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1、第三章 珠 算 乘 法,古代把被乘数称为“实数”，乘数称为“法数”，现在也沿用下来。乘数的首位数字叫“乘首”也叫“法首”，被乘数的首位数字叫“实首”。珠算乘法的种类很多，目前应用最普遍的有：前乘法、破头乘，留头乘，隔位乘、掉尾乘、扒皮乘、补数乘等。,第一节 乘法定位法,数的位数分为正位、零位和负位。一个数有几位整数就叫“正几位”。如：3560（正四位）、35.6（正二位)纯小数小数点后边没有连续的“0”叫“零位”，如0.56,0.308等等纯小数后边有几位连续的“0”就叫“负几位”，如0.012（负一位）、0.0026（负二位）,珠算计算因在算盘上没有固定的个位，又是用空档表示“0”，所以定位
2、是很重要的。我国古老的算书就很强调：“凡算之法，先识其位”。这里我们介绍三种便于掌握和较普遍应用的定位法，即“公式定位法”、“移档定位法”和“固定个位挡定位法”。,一、公式定位法,“公式定位法”，也叫通用定位法。一般地讲m位的被乘数与n位的乘数相乘，乘积的位数有两种可能，一是（mn）位；一是（mn1）位。在乘法运算时可归纳为三种情况：1.被乘数的首位数字与乘数的首位数字相乘要进位时，积的位数等于mn（被乘数位数乘数位数），如：605300181,500积首小，乘积的位数等于mn（3位3位6位）；0.040.0080.00032 积首小，乘积的位数等于mn，即：1（2）3（位）；,2.被乘数的首
3、位数字与乘数的首位数字相乘不进位时，一般地说，积的位数等于mn1（被乘数位数乘数位数1）如：1545675（2位2位1位3位）；3562.34833.04（3位1位1位3位）。3.被乘数的首位数字与乘数的首位数字相乘，虽然不进位，但后几位相乘加入仍然进位时，积的位数是mn（被乘数乘数）如：48261,248（2位2位4位）；又如：1,953,1250.5121,000,000（7位0位7位）。,二、移档定位法,“移档定位法”又叫前移档定位法，是根据乘数的位数定积的个位。适用于算前定位。移档定位法最早见于南宋，它是在杨辉的乘除通变算宝被首次提出并说明的一种方法。,在不隔位乘法中移档定位法的定位法
4、则可概括为：“正右、负左、零不动”。即乘数是正几位，被乘数的个位自基准档起向右移几档，就是积的个位；乘数是0位，个位不变（被乘数的个位就是积的个位）；若乘数是负几位，则被乘数的个位自基准档起应向反方向即向左移几档，就是积的个位。,例：3,428125428,500 定位：被乘数3428布于算盘上，因为乘数125有三位整数（即正三位），所以被乘数的个位向右移三档为积的个位。符号为被乘数的个位档；符号为积的个位档，如图所示。,三、固定个位档定位法,它也是一种算前定位法，又叫“固定点”定位法。具体方法：（1）选算盘上适当的档位作为固定个位档，即是积数的个位；（2）改变被乘数（实数）的落盘位数，即以实
5、法两位数相加：mn（如采用隔位乘法时，用mn1），所得位数作为实数的新的位数，以个位为准拨入盘内；（3）运算完毕，其固定个位，即为积的个位。,3,4282482,272（本例用不隔位乘法）（1）选算盘左起第六档为固定个位档，符号为被乘数的个位档。（2）mn，即4位2位6位将实数3,428改变为342,800，拨入盘内（从个位档左边第五档拨上实数首位，个位落在个位档上）如图3.4所示。（3）运算结果，盘后数为82,272，原定个位，即为积的个位，故数值为82,272，如图所示。,第二节 基 本 乘 法,一、九九口诀珠算传统乘法是利用乘法九九来进行乘法运算的，因为乘法九九是根据19九个数字分别乘以
6、从1到9九个数字编制的，又叫“九九口诀”。九九口诀中每句由四个字组成，前面两个中文数字表示被乘数和乘数，后两个阿拉伯数字表示乘积。,二、珠算乘法的运算顺序和分类由于珠算历史悠久，历年来产生和流行的乘法种类很多，已形成很多体系和尚未形成体系的许多算法。诸多算法中若按其运算顺序分类，可以分成两大类：“前乘法”和“后乘法”。,三、前乘法,前乘法，也叫巅乘或逆乘，运算时从被乘数、乘数的高位算起。运算方法：用头乘法，即从被乘数的首位、二位、三位、以至末位，逐位分别与乘数的首位，二位、三位、至末位相乘，在被乘数的位置改变算珠，得出积数。运算时乘数有几位有效数字，就从被乘数字前几档算起，因此，为了盯准档位，
7、布数时，乘数有几位有效数字，就于算盘左端空几档布上被乘数，把乘数布入算盘右边或默记。定位方法：适用于公式定位。,前乘法运算，乘积和被乘数容易混在一起发生错误。故前乘法后来几乎被后乘法所代替。但珠算前乘法也有它的优点，由于它是从实、法两数的高位逐位算起，和读数一致，便于做“空盘前乘”，又当乘数末尾有效数字是“1”时，用前乘法运算，把被乘数本身可看成是被乘数乘于1的部分积，可减少运算手续，,四、后乘法,凡是从被乘数的末位数码起，同乘数首位至末位依次相乘的方法就叫后乘法。后乘法按积的位置分为隔位乘法和不隔位乘法，后乘法中主要有破头乘法、留头乘法、掉尾乘法。,（一）破头乘法,破头乘法是将被乘数、乘数分
8、别置于算盘左、右两端，然后从被乘数的末位数码起，同乘数首位至末位依次相乘，乘得的第一位积（首码积）可以将被乘数中实施乘的那个数破去变为积，也可以将首码积置在被乘数乘的那个数后，乘完本轮积后再将实施乘的那个数破去。因此破头乘法又分为隔位破头乘法和不隔位破头乘法。,（一）破头乘法,1隔位破头乘法此法又称为隔位后乘法、隔位头乘法，当前应用不广。隔位破头乘法的运算方法为：（1）置数与定位。将被乘数置于算盘左端（一般从左起第一档拨入），默记乘数（或置入算盘右端）。运算完后，运用公式法定位。（2）运算顺序。第一，用乘数的首位至末位依次与被乘数的末位至首位相乘。（3）乘积的记法。乘数是第几位，乘积的十位数就
9、放在被乘数本位右边第几档上，其个位数就在十位的右一档加上。,多位数乘一位数,【例】46573,255将被乘数置入算盘左端，默记乘数定积的个位。符号为被乘数的个位档，符号为积的个位档，用被乘数的末位数至首位同乘数依次相乘，由公式法定位：积首小位相加。积为：3,255，如图,多位数乘多位数,【例】465789366,885将被乘数置入算盘左端，默记乘数，用被乘数的末位数“5”，同乘数首位至末位依次相乘，拨去被乘数的末尾数字5；用被乘数的十位数“6”，同乘数首位至末位依次相乘，乘毕拨去被乘数6；用被乘数的百位数“4”，同乘数首位至末位依次相乘，乘毕拨去被乘数4。运用公式法定位。积首小，位相加，积为3
10、66,885。,465789366,885,2不隔位破头乘法,一般我们称此法为破头乘法。在被乘数与乘数各位数码相乘时，因为一开始就要把被乘数的实施乘的那个数码变为首码积的起位（破本位），故称为不隔位破头乘法，也称为头乘法、变头乘、当头乘、仙人脱衣法等。具体运算方法为：（1）置数与定位。将被乘数置于算盘左端（一般从左起第一档拨入），默记乘数（或置入算盘右端）。运算完后，运用盘上公式法定位。（2）运算顺序。第一，用乘数的首位至末位依次与被乘数的末位至首位依次相乘。（3）乘积的记法。乘数是第几位，乘积的个位数就拨在被乘数本档右边第几档上，积的十位数就在个位的左一档加上。,多位数乘一位数,【例】465
11、73,255（1）先在算盘左边第一档起拨被乘数465入盘，默记乘数7。（2）用乘数7去乘被乘数末位5（一开始就要破本位），口诀“七五35”，把被乘数末位5改成乘积的十位数3，在右档加上个位数5。（3）用乘数7去乘被乘数次末位6；首位4口诀“六七42”；“四七28”。用公式定位法定位，积为：3255如图,多位数乘多位数,【例】465789366,885将被乘数置入算盘左端，默记乘数，用被乘数的末位数“5”，同乘数首位至末位依次相乘，（一开始就要破本位），口诀“七五35”，把被乘数末位 5改成乘积的十位数3，在右档加上个位数5；用被乘数的十位数6，同乘数首位至末位依次相乘；用被乘数的百位数4，同乘
12、数首位至末位依次相乘运用公式法定位。积首小，位相加，积为366,885.,465789366,885,第三节 简 捷 乘 法,简捷乘法是适合某些特殊数字的算题，带有局限性的算法，即按算题的不同情况来选用不同的简捷算法。运用简捷乘法要掌握两个要点：一是选用哪种简捷算法最好；二是要创造条件，突破数字的限制，可以变换数字来适应简捷算法。,一、补数乘法（凑整乘法）,补数乘法是指两数相乘，有一个接近整数（乘数或被乘数头几位是9或8）时，可以利用整数或1的关系，用加减法来代替乘法，以简化运算过程，加快运算的速度。所以，此法又称为以加、减代乘法。补数乘法的运算，必须弄清补数、齐数、强数和填数的概念。补数：两
13、个数字的和为10的乘方（10的n次幂）时，这两个数字互为补数。例如，946100；就称6是94的补数，或称94是6的补数。齐数：一个数值与它的补数的和，称为这两个数值的齐数。例如，94+6100，那么，100就称是94和6的齐数。,强数：一个数值的首位数加1，后边对准原数的档位计0，这个数值就称为该原数的强数。如379、368、365、370、399，它们的强数是400。填数：强数与原数之差，称为填数。如21是379的填数。补数乘法可分为“减补数乘法”和“加补数乘法”。,（一）减补数乘法,因为，乘数乘数的齐数 乘数的补数所以，被乘数乘数被乘数乘数的齐数被乘数乘数的补数由此可见，减补数乘法就是利
14、用齐数和补数的相互关系把乘法变为减法的。运算时，先把被乘数扩大为乘数的齐数倍，然后从被乘数末位开始，逐个乘以乘数的补数，将各数的乘积在被乘数的下档位减去，其得数就是所求的积。,【例】132989130,548（用移档定位法）运算说明：先将乘数的补数011布于算盘的左边，被乘数1 32的个位向右移三档，为积的个位。（1）在被乘数个位数2的下档减去0112（二倍），即022。（2）在被乘数十位数3的下档减去0113（三倍），即033。（3）在被乘数首位数1的下档减去0111，即011。得数130,548即为所求的积，如图,（二）加补数乘法加补数乘法（又称零加整减补数法）是从减补数乘法引伸而来的。以
15、加法为主、减法为辅的运算方法来替代乘法，更有利于运算上的简便。在运算时，先把被乘数扩大为乘数的齐数倍拨在算盘上，然后加上被乘数的填数与乘数的补数的乘积，最后减去被乘数的强数与乘数的补数的乘积，就得所求的积。,【例】198736145,728（用移档定位法）计算说明：将736（乘数的补数264）布于算盘的左边，被乘数198布于算盘的右边，被乘数个位向左移三档布于算盘的右边，为198,000。（1）在被乘数末位数8的下档加2264；即加上被乘数填数（填2凑10）和乘数补数相乘的积，也就是528。（2）被乘数的中间位数是9，无填数，下档不加补数。（3）在被乘数首位数1的下档减200264，即减去被乘
16、数强数和乘数补数相乘的积，也就是52800。盘上数字为145,728，就是所求的积。,198736145,728,二、剥皮乘法（凑倍乘法）,剥皮乘法也叫凑倍乘法，它是以加减代替乘法的一种简捷法，过去称乘法为“迭皮”，称除法为“扒皮”或“剥皮”，后来把乘、除法统称为“剥皮法”。“剥皮法”来自“金蝉脱壳法”。最早记录此法的书是明代吴敬的九章详注比类算法大全。它的原意是用作除法的。,二、剥皮乘法（凑倍乘法）,布数：乘数一般布于算盘右边，被乘数布于左边的适当位置，反之亦可。熟练者一般默记乘数。定位方法：可用移档定位法和公式定位法。运算方法：被乘数字是几，就在其下（右）档（或本档）变几倍乘数；现把十个数
17、字的变积方法分别加以叙述。（一）1、5、10三个数在变积乘法中的特殊性（1）任意数乘1，其值不变。根据珠算乘法的定位方法，可以得出：1乘以任意乘数，可在下（右）档变乘数一次。（2）在珠算上任意数向左移一档，数值扩大10倍。所以变积时在本档变乘数一次，就等于下档变乘数的10倍。（3）5是10的半数，所以某数的5倍就是10倍的一半。当5乘以乘数，变积时可在本档变乘数一半，也等于在下档变乘数的5倍。一个数值的半数，遇到较为简单的数值可以直接看出。,（二）19九个数字分级变积法任何数值都是由0和19十个数字组成的。而0在乘法运算中，是只计数值不做运算的。因此，只要掌握住19九个数字的变积方法，在不同档
18、位上变积，就可以做乘法运算了。在变积乘法中，数值的一倍数、五倍数、十倍数是比较容易看出或求得的。当遇到其他倍数时，可以把19九个数字与1、5、10的接近程度分为三级；1、2、3接近1为低级数字；4、5、6、7接近5为中级数字；8、9接近10为高级数字。变积时，分别按1、5、10的变积特点求积.,【例3.16】231419,471（用移档定位法）计算说明：先布数定位，将乘数41布于算盘左边或默记，被乘数布于右边；积的个位应在被乘数个位右面两档。符号为被乘数的个位档；符号为积的个位档。被乘数个位数141，下档变41一次；被乘数十位数341，原应下档变41的三倍，因有增位，从本档变123；最后以被乘
19、数百位数241，下档变41的二倍。原数变为9,471，就是所求的积如图,三、省乘法,省乘法亦称省略乘法，截尾乘法。它是根据计算结果要求的合理精确度，用四舍五入法删掉乘数与被乘数中某些位数上的数字，运用近似计算的方法，省略一些计算过程，并对积数的尾数加以适当处理，用以提高计算效率的一种计算方法。省略乘法把计算截至在不影响精确度的档次上，其计算方法和步骤如下：第一步：先把被乘数拨入算盘上，用截位公式求所需要的位数码。截取公式mn精确度保险系数1位。截留位码后，其末位定为压尾档（又称截止档）。第二步：将截取后的被乘数，从它的末位数起，最好用破头乘法与乘数相乘。各位相乘的积，一律加到截止档为止，以下各
20、档都省去不乘。第三步：截止档下档的数，若满5时，应在截止档上多拨入1（即四舍五入）。,【例】8.3267253.6285130.21（准确到0.01）（1）先用截取公式求出位数码：mn精确度保险系数1位5位，按固定个位档法拨被乘数入盘，记住小数点保留两位，再加保险系数1位，末位看做压尾档，计算时算到压尾档为止。符号为被乘数的压尾档；符号为积的个位档。如图1.（2）被乘数末位7乘以乘数首位3，“七三21”，压尾档下一位1舍去，乘数3以下的数可不再乘了，盘面数为83,262，如图2.,（3）被乘数的第二位6乘以乘数3、6即可，“六三18”，“六六36”，压尾档下一位6进上来，盘面数为83,224，
21、如图3所示。（4）被乘数倒数第三位2乘以乘数3、6、2即可，“二三06”、“二六12”、“二二04”，压尾档下一位数4舍去，盘面数为83,096，如图4所示。,（5）被乘数倒数第四位3乘以乘数3、6、2、8即可，“三三09”、“三六18”、“三二06”，“三八24”，压尾档下一位4舍去，盘面数为81184，如图5所示。（6）被乘数首位8乘以乘数3、6、2、8、5即可，“八三24”、“八二16”、“八六48”、“八二16”、“八八64”、“八五40”，得积数为30,212，最后得数为30.21，如图6所示。,四、小数乘法小数乘法的计算方法完全和整数乘法一样，所不同的是积数的定位。例如：0.033
22、7.8，它和3378的算法一样，但积的小数点位置不同。前一题积数得0.2574，后一题积数得2,574，具体详见本章第二节“积的定位”。五、“0”的乘法（1）如乘数中间有“0”计算容易错位，则可调做被乘数，“0”不用计算，越过一位即可。如：266308改为308266；或一数扩大同时一数缩小，（2662）（3082）避免出现了“0”，改为532154进行计算。（2）如乘数和被乘数中间都有“0”，则遇“0”占一位，隔空档计算。,六、连乘,连乘移档定位法：被乘数整数位数乘数整数位数乘法布数位数，按布数位数用挨位乘法（即不隔位乘法）连乘，即在布数位数的个位档，得出积的个位档。（如用隔位乘法，则每乘一
23、次都要将被乘数向右移后一位计算，公式计算中，再加乘的次数）积的个位档可假定利用算盘上第六档固定作为定位点，或用手指临时定点。,七、因数交换法,在乘法中，被乘数和乘数的位置相互交换所得的乘积不变，叫做“乘法交换律”。根据这条定律，凡是两个数相乘，其中任何一个数都可以作为被乘数或乘数，乘数和被乘数都叫做乘积的因数。在珠算操作时，为了运算方便，可以把两个因数交换位置，叫“因数交换法”。因数交换，可按下列情况确定：（1）把中间带0的因数作为被乘数，计算时不用计算，超过一位即可，较为简捷；反之，如果把它作为乘数，必须跳位计算，容易串位出差错。（2）以有效数字少的因数作为被乘数，计算时连贯性强，用后乘法则
24、可减少加积次数和减少拨去被乘数的次数，较为简捷。（3）以一个包含1或9的因素作为被乘数，因为1或9可分别用简捷法的“定身乘”和“补数乘”，使运算方便。,八、定身乘法,“定身”就是原位不动，它和普通计算省去乘数1不参加运算的意思相同。第一种情况：1在首位，第二位不是0。【例3.21】781678107867804681248第二种情况：1在首位，第二位是0。【例3.22】36106361003663,6002163,816凡首位不是1，可用“求一法”取得之。如2或3乘以5；4除4或乘25；5，6，7，8等都乘以2就可使首位是1。计算时，一个因数扩大几倍，另一个因数必须缩小几倍。第三种情况：1在末位。【例3.23】2641(2640)(261)1,040261,066,
