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1、第四章 数据分布特征的测度,学习目标,掌握众数、中位数的概念、特点及其计算方法；了解四分位数概念；掌握算术平均数、调和平均数、几何平均数的概念、特点及计算方法；了解异众比率、四分位差、全距、方差及标准差的概念、及计算方法；了解偏度和峰度的意义；能够区分各种指标的应用场合，根据不同数据类型运用不同测度指标。,主要内容:,概念 在次数分布数列中，就是出现次数最多的变量值，用 表示。主要用于测度定类数据的集中趋势，当然也适用于作为定序数据以及定距和定比数据集中趋势的测度值。,一、众数,计算众数的方法（1）单项分配数列的众数计算方法 出现次数最多的那一组变量值就是众数 某商场某日连续销售15双皮鞋的尺
2、码组成情况如下：38，37，38，40，40，41，40，42，44，40，41，39，40，40，43出现次数最多的数是40，40就是某商场某日销售皮鞋尺码的众数。,（2）组距分配数列的众数计算方法 第一步：根据分配数列次数最多的组 确定为众数所在组。第二步：根据该组与前后相邻两组 分配次数的关系推算众数。,众数与相邻两组的关系示意图,，众数组的组中值即为众数的值。，众数会向其前一组靠，众数小于其组中值，众数会向其后一组靠，众数大于其组中值,其中，L，U分别表示众数所在组的下限值和上限值，i表示众数组的组距。,根据上述关系，可以利用相似三角形推导出组距分配数列的众数的计算公式如下：,下限公式
3、：,上限公式：,某乡3000农户按人均年纯收入分组的资料如下表，试计算其众数。,从表中可以看出，众数所在的组为4000-5000，出现的最多次数为1050。,按下限公式计算众数：,按上限公式计算众数：,众数的优缺点,优点 容易理解，不受极值影响 缺点 灵敏度和计算功能差 稳定性差 具有不唯一性,二、中位数和四分位数,（一）中位数 概念 是指对样本数据由小到大排序后，处于中间位置上的变量值，用 表示。是一个位置代表值，它主要用于测度定序数据的集中趋势，当然也适用于定距数据和定比数据的集中趋势，但不适用于定类数据。,计算中位数的方法（1）变量值未分组情况下：总体单位数n是奇数，中间位置的变 量值是
4、中位数。总体单位数n是偶数，中间位置的两个变量值的算术平均数为中位数。,（2）变量值分组情况下：,下限公式：,上限公式：,某乡人均年纯收入中位数计算表如下：,按下限公式计算中位数：按上限公式计算中位数：,优缺点,优点 容易理解，不受极值影响 适宜于开口组资料和些不能用数字测定的事物缺点 灵敏度和计算功能差 间断数Me,（二）四分位数 中位数是从中间点将全部数据分为两部分。与中位数类似的还有四分位数、十分位数、百分位数、四分位数就是对数据集合四等分的三个数值，其中的第二个四分位数即为中位数。例如某数据集合有101项数据，则第26项、51项、76项三个数据可以把数据集合分为数目相等的四个等分，这三
5、个数就分别是第一、第二、第三四分位数，其中第一个四分位数称为上四分位数，第三个四分位数称为下四分位数，第二个四分位数就为中位数。,三、数值平均数：算术平均数、调和平均数、几何平均数,算术平均数,主要适用于定居数据和定比数据，但不适用于定类数据和定序数据,1、简单算术平均数2、加权算术平均数,某中学100名高中一年级男生身高（单位：厘米）的频数分布如下表。求该校高一男生的平均身高。,当我们掌握的不是各组变量值出现的频数，而是频率时，也可直接根据上式计算均值,请注意！,调和平均数,该式与加权算术平均数公式的计算结果完全一致。实际上，上式只是加权算术平均数的另一种表现形式。,由此可见，调和平均数实际
6、上是算术平均数的一种变形，二者在本质上是一致的，唯一的区别就是计算时使用了不同的数据。,只适用于定比数据，不适用于定距数据,几何平均数 是n项变量值连乘积的n次方根。适合于计算现象的平均比率或平均速度，反应现象增长率的平均水平。,因此，凡是现象的变量值的连乘积等于总比率或总速度，都可以使用几何平均数来计算平均比率或平均速度。,1、简单几何平均数 适用于计算未分组数列的平均比率或平均速度。,1994-1998年我国工业品的产量分别是上年的107.6%、102.5%、100.6%、102.7%、102.2%，计算这5年的平均发展速度。,2、加权几何平均数 对于分组数列，应该采用加权几何平均数计算其
7、平均比率或平均速度。,某投资银行25年的年利率分别是：1年3%，4年5%，8年8%，10年10%，2年15%，求平均年利率。,一、异众比率,是非众数的次数与全部个案数目的比率，用 表示。,异众比率是对众数的补充，异众比率越小，说明众数的代表性越好；反之，异众比率越大，则说明众数的代表性越差。,为众数的频数，为变量值的总频数。,二、四分位差,概念 也称为内距或四分间距，它是上四分位数与下四分位数之差，是对定序及定序以上测量尺度的变量离散程度的测量指标。计算方法 求出上四分位数和下四分位数的位置 计算这两个四分位数之差,对原始资料,调查11位同学的年龄如下：17岁、18岁、18岁、19岁、19岁、
8、20岁、20岁、21岁、21岁、22岁、22岁。,首先，求出Q1和Q3的位置：,其次，从数序中找出Q1=18，Q3=21,则四分位差Q=Q3Q1=2118=3,对单值分组资料,如下表所示的学生学业成绩：,对组距分组资料,Q1和Q3的计算公式为：,其中，L1为Q1属组之真实下限；L3为Q3属组之真实下限；f1为Q1属组之次数；f3为 Q3属组之次数；cf1为低于Q1属组下限之累积次数；cf3为低于Q3属组下限之累积次数；w1为Q1属组之组距；w3为Q3属组之组距；n为全部个案数。,某企业100名职工收入的分布如下：,由上表知：Q1位置=,，所以Q1在300399组内；,Q3位置=,，所以Q3在4
9、00499组内。,所以四分位差Q=Q3-Q1=162.5,三、全距,全距又称极差，它是一组数据中最大值与最小值之差。,全距是对定序及以上尺度的变量离散程度的测量。极差越小，表明资料越集中，集中趋势统计量的代表性越高。,一般公式为：,对于组距分组数据，全距也可以近似表示为：,四、方差及标准差,对于未分组数据，公式为：,对于组距分组数据，公式为：,根据下表中1998年度和1999年度电视机广告前10名品牌广告费用统计情况，计算两个年度广告费用的标准差。,根据上表可以计算出1998年度和1999年度的平均广告费用额分别为：1604.4万元，1606.5万元。,1998年度的标准差为：,=361.7（
10、万元）,同理可以计算1999年度的标准差为674.7万元。,五、离散系数,离散系数是标准差与平均数的比值，用百分比表示。记离散系数为V，则公式为：,离散系数是一种相对的离散量数统计量，它使我们能够对同一总体中的两种不同的离散量数统计量进行比较，或者对两个不同总体中的同一离散量数统计量进行比较。,一项调查的结果如下，某市人均月收入为92元，标准差为17元，人均住房面积75平方米，标准差为18平方米。试比较该市人均收入和人均住房情况哪一个差异程度比较大。,第三节 偏态与峰度的测度,一.偏态及其测度二.峰度及其测度,偏态与峰度分布的形状,偏态,峰度,左偏分布,偏态,1.数据分布偏斜程度的测度，用 表
11、示。2.偏态系数=0为对称分布3.偏态系数 0为右偏分布4.偏态系数 0为左偏分布5.计算公式为,3=0,30,30,(对称分布),正偏态分布（右）,负偏态分布(左）,偏度值一般在-3 3之间。3为极度右偏斜-3为极度左偏斜绝大多数变量分布偏斜程度在-1 1之间,某管理局所属30个企业2005年3月份利润额统计资料如右侧表所示，要求计算该变量数列的偏斜状况。,根据上表数据计算得,计算结果表明该管理局所属企业利润额的分布状况呈轻微负偏分布。,峰度,1.数据分布扁平程度的测度，用 表示。2.峰度系数=3为扁平程度适中3.峰度系数3为尖峰分布5.计算公式为,根据偏度例题：某管理局所属30个企业2005年3月份利润额统计资料如右侧表所示，要求计算该变量数列的峰度。,根据表中有关数据计算峰度系数如下：,计算结果表明，上述企业间利润额的分布呈平顶峰度，各变量值分布较为均匀。,
