b2=m-1, c2=1,左焦点 F1(-1,0)则 BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0(2m-1)x2+2mx+2m-m2=02m设 B(x ,y ),C(x ,y )，则 x +x =-(2 V m V 5),y , ,y ,1 12 21 2 2m 1f (m) EABlCD = 2 (x - x ) (x - x )|i i i 2mv2 (x + x ) (x + x ) = 2 x + x = .：21 12 A C122m 1 f (m) = 2mzl1 f .2(1 +
16、 )2m 一 12m 110 巨.当 m=5 时，f (m)min、4v2当 m=2 时，f (m)= max 3点评：此题因最终需求七+ xc，而BC斜率已知为L故可也用“点差法”设BC 中点为M(x ,y),通过将B、C坐标代入作差，得金+二、-k =。，将y=x+1, k=1代入得 0 0m m 10 0土 + = = 0，二 x =-工，可见 x + x =-工 m m 102m 1B C2m 1当然，解本题的关键在于对f (m) = |AB|-|CD|的认识，QQ群557619246通过线段在x轴的“投影”发现f (m) = |xB + x是解此题的要点。三、点差法与圆锥曲线的弦的中
17、点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次 方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A3,y )、B(x ,y )，将这两点代入 1122圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子，可以大大 减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。1. 以定点为中点的弦所在直线的方程x 2 y 2一八一-例1、过椭圆R + ? = 1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线 164的方程。解：设直线与椭圆的交点为
18、A(x , y )、B(x ,y )1122,/ M(2,1)为 AB 的中点 x + x = 4 y + y = 21212又 A、B 两点在椭圆上，则 x2 + 4y 2 = 16，x 2 + 4y 2 = 161122两式相减得(x2 -x 2) + 4(y 2 - y 2) = 01212于是(x + x )(x x ) + 4(y + y )(y y ) = 012121212y - y_ x + x _4_1x 一 x4(y + y )4 x 221212即kAB= -2，故所求直线的方程为y-1 = 一2(x-2)，即x + 2y-4 = 0。例2、已知双曲线x2 -% = 1，
19、经过点M(1,1)能否作一条直线l，使l与双曲线交于A、B，且点M是线段AB的中点。若存在这样的直线l，求出它的方程，若不存在，说明理 由。策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。解：设存在被点M平分的弦AB，且A(x , y )、B(x , y )1122则 x + x = 2 y + y = 212，12两式相减，得(X + x )(x - x ) - 1(y + y )(y - y ) = 0 /. k = = 2121221212AB x 一 X12故直线 AB : y -1 = 2(x -1)y
20、 - 1 = 2(x - 1)由(y2消去 y，得2x2-4x + 3 = 0x 2 二=1、2A = (-4)2 - 4 x 2 x 3 = -8 0这说明直线AB与双曲线不相交，故被点M平分的弦不存在，即不存在这样的直线Z。 评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点 弦问题中判断点的M位置非常重要。（1）若中点M在圆锥曲线内，则被点M平分的弦一 般存在；（2）若中点M在圆锥曲线外，则被点M平分的弦可能不存在。2.过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹y 2x2一1例3、已知椭圆* +云=1的一条弦的斜率为3,它与直线x = 5的交点恰为这条弦的中点M
21、，求点M的坐标。解：设弦端点P（气,y1）、Q(x , y )，弦PQ 的中点M(x , y )，则 x =1220002y1 + y2 = 2 y0y2 x2又 I + = 17525址+壬=17525两式相减得25(y + y_心-义)+ 75(x1 + %心- x2) = 01212即 2y (y y ) + 3(x x ) = 0/. 2 = 0 1212x x 2 y11、. 点M的坐标为（2,2）。y 2 x 2-例4、已知椭圆* + w = 1,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。解：设弦端点P（气,y1）、Q（x2, y 2），弦 PQ 的中点 M （x，y），则又虻+k = 1
22、,址+M = 175257525两式相减得25（y + 乂）（y - ）+ 75（七+号（七-%） = 01212即 y (y y ) + 3 尤(x 尤)=03 x二一=3，即 x + y = 0 yx + y = 0!X 2+ = 175 255容5$、八/5招 5、旨、）Q（一F，F）点M在椭圆内、, 一 , 5353.它的斜率为3的弦中点的轨迹万程为x + y = 0（- 5 x一厂）例1已知椭圆成+ y2 = 1,求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.解设弦的两个端点分别为P （气，”,Q （X2, y2），用的中点为M G y）.则- + y2 = 1, (1) -22 + y 2 =
23、 1, (2)2122(1)(2)得：X + (y 2 y 2 )=0,212XX2 + 4Z22 (y + y )=0.2 x x 12又 x + x = 2x, y + y = 2y, = 2 ,1212 x X.,弦中点轨迹在已知椭圆内，所求弦中点的轨迹方程为x + 4y = 0 （在已知椭圆内）.例2直线l: ax y （a + 5） = 0 （ a是参数）与抛物线f : y = （x +1）2的相交弦是AB，则弦AB的中点轨迹方程 .解 设 A(x ,y )、B(x ,y ), AB 中点 M (x, y )，则 x + x = 2 x. 112212 l: a (x -1)-(y
24、+ 5) = 0, .I l 过定点 N (1,5),，. k = k = -.AB MN X -1又七=(气 +1,(1) y2 = (x2 +1)2, (2)(1)-(2)得:y - y = (x +1)2 -(x +1)2 =(尤-尤)(x + 尤 + 2), 12121212k = 1y = x + x + 2AB x - x 12y + 5于是=2x + 2 ,即 y = 2x2 7 .x -1,弦中点轨迹在已知抛物线内，.所求弦中点的轨迹方程为y = 2x2 -7 (在已知抛物线内).3. 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为F(0 50)的椭圆被直线l:
25、y = 3x-2截得的弦的中点的1横坐标为，求椭圆的方程。y 2 x 2解：设椭圆的方程为一 = 1 ,则。2 - b 2 = 50a 2 b 2设弦端点P(x , y )、Q(x , y )，弦PQ的中点M(x , y )，则 1 12 20 0x =L， y = 3x - 2 = - :. x + x = 2x = 1， y + y = 2y = -102002120120又 5+i=1，壬+m=1两式相减得b2(y + y )(y - y ) + a2(x + x )(x - x ) = 012121212即一b2(y - y ) + a2(x - x ) = 01212y广y2 =竺
26、x - x b 2a2=3- b2联立解得a2 = 75，b2 = 25y2 x2.所求椭圆的方程是云 + 7 =1/ J 匕。例3已知AABC的三个顶点都在抛物线y2 = 32x上，其中A(2,8)，且AABC的重心G是抛物线的焦点，求直线BC的方程.解由巳知抛物线方程得G（8,。）.设M的中点为讯时）,则A、G、M三点共线，且|AG| = 2|GM|,.G分AM所成比为2,于是2 + 2x o- = 81 + 28 + 2y 9- = 01 + 2丁11, Ml,4）.y =-40设B（x ,y ）,C（x ,y ）,则 y + y = 8一 一-212解得22 = 32%,（1）-（2）
27、得：y2i_y 2 = 32（x -x ）, /. k212BCy y t2rx - X123232/=-4 -8BC 所在直线方程为 y + 4 = 4（x 11）,即 4x + y 40 = 0.例4已知椭圆打+兰=1（。 Z? 。）的一条准线方程是X = l,有一条倾斜角为的Q2 Z?24,r 1 o直线交椭圆于A、3两点，若AB的中点为C2 4；，求椭圆方程.解 设 A（x,y ） B（x ,y ）,则 x +x =l,y + y =：, * *2 2X2且工+12比=1, Z?2X 2 V 2+ 土 = 1, （2）。2Z?2（1）-（2）得:X2 -% 2Q2y 2 y 2t ,Z
28、?2y y .&X - X12+ X ）、顶12bl -1.1 = kABJTX -x122/72.。2 = 2Z?2, （3）。2,又一 =LC（4）而。2 =力2 +C2, （5）1 712V2由（3）, （4）, （5）可得=项,所求椭圆方程为+ = 12 44. 圆锥曲线上两点关于某直线对称问题X 2 V 2,例6、已知椭圆丁 + ? = 1,试确定的m取值范围，使得对于直线V = 4X + m，椭圆上总 43有不同的两点关于该直线对称。解：设P(x , V )，P (x , V )为椭圆上关于直线V = 4x + m的对称两点，P(x, v)为弦PP1112221 2的中点，则3x2
29、 + 4v 2 = 12，3x 2 + 4v 2 = 121122两式相减得，3(x 2 x 2) + 4(V 2 V 2) = 01212即 3(x + x )(x x ) + 4(V + V )(V V ) = 012121212x + x = 2 x， V + V = 2 V， 1V2 1212x1 - x 24V = 3x这就是弦七中点P轨迹方程。它与直线V = 4 x + m的交点必须在椭圆内I v = 3xI x = m3联立=4x + m 得=-3m则必须满足V2 3 一 4 ，s、 c 32而2而即(3m)2 3 4m2，解得 m = =25 (约 + 七)25 2y025 *
30、,25 y.直线DT的斜率匕广*，直线DT的方程为y y =率0(x 4).八64令y = 0,得x =天,即T164,ok25 7直线8T的斜率k =-057644 - 25o 366. 确定参数的范围例6若抛物线C : y2 = x上存在不同的两点关于直线l: y = m（x 3）对称，求实数 m的取值范围.解当m = 0时，显然满足.当m。0时，设抛物线C上关于直线l: y = m （x 3）对称的两点分别为p（x，y）、Q（x，y），且PQ的中点为M（x，y），则y2 = xi（1）y22=x2，(1)-(2 )得:yi2 y22. k =二 pQx x又kpQ y0,伸点M (%,
31、”在直线1: y = m(x- 3)上， y0=m （x。 3），于是,中点在抛物线y2 = x区域内M.y 20 x，即、2 5.-，解得-710 m b 0）不垂直于x轴的任意一条弦 a 2 b 2P是AB的中点，O为椭圆的中心.求证：直线AB和直线OP的斜率之积是定值.证明设 A （x , y ）, B （x , y ）且 x 丰 x，112212则区+m=a2 b21，(1) Xi+?=1，a2b2(2)(1)-(2 )得:b2(X + X )a2 (y： + y)二 kABb 2 (X + X )a2 (y； + y；)又 k = y + y2 OP X + X、=-a .OPb2
32、1b2 ,、kAB kOP =(定值).8.其它。看上去不是中点弦问题，但与之有关，也可应用。例9,过抛物线y2 = 2px(p 0)上一定点p(x0,y0) ( y0 0)，作两条直线分别交抛物 线于 A ( x ,y ), B ( x , y ).1122P(1)求该抛物线上纵坐标为彳的点到其焦点F的距离；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，率是非零常数.求y1 + y2的值，并证明直线AB的斜 y 0解(1)略(2)：设 A (yjyp ,B(y22,y2)，.k =义二PA y 21 - y 22y 2 一 y2y + y2020由题意，kAB=-kAC，1y + y y +F
33、叫 + y 了一 *1020则：k = - 一为定值。AB 2 y0例10、抛物线方程y2 = p(x + 1) (p 0)，直线x + y = t与x轴的交点在抛物线准线的右边。(1) 求证：直线与抛物线总有两个不同交点(2) 设直线与抛物线的交点为A、B,且0人上08,求p关于t的函数f(t)的表达式。(1)证明：抛物线的准线为1： x = -1 - p4由直线x+y=t与x轴的交点(t，0)在准线右边，得t-1 - p，而4t + p + 4 0I x + y = t由( c消去)得 x2 - (2t + p)x + (t2 - p) = 0ly2 = p(x + 1) = (2t +
34、p)2 一 4(t2 一 p) = p(4t + p + 4) 0故直线与抛物线总有两个交点。(2)解：设点 A(xy1),点 B(x2, y2). xi + x2 = 2t + p， xix2 = t2 一 pQ OA 1 OB :.、x % = 1则乂土方工二0又 yiy2 = (t - xi)(t - x2)+ y1y2 =t2 -(t+2)p=0p=f(t)=t2T+2又p 0， 4t + p + 4 0得函数f（t）的定义域是（-2，0） u （0， +8）【同步练习】一 X 2 V 2 ，1、已知：F，F2是双曲线云-b2 = 1的左、右焦点，过F作直线交双曲线左支于点A、B，若
35、|AB| = m，AABF2 的周长为（）A、4aB、4a+mC、4a+2mD、4a-m2、若点P到点F（4,0）的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则P点的轨迹方程是 （）A、y2=-16xB、y2=-32xC、y2=16xD、y2=32x3、已知ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列，且|AB| |AC|，点B、C的坐标分别为（-1，0），（1，0），QQ群557619246则顶点A的轨迹方程是（）A、X 2 V 2+ 43B、号 + 与=1(X 0)D、+ V = 1(X 0 且 V 0)4、过原点的椭圆的一个焦点为F(1, 0),()其长轴长为4,则椭圆中心的轨迹方程是A、C
36、、,1、9 z(尤 一)2 + y2 =(尤 -1)x 2 +(y 2)2 = 4(x 力1)B、D、19(x + - )2 + y2 =(x 1)Ix2 + (y + )2 = (x 2 1)Ix 2 y 25、已知双曲线云-三=1上一点M的横坐标为4,则点M到左焦点的距离 9166、抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程 7、已知抛物线y2=2x的弦AB所在直线过定点p(-2, 0)，则弦AB中点的轨迹方程是8、过双曲线x2-y2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为9、直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的交点个数只有一个，则k=x2 y210、设点P是椭圆 + = 1
37、上的动点，FF2是椭圆的两个焦点，求sinZF1PF2的最大值。11、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距 离依次成等差数列，若直线l与此椭圆相交于A、B两点，且AB中点M为(-2,1), |AB = 4.月， 求直线l的方程和椭圆方程。X 2 y 212、已知直线l和双曲线云* = 10 0，b 0)及其渐近线的交点从左到右依次为A、B、C、D。求证：|AB| = CD参考答案1、CA勺TJ = 2药时一件1 = 2。，. |AF | + |BF |-AB = 4a, |AF 1 + BF2 + B = 4。+ 2m,选 c2、C 点P到F与到x+4=0等
38、距离，P点轨迹为抛物线p=8开口向右，则方程为 y2=16x，选 C3、 DAB + |AC| = 2 x 2，且 |AB| |AC|.点A的轨迹为椭圆在y轴右方的部分、又A、B、C三点不共线，即y/0，故选D。4、A设中心为(x，y)，则另一焦点为(2x-1，一 一、 .1、9得1 + ,(2 X -1)2 + (2 j )2 = 4，. 3 - 2)2 + j 2 = 42y），则原点到两焦点距离和为4又 ca,. *3 -1)2+ j2 2.（x-1）2+y2 2） 设弦为 AB，A（x1，y1），B（x2，y2）AB 中点为（x，y），则 y1=2x12,+ 0 皿2，x = 2将x
39、=；代入y=2x2得y =；,轨迹、 一 1方程是尤=2 (y2)7、y2=x+2(x2)设 A(xy1), B(x2，y2)，AB 中点 M(x, y),则y2 = 2x , y2 = 2x , y2 y2 = 2(x - x ), 一- (y + y ) = 211221212 x 一 x 12k = k = y_- ,. 一 - 2 y = 2 ,即 y2=x+2AB MP x + 2 x + 2又弦中点在已知抛物线内P,即y22x，即x+228、4a2 = b2 = 4, c2 = 8, c = 2%2，令 x = Z、Q 代入方程得 8-y2=4y2=4 , y=2,弦长为49、 t2或 1 y=kx+1 代入 x2-y2=1 得 x2-(kx+1)2-1=0(1-k2)x2-2kx-2=011 k 2 丰 0 J得 4k2+8(1-k2)=0, k= 72 1-k2=0 得 k=1IA = 010、解：a2=25, b2=9, c2=
