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1、直线的方向向量和平面的法向量,例1 如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C、B1C1的中点,求证:MN平面A1BD,法1:,法2:,即 可用 与 线性表示,故 与 是共面向量,MN平面A1BD,如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面,记作，如果，那么向量 叫做平面 的法向量.,二、平面的法向量,(1)定义,(2)理解,1.平面的法向量是非零向量;,2.一个平面的法向量不是唯一的，其所有法向量都互相平行;,二、平面的法向量,3.向量 是平面 的法向量，若，则有,给定一点A和一个向量,那么过点A以向量 为法向量的平面是完全确定的.,二、平面的法向
2、量,(3)法向量确定平面的位置,二、平面的法向量,(4)求法,步骤：,证明：设正方体棱长为1，为单位正交 基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得：,所以,三、用方向向量和法向量判定位置关系,三、用方向向量和法向量判定位置关系,例1 如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C、B1C1的中点,求证:MN平面A1BD,法3:建立如图所示的空间直角坐标系.,x,z,y,设正方体的棱长为1,则可求得M(0,1,1/2),N(1/2,1,1),D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0).于是,设平面A1BD的法向量是则 得,取x=1,得y=-1,z=-1,练习一,1.设 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下 列条件,判断l1,l2的位置关系.,平行,垂直,平行,练习二,1.设 分别是平面,的法向量,根据 下列条件,判断,的位置关系.,垂直,平行,相交,练习三,1、设平面 的法向量为(1,2,-2),平面 的法向量为(-2,-4,k),若，则k=；若 则 k=。2、已知，且 的方向向量为(2,m,1)，平面的法向量为(1,1/2,2),则m=.3、若 的方向向量为(2,1,m),平面 的法向量为(1,1/2,2),且，则m=.,4,-5,-8,4,一、平行关系：,课时小结,二、垂直关系：,
