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1、第四章 根轨迹法,4-1 根轨迹与根轨迹方程4-2 绘制根轨迹的基本法则4-3 控制系统的根轨迹分析4-4 零度根轨迹与非最小相位根轨迹,4-1 根轨迹与根轨迹方程,一、根轨迹的基本概念,所谓根轨迹就是指当系统中某个参量由零到无穷大变化时，其闭环特征根（极点）在s平面上移动的轨迹,例4-1,解为两实根；,解为两实重根,解为一对共轭复根,二、根轨迹方程,必要条件,充要条件,m个零点n个极点（nm）,根轨迹方程,例4-2已知系统开环传递函数,其开环零、极点如图所示，求取系统闭环根轨迹。,根轨迹的绘制过程为：（1）寻找平面上所有满足相角条件的s；（2）利用幅值条件确定各点的K*值。,设控制系统的开环
2、传递函数为,4-2 绘制根轨迹的基本法则,1.根轨迹的起点和终点,2.根轨迹分支数,3.根轨迹的对称性,5.实轴上的根轨迹,4.根轨迹的渐近线,7.根轨迹的分离点和会合点,6.根轨迹的起始角和终止角,8.根轨迹与虚轴的交点,9.根之和,绘制根轨迹的基本法则,1.根轨迹的起点和终点,根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点,幅值条件,2.根轨迹的分支数,n阶系统根轨迹有n个分支,3.根轨迹的对称性,根轨迹各分支连续且关于实轴对称,4.根轨迹的渐近线,渐近线与实轴的倾角：,渐近线与实轴的交点：,例4-2 求下面闭环特征方程式根轨迹的渐近线,解：,5.实轴上的根轨迹,实轴上某段区域右边的实数零点和实数极
3、点总数为奇数时，这段区域必为根轨迹的一部分,6.根轨迹的起始角和终止角,起始角：始于开环极点的根轨迹，在起 点处的切线与水平线的正方向夹角,终止角：止于开环零点的根轨迹，在终点处的切线与水平线的正方向夹角,例4-3 已知系统开环传递函数为求闭环系统大致根轨迹,7.根轨迹的分离点和会合点,分离点（或会合点）：根轨迹在S平面某一点相遇后又立即分开。,根轨迹上的分离点和会合点是与特征方程式的重根相对应的。,分离点,会合点,分离点（或会合点）d坐标值的求取方法:,检验：当解得多个s值时，其中k*值为正实数时或s是根轨迹上的点才有效。,1、d坐标值由方程解出,3、由极值点求解d,2、重根法求解d,坐标值
4、由 解出d,方法1:解方程法,（舍去）,开环传递函数,方法2:重根法,（舍去）,方法3:极值法,（舍去）,8.根轨迹与虚轴的交点,代入特征方程,联立求解，根轨迹与虚轴的交点值和相应的临界K值。,9.根之和,当 2时,开环极点之和等于闭环极点之和,（2）劳斯法,（1）,4-3 控制系统的根轨迹分析,系统闭环零、极点分布与阶跃响应的关系,利用根轨迹分析控制系统的性能,开环零点和极点对根轨迹的影响,增加开环极点的影响,增加一个惯性环节,增加开环零点的影响,加入一阶微分环节,系统闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系,系统闭环主导极点与偶极子,系统闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系,设n阶系统闭环传递
5、函数为,单位阶跃响应为,(2)要远离虚轴，且分布在 线附近；,单位阶跃响应为,定性关系,(1)各闭环极点，j=1,2,n;,(3)闭环极点间距大，闭环零、极点间距小。,1.闭环主导极点 离虚轴最近的闭环极点，称为闭环主导极点。,2.偶极子 当一对闭环零、极点相距很近时，它们就构成偶极子。,系统闭环主导极点与偶极子,增加开环极点的影响,增加极点对根轨迹形状的影响,增加开环零点的影响,增加零点对根轨迹形状的影响,例1 分析K的变化对系统稳定性的影响,利用根轨迹分析控制系统的性能,系统稳定的K的范围为:,0K35,例2 分析K的变化对系统的影响设负反馈系统的开环传递函数为 求系统闭环根轨迹，并分析
6、时系统的动态性能。,解:,（1）当023.4时，阶跃响应又同（1）但动态过渡过程较快些。,例2 单位反馈系统的传递函数为试绘出系统的闭环根轨迹，并分析其性能。,解:,（1）绘出根轨迹，分析系统稳定性；（2）估算 时的K值。,例3 单位反馈系统如图所示，,解:,例4 已知某系统闭环传递函数 试计算 时的 和,解:,该闭环系统有三个极点:,该闭环系统有三个极点:,例5 已知某系统闭环传递函数 试计算 时的 和,解:,一个零点,4-4 零度根轨迹与非最小相位根轨迹,系统特征方程的形式为 1-G(s)H(s)=0,此时因为其相角遵循条件：,零度根轨迹与180根轨迹的区别体现在：1.实轴上的根轨迹；2.渐近线与实轴的夹角；3.出射角与终止角。,零度根轨迹,(其右方开环实数零、极点个数之和为偶数),非最小相位根轨迹,若控制系统具有位于s右半平面的开环零、极点，则称该系统为非最小相位系统。,绘制规则:,（1）对于负反馈系统按前述一般规则绘制；（2）对于正反馈系统按前述零度根轨迹规则绘制。,本章小结,4-3 控制系统的根轨迹分析,系统闭环零、极点分布与阶跃响应的关系,利用根轨迹分析控制系统的性能,开环零点和极点对根轨迹的影响,4-1 根轨迹与根轨迹方程,零度根轨迹,非最小相位根轨迹,4-4 零度根轨迹与非最小相位根轨迹,4-2 绘制根轨迹的基本法则,
