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1、第四章 扭 转,41 扭转的概念及实例,一、扭转变形的基本特征是：受力：杆件在两端垂直于轴线的平面内作用一对大小相等而方向相反的力偶 变形：使其横截面产生相对转动（图41）。,剪切角圆杆表面的纵向线变成了螺旋线，螺旋线的切线与原纵向线的夹角称为剪切角。相对扭转角截面B 相对于截面A转动的角度，称为相对扭转角。,二、实例,42 扭矩的计算和扭矩图,二、计算方法截面法如图43a所示圆轴受到一对外力偶Me的作用，使其产生了扭转变形，求任一横截面nn上的扭矩。(截面法),设想将杆件沿nn截面截成两段，取左段为脱离体（图43b）。那么nn截面上必有一内力偶作用。由静力平衡方程Mx=0，得 T=Me,一、
2、扭矩扭转构件横截面上的内力偶矩称为扭矩，用T表示，单位是Nm或kNm。,三、扭矩的正负号规定：采用右手螺旋法则，若以右手的四指表示扭矩的转向，则大拇指指向与截面外法线方向一致时，扭矩为正，反之为负。如图83b、c所示扭矩均为正。,功率、转速与力偶矩的转换关系,在工程实际中，给出轴所传递的功率和轴的转速。需要将其换算为力偶矩。,轴转动1分钟力偶所作的功为,电动机每分钟所作的功为,得：,式中n 为转速（r/min），P 为功率（kW），Me为外力偶矩（Nm）。,例题41 如图a所示的传动轴，主动轮输入的功率为P1=500kW，三个从动轮输出的功率分别为P2=P3=150kW，P4=200kW，轴的
3、转速为300r/min，试作出轴的扭矩图。,解：传动轴的计算简图如图b，按公式计算外力偶矩：,用截面法即可计算出各段的扭矩：,例题41图,(1)AB段：在截面处将轴截开，取左段为脱离体，如图c，由平衡条件,得,(2)BC段：在截面处将轴截开，取左段为脱离体，如图d，由平衡条件,得,(3)CD段：在截面-处将轴截开，取右段为脱离体，如图e，由平衡条件,，,得,其扭矩图如图f所示，由图可知，最大扭矩在BC段内，其值等于9.53kNm。,43 薄壁圆管扭转时横截面上的切应力,从变形情况可以推断出：（1）所有的横截面变形后仍保持为平面。（2）横截面上只有切应力而没有正应力，切应力的方向垂直于半径。,一
4、、变形特征与推论,二、切应力的计算,其中A0=R2为由圆环的平均半径R计算的面积（图86中阴影部分），这就是薄壁圆环受扭转时横截面上切应力计算公式。,nn截面上每个微面积上的内力对截面形心矩的总和等于截面的扭矩。由此得出,假设切应力沿着壁厚是均匀分布的。,在nn截面上取微面积dA=tRd,dA上的内力dA对截面形心的矩为dAR,三、切应力互等定理,切应力互等定理:对一个单元体，在相互垂直的两个截面上，沿垂直于两平面交线作用的切应力必成对出现，且大小相等，方向都指向（或都背离）两平面的交线。,=,由平衡方程，Mz=0，dydzdx-dzdxdy=0,得,单元体上只有切应力，没有正应力的状态称为纯
5、剪切应力状态。,四、剪切胡克定理,屈服极限剪切比例极限,G材料的切变模量。单位：帕（Pa）。,在弹性变形范围内，G、E和 三者之间的关系是：,在弹性极限内，切应力与切应变成正比，即：,44 圆截面杆扭转时横截面上的应力,1、变形特征 根据观察，每个横截面都绕杆轴转过一个角度，大小、形状、所在平面并没有改变。,一、变形分析,2、平截面假定 所有的横截面变形后仍保持为平面，且横截面上的半径仍保持直线状态。,3、结论 横截面上只有切应力而没有正应力，切应力的方向垂直于半径。,二、圆杆扭转时横截面上的应力,1几何方面,同一横截面上的是常量。上式表明切应变 与极坐标 成正比，在同一横截面上同一半径的圆周
6、上各点处的切应变均相同。,为单位长度的扭转角,由几何关系及小变形假设可知,2物理方面,在同一半径的圆周上各点的切应力的值相等。切应力沿着半径呈线性分布，方向垂直于半径。,根据剪切胡克定律。在线弹性范围内，切应力与切应变之间的物理关系式：,在横截面上距圆心为处的微面积dA上的内力为 dA，它对圆心的矩为,3静力学方面,横截面扭矩T：,代入,与横截面的几何特征有关，单位为m4或mm4。,极惯性矩,等直圆杆在扭转时横截面上任一点处的切应力,T横截面上的扭矩;所求应力点到圆心的距离;IP 极惯性距。,WP为扭转截面系数，它也是与横截面的几何特征有关的量，单位为m3或mm3。,在横截面周边各点处，切应力
7、达到最大值。,对于实心圆截面,横截面切应力最大值,取 有,空心圆截面杆受扭时横截面上的切应力的计算,式中IP和WP可按下式计算：,对于空心圆截面杆横截面上的切应力仍然呈线形分布，最大切应力发生在截面的外边缘上。,横截面上任一点处的切应力,横截面切应力最大值,45 斜截面上的应力,斜截面ab的面积为dA，ac的面积为dAxdAcoscb的面积为dAydAsin,由脱离体沿n，t方向的平衡条件Fn=0和Ft=0得,斜截面上的应力公式,又根据切应力互等定理,一、斜截面上的应力,二、最大正应力和最大切应力及其作用面的方位,在=0、90的斜截面上，切应力绝对值最大：,在=45的斜截面上，切应力=0，正应
8、力绝对值最大：,（a）低碳钢试件沿横截面发生剪切破坏，其抗剪强度低，因而沿横截面发生剪断破坏。（b）铸铁试件沿大约45的斜截面而发生断裂破坏的。这是由于铸铁抗拉强度低，因此沿着最大拉应力作用的斜面发生破坏。（c）木材发生了水平方向的裂开破坏。这是由于木材顺木纹的抗剪强度低，所以就产生了顺木纹方向的剪切错动破坏。,三、三种试件受扭破坏情况,46 圆轴扭转时的变形,圆轴的扭转变形通常用杆件的两个横截面间的相对扭转角 来度量。,当T与GIp是常数时，相距l的两横截面的相对扭转角为：,GIp-杆件的扭转刚度,即,又,得,积分得相对扭转角计算公式,由,47 扭转的强度和刚度计算,为了不使受扭构件发生过大
9、的变形影响构件的正常使用，还必须满足刚度条件：,一、强度计算,等直圆轴扭转的强度条件为,圆轴扭转的强度计算仍然是解决强度校核、选择截面和确定许用荷载三方面的问题。,二、刚度条件,式中 是单位长度的扭转角，单位为rad/m，为单位长度的许用扭转角，单位也是rad/m。,例题42 一电机的传动轴直径d=40mm，轴传递的功率P=30kW，转速n=1400 r/min。材料的许用切应力=40MPa，切变模量G=80GPa，单位长度的许用扭转角=1/m。试校核此轴的强度和刚度。,解：（1）计算传动轴的扭矩,Nm,（2）强度校核,MPa,（3）刚度校核,/m,由此可见，此轴分别满足强度条件和刚度条件的要
10、求。,例题43 图a所示为装有四个皮带轮的一根实心圆轴的计算简图。已知；Me1=1.5kNm，Me2=3kNm，Me3=9kNm，Me4=4.5kNm；材料的切变模量G=80GPa，许用切应力=80MPa，单位长度许可扭转角=0.005rad/m。（1）设计轴的直径D；（2）若轴的直径D0=105mm，试计算全轴的相对扭转角。,解：（1）画轴的扭矩图，如图b所示。由扭矩图可知，圆轴中的最大扭矩发生在AB和BC段，其绝对值为4.5kNm。,（2）设计轴的直径 根据强度条件：,可以得到轴的直径为,根据式（817）刚度条件：,可以得到轴的直径为,根据上述强度计算和刚度计算的结果可知，该轴的直径应选用D=103 mm。,（3）全轴的相对扭转角的计算若选用轴的直径D0=105mm，其极惯性矩为,全轴的相对扭转角为：,
