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1、浅谈数学中的一题多解和一题多变 银川十八中 成进军数学充满着浓厚的趣味性和挑战性。数学教学应体现其科学性，尊重学生的个体差异，尽可能满足学生的多样化学习需求，让学生根据自己的实际感受不同层次的学科味。因此，我们作为数学工作者就要在平时的授课中，诸如对问题情境的设计，教学过程的展开，练习的安排要尽量体现发现思维，让学生真正在几何数学的思维上有所提高。在学习几何过程中，如果我们能将一些典型的问题进行剖析、挖掘、联想、引申，就能发现他们的潜在功能和实用价值，从而帮助学生系统的掌握知识，提高数学思维能力。下面仅就我和学生共同在课堂中发现的一些几何问题的多种证法和一题多变总结如下，和读者共同分享。例1：
2、如图已知四边形ABCD为正方形，CE为C的外角平分线，点P在BC上，且APPE,求证AP=PEABCPED图ABCPED图证法一：如图连结AC，有题设条件可知：ACCE, 又APPE点A、P、C、E四点共圆ABCPED图QAEP=ACP=45EAP=AEP=45AP=PE证法二：如图：在BA上截取BQ=BP,则AQ=PC,连结PQ，在AQP和PCE中AQP=PCE=135,PAQ=EPC=90-APB又AQ=PC AQPPCEAP=PE证法三：不妨设AB=1,BP=a（0a1）则PC=1-a 如图，过E作EFBC交BC延长线于FABCPED图F设EF=b，则CF=b，在RtABP和RtPEF中
3、：PAB=EPF=90-APB= 即（a-1）（a-b）=0a=b ABPPEF AP=PE证法三中采用了数形结合的思想，著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好，隔裂分家万事非”。数与形反映了事物两方面的属性。通过一题多解，是学生从多种角度去思考问题、分析问题、解决问题，从而培养学生思维发散性。针对此题，我引导学生通过变换问题的条件和结论或变换问题的形式，是一个问题引申出一系列新的问题，让学生去分析去解决。从而培养学生思维的灵活性：变题一：如图5，已知正方形ABCD中，点P在BC上，ABCPED图MAPPE,AP=PE，求证CE为C的外角平分线简析：连结AC则A、P、C、E四点共圆从而证得，
4、ACCE, DCE=ECF, CE平分DCM 变题二：如图6，已知：四边形ABCD为正方形，P在BC上，CE为C的外角平分线，且AP=PE，求证APPEABCPED图M123 简析：过E作EMBC,交BC延长线于M，仿照证法三，利用AP=PE证明BP=EM从而可得，ABPPME 1=2又1+3=902+3=90 从而得，APE=90 即APPEABCPE图变题三：如图7，已知正ABC中，APE=60，求证AP=PE简析：仿证法一：证明A、P、C、E四点共圆，从而证得AEP=ACP=60AP=PE变题四：如图8，已知AB=BC,CE为CE为BCBAPCED图D的外角平分线,P在BC上，且ABC=
5、BCD=APE,求证，AP=PE 题不在多而在精，一道好的数学题往往能起到举一反三，触类旁通的作用。ABCDMK例：ABC中，AB=AC,AD为BC边上的高，AD的中点为M，CM的延长线交AB于点K，求证：AB=3AK(课本上的习题)思路1：过点A作BC的平行线与CK的延长线相交。思路2：过点B作CK的平行线与AD的延长线相交。思路3：过点B作AD的平行线与CK的延长线相交。思路4：过点C作AB的平行线与AD的延长线相交。思路5：过点D作AB的平行线与CK相交。思路6：过点D作CK的平行线与BA相交。思路7：过点M作AB的平行线与BC相交。思路8：过点K作AD的平行线与BC相交。思路9：过点K
6、作BC的平行线与AD相交。 在学习过程中，同学们对此题进行了改编，是条件不变，引申结论 变题1：求证KC=4KM 2：求证AK=BK 3：求证SBKC=SABC 4：求证SMDC=SABC 5：求证SMDC=SBKC6：求证S四边形KBDM=SABC 条件和结论均予引申 变题1：点F是ABC中BC边上中线AD上的一点且AF：AD=1:4，连接CF并延长交边AB于点E，则AE:EB=_(答案：) 变题2：ABC中，BC边上的中线AD及C的平分线交于点E，求证，AC：BC=AE:2DEADF变题3CB 变题3：如图AD为ABC中BC边上的高，BCF=30AF:FB=1:2，CF=6cm，求AD长（
7、答案： cm） 变题4：过ABC的顶点任作一直线，分别与BC边上的中线AD及边AB交于点E、F, 求证：AE:ED=2AF:FB 针对变题4，可以通过命题结论的转换，可从不同的角度来寻找辅助线。 分析1： =2 =,所以证明此题的关键是找出线段FB 证法一：如图1：过点D作DG/AB交CF于G因为点D为BC中点，所以可证得DG=1/2BF,由平行线分线段成比例定理的推论得： = 即： = 证法二:如图2，取BF的中点，连结DH则FH=BE,因为D、H分别是BC、BF的中点。所以DH/CF，由此得 =即=ABCDEFG图1分析二： =2 =，所以作辅助线的目的是找出线段2ED证法三：如图3，过点
8、B作BK/AD交CF延长线于K，因为D是BC 中点，所以BK=2DE又DE/BK,可证得=即： =证法四：如图4.延长AD 到M 使DM=DE,连结BM,则EM=2DE 又由于DB=CD 所以=,从而有CE/BM,由此得=,即= 分析三： =2 = 所以证题的关键是找出线段AEAAAKA图2CDEFHBBCDEF图3ABCBADEFM图4CBADEFHK图5证法五：如图5，取AC的中点H作HK/AD交FC于K,则HK=AE,连结HD交CF于G又由于D是BC的中点，故HK=AF，DG=BF,由KH/AD得： = = 即 =近年来，中考题中的多种解法也频频出现，现就一道中考试题的解法进行探讨。例，
9、如图：正方形ABCD的边长为1，P是对角线BD上一点，过P作EF/AB分别交AD、BC于E、F,CP的延长线交AD于点G，O是PC的中点，FO的延长线交DC于K （1）求证：PF=CK （2）设DG=x，CKO的面积为S1，四边形POKD的面积为S2,Y= S2/ S1, 求关于x的函数关系式及自变量x的取值范围。ABCDFKPOEG (1) 证法一：利用全等三角形及其性质四边形ABCD是正方形，EF/ABEF/DC FPO=KCO PFO=CKO又PO=CO POFCOK PF=CK 证法二：利用平行四边形的性质证 易证：EF/DC 又PO=CO FO=KO ， 连结PK，则四边形PFCK为
10、平行四边形 PF=CKABCDFKPOEGM 证法三：利用三角形中位线性质及推论证，如图:过O作OM/PF交FC于点M，在RtPFC中，O是PC的中点，OM/PF则M是FC的中点 OM=PF 在RtKCF中,M是FC的中点，则O是FK的中点 OM=CK 由 得PF=CK 证法四：利用相似三角形及其性质证，易证EF/DC POFCOK = 又O是PC中点 =1 =1 即FP=KC(2) 解法一：利用相似三角形性质及面积公式S=AH 得 AD/BC GPDCPB =即= 得PF=PE=1-PF=x/（x+1）由 得：四边形PFCK为平行四边形OF=OK CK=PF S1=1/2SFCK =S2=
11、SGDC- SGDP- SCOK=x-x-=y=2x+1(0X1)当x=0时，y=1 x=1时，y=3所以其图像为连结（0,1）（1,3）两点除（0,1）的线段解法2.利用面积公式S=ABsinC及合比性质 =OCCKSMOCK + =CPCDSMOCK=，由得CP=2OC CD=1 CK=2x+2，由合比性质得： =2x+1y=2x+1(0x1)解法3：利用同底等高的三角形面积及方程知识证EF/AB/DC =又SPCK=2S1 SCDP=S1+S2 CK= 即S2=(2x+1)S1y=2x+1(0x1) “一题多变”即是将经典题型或删除部分已知或结论，采用引申启发转化组合的形式，调动学生进行积极、主动的思维，巩固所学知识增强创新能力。 “一题多解”是指用不同的方法解决同一问题，教师引导学生从多个角度思考和切入问题，并能对各种方法进行分析、比较，从中得到最佳的解题方法，从中使学生思维的灵活性、拓展性得到锻炼，解决实际问题的能力得到提高。教育教学中，开启学生智慧之门，激发学生创新潜能，提高学生自身素质，培养创新型人才是多方位的，既需要教师的主导，也需要学生的主体，因为只有师生齐心协力、互教互学，互动互惠，才能真正实现教学相长和共同发展。7
