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1、第四节 依测度收敛,第四章 可测函数,1.依测度收敛的定义及例子,例1：依测度收敛但处处不收敛的函数列,例2：几乎处处收敛但不依测度收敛的函数列,Riesz定理 若,则必有fn的子列 fnk，使得,2.Riesz定理 及勒贝格定理,3.收敛间的关系,依测度收敛的性质（唯一性和四则运算）,注：(1),(2),(4)当mE=+时,也成立；条件mE+对(3)来说不可少.,定理：令mE+，则(1)若又有,则f(x)=h(x)a.e.于E。,（2）的证明：设 fn 与 gn 是E上几乎处处有限的可测函数列,于E，于E,则 于E,注:(1),(4)的证明类似，只要利用,证明：由于,故,这与（*）式矛盾，所
2、以,证明：假设 不成立，则,（3）证明,条件mE+对(3)来说不可少,注：令，则 gn不依测度收敛于g,注：上述结果的证明也可通过依测度收敛的等价描述证明任取 fn gn 的子列fnk gnk，找 fnk gnk 的子列 fnki gnki使得,例 设但 不依测度收敛于f 2于R,依测度收敛的等价描述,令mE+，则 对fn 的任意子列fnk,存在fnk的子列 fnki，使得,证明：（必要性）任取 fn的子列 fnk，由于 当然有,由Riesz定理知，存在 fnk的子列 fnki，使得,充分性,反之：假设 不成立，则,显然 fnk的任何子列 fnki都不依测度收敛与f，,再由Lebesgue定理(mE+)的逆否命题知，显然fnk的任何子列 fnki都不几乎处处收敛与f，,这与条件矛盾，,故存在 fn的子列 fnk，使得,例 对 E=R1 上的a.e.有限的可测函数f(x)，一定存在E上的连续函数列fi(x)使fi(x)f(x)a.e.于E,从而,令，即得我们所要的结果。,证明：由鲁津定理的推论知,再由Riesz定理，存在gn(x)的子列 gni(x)使gni(x)f(x)a.e.于E，,
