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1、第四讲 晶体宏观对称（二）对称组合定律及空间格子类型,1 对称要素组合定理 定理一：LnPLnnP 定理二：LnL2=LnnL2 定理三：Ln（偶次）PLnP C 定理四：当n为奇数时：LinL2（或P）LinnL2nP 当n为偶数时：LinL2（或P）Linn/2L2 n/2 P 定理五：Ln Lm mLnnLm（当L3 与L4 斜交时）2 空间格子类型与晶体常数特点（一）空间格子的划分（二）空间格子类型（三）十四种布拉维格子 3 对称型（点群）的国际符号,1 对称要素组合定理,回顾上次讲课用到的模型：绿柱石：L66L27PC锆石：L44L25PC萤石：3L44L36L29PC从上面的结果可
2、以看出什么规律？对称要素组合不是任意的，必须符合对称要素的组合定律；当对称要素共存时，也可导出新的对称要素。,对称要素组合定理：,定理一：LnL2LnnL2(L2与L2的夹角是Ln基转角的一半)逆定理：L2与L2相交，在其交点且垂直两L2会产生Ln，其基转角是两L2夹角的两倍。并导出其他n个在垂直Ln平面内的L2。例如:L4L2L44L2,L3L2L33L2思考:两个L2相交30,交点处并垂直L2所在平面会产生什么对称轴?,定理二：Ln P LnP C(n为偶数)逆定理：Ln C LnP C(n为偶数)P C LnP C(n为偶数)这一定理说明了L2、P、C三者中任两个可以产生第三者。因为偶次
3、轴包含L2。,定理3：Ln P/LnnP/（P与P夹角为Ln基转角的一半）；逆定理：两个P相交，其交线必为一Ln，其基转角为P夹角的两倍，并导出其他n个包含Ln的P。（定理3与定理2对应）思考:两个对称面相交60,交线处会产生什么对称轴?,定理4：Lin P/=Lin L2 Linn/2 L2 n/2 P/（n为偶数）Linn L2 nP/（n为奇数）,图示说明例1：方解石：L33L23PC，此L3为Li3（有对称中心）有一个L2是垂直Li3的（或有一个P是包含Li3的）则：Li33L23PL33L23PC例2：四方四面体：有一个Li4，有P包含Li4（或L2垂直于 Li4）则其对称型为：Li
4、42L22P,定理五：Ln Lm mLnnLm（当L3 与L4 斜交时）举例：萤石晶体模型：3L44L36L29PC,32种对称型推导表,2 空间格子类型与晶体常数特点,2.1空间格子的划分 平行六面体的选择对于每一种晶体结构而言，其结点(相当点)的分布是客观存在的，但平行六面体的选择是人为的。,对于一个空间点阵，可以划分出一个平行六面体作为一个基本单位，整个空间点阵可以由这个单位平行六面体在三维空间的平移而产生。划分平行六面体的方式有很多，但应遵循以下原则：1）所选平行六面体的对称性应符合整个空间点阵的对称 性；2）在不违反对称的前提下，应选择棱与棱之间直角关系 为最多的平行六面体；3）在遵
5、循前二条件的前提下，所选平行六面体的体积应 为最小；4）当对称性规定棱间的交角不为直角时，则在遵循前三 个条件的前提下，应选择结点间距小的行列作为平行 六面体的棱，且棱间交角近于直角的平行六面体。,下面两个平面点阵图案中，请同学们画出其空间格子：4mm mm2,4mm,mm2引出一个问题：空间格子可以有带心的格子；另外请思考：如果上面的图案对称为3m，该怎么画？,a0,c0,b0,平行六面体参数：a0、b0、c0和、对比晶体几何常数,划分7种平行六面体，对应于7个晶系 形状及参数？(七种形态),空间格子的划分,晶体常数特点,依据晶体对称特点、高次对称轴及对称轴的数量进行分类，各晶系晶体常数a、
6、b、c及其夹角、的相互关系如下：1）等轴晶系：a=b=c，；=90；2）四方晶系：a=bc，=90；3）六方晶系：a=bc，=90，=120；4）三方晶系：a=b=c，=90；5）斜方晶系：abc，=90；6）单斜晶系：abc，=90、90 7）三斜晶系：abc，90,三十二种对称型及对称分类,2.2平行六面体中结点的分布（即格子类型）,1）原始格子（P）：结点分布于平行六面体的八个角顶上。2）底心格子（C、A、B）：结点分布于平行六面体的角顶及某一对面的中心。3）体心格子（I）：结点分布于平行六面体的角顶和体中心。4）面心格子（F）：结点分布于平行六面体的角顶和三对面的中心。,其中底心、体心
7、、面心格子称带心的格子，我们在前面画格子的例子中已经知道有带心格子的存在，这是因为有些晶体结构在符合其对称的前提下不能画出原始格子，只能画出带心的格子。,2.3 十四种布拉维格子,七个晶系-七套晶体常数七种平行六面体种形状。每种形状有四种类型，那么就有74=28种空间格子？但在这28种中，某些类型的格子彼此重复并可转换，还有一些不符合某晶系的对称特点而不能在该晶系中存在，因此,只有14种空间格子，也叫14种布拉维格子。（A.Bravais于1848年最先推导出来的）,举例说明：1、四方底心格子可转变为体积更小的四方原始格子；2、在等轴晶系中，若在立方格子中的一对面的中心安置结点，则完全不符合等
8、轴晶系具有4L3的对称特点，故不可能存在立方底心格子。,例1：四方底心格子 四方原始格子,例2：立方底心格子不符合等轴晶系对称思考：立方底心格子符合什么晶系的对称？,小结：平行六面体中4种结点类型：原始格子(primitive,P)体心格子(body-centered,I)面心格子(face-centered,F)底心格子(end-centered,C,A,B),3 对称型（点群）的国际符号,对称型相当于一个公式法，将所有的对称要素按一定规则罗列起来；而国际符号就是将对称型的表示加以简化，只写其中的基础对称要素；因为可以根据这些基础对称要素，通过对称要素组合定理将其所有的对称要素推导出来；各晶
9、系晶体的国际符号组成分别有13个规定的方向，即：对称型的国际符号很简明，1）它不将所有的对称要素都写出来,2）并且可以表示出对称要素的方向性,3）但它不容易看懂.特点是:凡是可以派生出来的对称要素都省略了.,对称要素的标记：在国际符号中，以1、2、3、4、6和 分别表示各种轴次的对称轴和倒转轴；以m表示对称面，Li6的国际符号写为 而不是3/m；C的国际符号写为。若对称面与对称轴垂直，则两者之间以斜线或横线隔 开。如L4PC的国际符号写为4/m；L2PC以2/m表示。(由此可以看出，对称中心C就不必再表示出来了，因为偶次轴垂直对称面定会产生一个C)。,具体的写法为:设置三个序号位(最多只有三个),每个序号位中规定了写什么方向上的对称要素(序号位与方向对应，这是国际符号的最主要的特色),对称意义完全相同的方向上的对称要素,不管有多少,只写一个就行了（简化，这是国际符号的另一特色）.不同晶系中,这三个序号位所代表的方向完全不同,所以,不同晶系的国际符号的写法也就完全不同,一定不要弄混淆.每个晶系的国际符号写法见表3(此表很重要，要熟记！).,
