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1、1,*第四节 平面场的复势,一、用复变函数表示平面向量场,二、平面流速场的复势,三、静电场的复势,四、小结与思考,2,一、用复变函数表示平面向量场,平面定常向量场:,向量场中的向量都平行于某一个平面S,而且在垂直于S 的任何一条直线上的所有点处的向量都是相等的;场中的向量也都与时间无关.,显然,向量场在所有平行于S 的平面内的分布情况是完全相同的,可以用So 平面内的场表示.,3,4,例如,一个平面定常流速场(如河水的表面),平面电场强度向量为,5,二、平面流速场的复势,1.流函数:,如果它在单连域 B 内是无源场(即管量场),6,7,2.势函数:,8,3.平面流速场的复势函数:,在单连域内可
2、以作一个解析函数,9,给定一个单连域内的无源无旋平面流速场,就可以构造一个解析函数它的复势与之对应;反之,如果在某一区域(不管是否单连)内给定一个解析函数,就有以它为复势的平面流速场对应,并可以写出该场的流函数和势函数,得到流线与等势线方程,画出流线和等势线的图形,即得描绘该场的流动图象.,10,例1,解,11,例2,解,由对称性,12,因为流体不可压缩,13,流过圆周的流量为,14,蓝色为等势线,红色为流线.,(流动图象如下),15,解,例3,与例2类似,沿圆周的环流量为,16,17,对比例1和例2的结果,因此,只须将例2图中流线与等势线位置互换,即可得涡点所形成的场的流动图象.,蓝色为流线
3、,红色为等势线.,18,三、静电场的复势,当场内没有带电物体时,静电场无源无旋.,19,与讨论流速场一样,就是说,等值线就是向量线,即场中电力线.,20,21,在B内可决定一个解析函数,利用静电场的复势,可以研究场的等势线和电力线的分布情况,描绘出场的图象.,22,例4,解,因为导线为无限长,因此垂直于 xoy 平面的任何直线上各点处的电场强度是相等的.,23,又因为导线上关于 z 平面对称的两带电微元段所产生的电场强度的垂直分量相互抵消,只剩下与 xoy 平面平行的分量.,故所产生的静电场为平面场.,由库仑定律,24,25,26,四、小结与思考,了解复变函数可表示平面向量场,对于某单连通域内给定的平面无源无旋场,可以作出一解析函数(称为该场的复势),统一研究该场的分布和变化情况.,放映结束，按Esc退出.,
