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1、7-6 正弦稳态电路的功率,本节讨论正弦稳态单口网络的瞬时功率、平均功率(有功功率)、无功功率、视在功率、复功率和功率因数。正弦稳态单口网络向可变负载传输最大功率的问题。,7-6-1 二端网络的功率,端口电压和电流采用关联参考方向，它的瞬时吸收功率为：,正弦稳态时，端口电压和电流是相同频率的正弦量，即设：,1、瞬时功率,瞬时功率为,瞬时功率由一个恒定分量和一个频率为2的正弦分量组成，周期性变化；,当p(t)0时，该网络吸收功率；当p(t)0时，该网络发出功率。,Z,UIcosZ,瞬时功率的波形图,1)瞬时功率是周期性变化的:,当p(t)0时，网络吸收功率；当p(t)0 时，网络发出功率;,由于
2、电压、电流不同相，瞬时功率时为正时为负:,结论:,在u或i为零时,瞬时功率为0；,反映了在一个周期内两次功率为0的相位差.,2)电抗越大，瞬时功率中的恒定分量越小，储能作用越大，p0的时间越长；,3)电阻越大，瞬时功率中的恒定分量越大，储能作用越小，p0的时间越短；,4)通常p0的部分大于p0的部分。,纯电阻电路中只有p0,纯电抗电路中p0和p0各一半。,平均功率不仅取决于电压电流的有效值，还与阻抗角Z=u-I有关。,2、平均功率(有功功率),在一个周期内的瞬时功率的平均值，简称功率。,正弦信号 的平均功率为：,几种特殊情况：,电阻始终吸收功率和消耗能量。,1)网络等效阻抗为一个电阻：,用电压
3、、电流有效值，计算电阻消耗的平均功率公式，与直流电路中相同。,平均功率：,若用电流、电压的振幅值，上述公式为,2)网络等效阻抗为一个电抗：,此时网络电压与电流相位为正交关系，即Z=u-i=90,(+电感电容),若假设电压初相为零，得,瞬时功率是频率为2的正弦量，半个周期内p(t)0，另外半个周期内p(t)0，意味着电感或电容半个周期吸收功率存储能量，半个周期发出功率释放它所获得的全部能量。,平均功率为:,电感和电容不消耗能量，它们是无源元件。,对于任意二端网络：,电阻分量消耗的平均功率，就是网络吸收的平均功率。,设二端网络：,平均功率:,注意：,3、视在功率,表示一个电气设备的最大容量(标称值
4、),是单口网络可吸收的平均功率的最大值。,单位：伏安(VA),例如我们说某个发电机的容量为100kVA，而不说其容量为100kW,视在功率也有额定值。,4、功率因数,Z=u-i：功率因数角,网络吸收的平均功率P与cosZ的大小密切相关，cosZ表示功率的利用程度，称为功率因数：,|Z|=90,0=pf=1,当二端网络为无源元件R、L、C组成时：,Z0,电路呈感性，电流滞后电压。,一发电机其输出有效值为200V和频率为50Hz的电压，要求最大输出功率为1000W。,该发电机若对纯电阻供电，其需提供的电流为5A；,若该发电机若对一pf=0.5的感性负载供电，则其需提供的电流为10A；,即，在电源电
5、压一定时，功率因数降低，要保持负载获得同样的有功功率，必然要求电源提供的电流增加。,为了提高电能的利用效率，电力部门采用各种措施力求提高功率因数。,P、U一定 一定,例如使用镇流器的日光灯电路，它等效于一个电阻和电感的串联，其功率因数小于1，它要求线路提供更大的电流。,对一感性负载，要提高其功率因数，通常是在它的输入端并联一个适当数值的电容来抵销电抗分量，使其功率因数接近于1。,例17 感性负载接在U=220V,f=50Hz的交流电源上,其平均功率P=1.1KW,功率因数pf=0.5，欲并联电容使负载的功率因数提高到0.8(滞后),求电容。,解：求负载电流有效值:,感性负载的阻抗角:,设电压相
6、量为：,负载电流相量:,并联后电源电流有效值:,由于pf=0.8(滞后),因此功率因数角:,并联电容后，并不会影响电阻吸收的平均功率；,由于:得:,但电容电流抵消了部分感性负载的电流，功率因数变大，电源电流的有效值由原来的10A减小到6.25A，提高了电源效率。,5、无功功率,将能量交换的最大值定义为二端网络的无功功率 Q，即,由于电抗分量吸收的平均功率为零，即电抗不消耗能量，而只与外电路进行能量交换，故：,单位：乏(var)(无功伏安：volt amper reactive),与平均功率计算类似:,网络等效为一个纯电抗时：,表明电感或电容与外电路电流和电压不断往返的程度。,平均功率,无功功率
7、,视在功率,u与i的相位差,定义,电阻R,电感L,电容C,电阻、电感、电容的功率情况比较,结论：,电阻只消耗有功功率，不消耗无功功率；,电感和电容只消耗无功功率，不消耗有功功率；关联方向下，其值一正一负。,6、复 功 率,单位：VA,工作于正弦稳态的网络，其电压电流采用关联参考方向，设,电压相量与电流相量的共轭复数的乘积称为网络吸收的复功率，即：,复功率还有两个常用的公式：,电流、电压若用振幅值时，要乘1/2。,注意：复功率不是相量，只是复数，无物理含义。,复功率守恒定理,由此可知：一个正弦稳态电路的有功功率和无功功率也守恒。,对于工作在正弦稳态的电路，在关联参考方向下，每个独立电源发出的复功
8、率的总和等于电路中其它电路元件所吸收复功率的总和：,注意：正弦稳态电路中一般视在功率不守恒,正弦稳态电路中，由每个独立电源发出的有功功率的总和等于电路中其它元件所吸收的有功功率的总和:,由每个独立电源发出的无功功率的总和等于电路中其它元件所吸收的无功功率的总和：,由此可得：网络吸收的有功功率等于该网络内每个电阻吸收的平均功率总和；网络吸收的无功功率等于该网络内每个电抗吸收的平均功率总和。,功率三角形,功率三角形和阻抗三角形，导纳三角形，电压三角形，电流三角形和都是相似三角形。,有功功率P、无功功率Q和视在功率S间的关系：,例18 电路相量模型如图，端口电压的有效值U=100V.试求该网络的P、
9、Q、S、pf。,解:设端口电压相量为：,网络的等效阻抗：,（导前）,因此,故：,例19 电路工作于正弦稳态，已知电压源电压为.试求该电压源发出的平均功率。,解：电路的相量模型如图(b)所示。,先求出连接电压源单口网络的等效阻抗：,求支路电流:,可用以下几种方法求电源发出的平均功率,求总电流:,7-6-2 最大功率传输,图(a)所示含独立电源网络用戴维南等效电路代替，得到图(b)。,其中，是含源网络的开路电压，Zo=Ro+jXo是含源网络的输出阻抗，ZL=RL+jXL是负载阻抗。,负载电流：,负载吸收的平均功率：,得 RL=Ro。,负载获得最大功率的条件:,所获最大功率：,求导数，并令其等于零。
10、,当XL=-Xo时，分母最小:,最大功率传输定理：,满足 的匹配，称为共轭匹配。,工作于正弦稳态的网络向一个负载ZL=RL+jXL供电，由戴维南定理(其中 Zo=Ro+jXo)，则在负载阻抗等于含源网络输出阻抗的共轭复数(即）时，负载可以获得最大平均功率：,例20 图示电路，已知ZL为可调负载,试求ZL为何值时可获最大功率?最大功率为多少?,解：ab以左运用戴维南电路,得右图。,故,当 时,可获最大功率：,在通信和电子设备的设计中，常常要求满足共轭匹配，以便使负载得到最大功率。,在负载不能任意变化的情况下，可以在含源单口网络与负载之间插入一个匹配网络来满足负载获得最大功率的条件。,例21 单口
11、网络如图，电源角频率=1000rad/s,为使RL从单口网络中获得最大功率，试设计一个由电抗元件组成的网络来满足共轭匹配条件。,解：1 若不用匹配网络，将1000负载与网络直接相连时，负载电阻获得的平均功率为,2 若采用匹配网络满足共轭匹配条件，1000负载电阻可能获得的最大平均功率为,可见，采用共轭匹配网络，负载获得的平均功率将大大增加。,ab以右网络的输入阻抗:,3 设计一个由电感和电容构成的网络来满足共轭匹配条件，以使负载获最大功率。,上图网络是可满足上述条件的一种方案。,令上式两边实部与虚部分别相等:,代入参数,得:,以上计算表明，如果选择L=0.3H,C=3F，图中ab两端以右单口网
12、络的输入阻抗等于100，它可以获得25W的最大功率，由于其中的电感和电容平均功率为零，根据平均功率守恒定理，这些功率将为RL=1000的负载全部吸收。,实际上还有一种情况：负载阻抗的模任意改变，而其阻抗角不能变。,时负载可获得最大功率，称为模匹配。,数学意义上讲，这时负载可获得的功率为极大值，并不是最大值。,用相同的方法，可知:,激励频率不同的正弦稳态晌应,几个频率不同的正弦激励在线性时不变电路中产生的稳态电压和电流，可以利用叠加定理：,先用相量法分别计算每个正弦激励单独作用时产生的电压电流相量，然后得到时域形式的电压uk(t)电流和ik(t)，最后相加求得总的稳态电压u(t)和电流i(t)。
13、,例22 图(a)中，uS(t)=20cos(100t+10)V,求稳态电压u(t)。,解：1、电压源单独作用时,将电流源以开路代替，得图(b)相量模型，则:,由相量写出相应的时间表达式,2、电流源单独作用时,将电压源用短路代替，得图(c)所示相量模型，则:,由相量写出相应的时间表达式：,3、叠加求稳态电压u(t),将每个正弦电源单独作用时产生的电压在时间域相加:,可见：两个不同频率正弦波相加得到的是一 个非正弦周期波形。,两个不同频率的正弦波形的叠加,77 三相电路,由三相电源、三相线路和三相负载组成的电路整体总称为三相电路，是一种特殊的正弦稳态电路。,三相供电系统1988年问世，电路结构特
14、殊，有明显规律性；,对于三相电路特别是对称三相电路，可采用简化的正弦稳态电路分析方法。,三相供电系统具有很多优点，为各国广泛采用：,三相输电系统比单相输电系统，在输出距离、输送功率、功率因数、功率损失等在相同条件下经济得多。,三相异步电动机在结构、体积、价格及性能、维护等方面有优势；,三相发电机,7-7-1 三相电源,能同时产生三个频率相同、振幅相同但相位不同的正弦电压电源总体。,三相供电系统的三相电源是三相发电机，它包括定子和转子两大部分。,若三相电源的三个同频同 幅的正弦电压的相位彼此相 差，称为对称三相电源。,三相发电机,定子铁心的内圆周的槽中对称地安放着三个绕组AX、BY和CZ。A、B
15、、C为首端；X、Y、Z为末端。三绕组在空间上彼此间隔120。转子是电磁铁。它的铁心上绕有励磁绕组。,三绕组在N、S磁极间绕转轴旋转时，由于穿过三绕组中的磁通量的变化，使三个绕组中都有正弦交流电压产生。,当转子恒速旋转时，AX、BY、CZ 三绕组的两端将分别感应振幅相等、频率相同，相位不同的三个正弦电压uA(t)、uB(t)、uc(t);,三相电压源的电路模型：,用三个独立的正弦电压源按一定的方式连接而成，每一个正弦电压源称为一相,分别称为A相、B相和C相。,习惯上将独立正弦电压源的“+”端标记为首端，“-”端标记为末端。,若以 作为参考相量，三个电压相量为:,这样三个振幅相等、频率相同、相位差
16、120的一组正弦电压源称为对称三相正弦电源。,画相量图时，相量的方向是从末端指向始端。,即:对称三相电源的电压相量的代数和为零,由对称三相电源的相量图和波形图可知：,按照各相电压经过正峰值的先后次序来说，它们的相序是A、B、C（或B、C、A;C、A、B）称为正序(顺序);如果各相电压到达正峰值的次序为A、C、B（或C、B、A；B、A、C）则称为负序(逆序)。,用户可以改变三相电源与三相电动机的连接方式来改变相序，从而改变三相电动机的旋转方向。,通常，非特别说明，三相电源均为正序连接。,1.星形联接（Y形联接),三相电源有两种基本联接方式：,三相电源的末端 X、Y、Z接在一起形成一个公共节点，记
17、为 N，称为中性点或中点；,星形联接和三角形连接,将各相的首端 A、B、C以及中点N与四根输电线联接，分别称为火线和中线。,相电压：各元件两端间的电 压，即每相电源或负 载两端的电压，如；,线电压：火线两两之间的电压，如；,线电流：流过每根火线上的电流，如；,通常，不特别说明都是指的相电压；,相电流：流经每个元件的电 流，即流过每相电源 或负载的电流，如；,与传输线相联接的负载，可以从火线与中线之间得到三个相电压，用 表示，也可以从三根火线之间得到三个线电压，用 表示。,线电压与相电压之间的关系可以从7.7-1(b)相量图中计算出来。,其中，表示相电压的有效值；同理，分别用、表示线电压、线电流
18、和相电流的有效值。,例如日常生活用电的220V电压是指的相电压，相应的线电压则是380V。,故，可见，对星形连接：,（1）若相电压对称，则其线电压也对称；,（3）线电流等于相电流，即：,从相量图上可以看出，三个对称相电压以及三个对称线电压之间存在以下关系：,此结论可以推广到任意对称多相电路的（线、相）电压和电流之和为零。,2.三角形联接(又称联接),将三相电源各相的始端和末端依次相连构成一闭合回路，再由A、B、C引出三根火线与负载相连。,（2）线电压等于相电压，即：,故可见，对三角形连接：,（1）若相电流对称，线电流也对称；,（3）线电流是相电流的 倍，即,且相位滞后；,作三角形联接时，要求三
19、绕组的电压必须对称，否则构成的闭合回路中会产生环路电流；,对称三相电源在联接时，不能将各电源的始末端接错，否则将烧坏绕组。,如不对称程度比较大，所产生的环路电流将烧坏绕组。,事实上应该指出，由图7.7-1可以看出：对称三相电源可以认为它是星形连接的，也可以认为是三角形连接的。这要根据具体情况来选择。,重画图7-7-1,三相负载也有Y和两种连接方式，故三相电路有四种连接方式图7-37,7-7-2 三相电路,三相电路中，将每相电源或负载上的电压和流过的电流分别称为电源或负载的相电压和相电流；,而将火线间的电压和流过的电流分称为线电压和线电流。,在三相电路中，将三相负载与对称三相源连接,当三相负载相
20、同时，即ZA=ZB=ZC=Z，三相线路也完全一样，称为对称三相电路。,在对称三相电路中，由于相、线电压对称，故相、线电流也对称。,1、YY联接的对称三相电路,Y形三相负载与Y形对称三相电源连接，当三相负载相同时，即ZA=ZB=ZC=Z，三相线 路也完全一样，称为YY对称三相电路，又称三相四线制。,取N为参考节点，列出电路的节点方程，并代入：，得到：,由于，相当于中线短路，即:两中点间的电压为零，中线上无电流，相当于中线开路，构成三相三线制。,注意：对称三相四线制电路中，中线阻抗 并不影响相电流，且。,由于 相当于中线短路，每相负载的相电压和相电流分别是电源的相电压和相电流，负载的相电流也等于线
21、电流；,可以各相单独计算：,Y-Y联接的对称三相电路中：,负载的相电压电流关系为：,相电压电流与线电压电流间的关系：,负载的相电压是电源的相电压，负载的相电流也是电源的相电流；,例7-1 对称Y-Y电路中，已知试求三相电流。,解：分成三组按单相电路计算出三相电流：,在Y-Y形联接的对称三相电路中，中线电流为零，中线可以不用，可以只用三根火线传输(称为三相三线制)，以适合于高压远距离传输电之用。,对于日常生活的低压用电，由于三相负载可能不完全对称，还有一定的中线电流存在，中线还必须保留，即采用三相四线制供电系统。,假如不用中线，不对称三相负载的三相电压将不相同，过高的相电压可能损坏电气设备。,可
22、见，A相和B相的电压由220伏升高到303伏，这两相的电气设备可能损坏；C相的电压降低到94伏，使得C相的电气设备不能正常工作。,例如 将例7-1中的C相负载阻抗为ZC=(2+j2)，用正弦稳态电路的计算方法可得到在不用中线时的三相电压为：,可见：在三相四线制供电系统中，保险丝绝对不能接在中线上：,因为中线断开后，各相负载上的电压将随负载大小变化，过高的电压可能损坏电气设备。,2 Y-联接的三相电路,Y形对称三相电源与形三相对称负载连接，也是一种对称三相电路。,在对称三相电路中，每相负载上的电压等于线电压，且大小相等，相位彼此相差，即也是对称的。,负载上的相电流为：,此时三根火线中的线电流为,
23、其中，分别为负载的相电压、相电流的有效值。,同理可知三根火线中的线电流 为:,由此可知，Y-联接的对称三相电路中，线电流是负载相电流的 倍，即:,Y-联接的对称三相电路中：,负载的线电压电流与相电压电流间的关系：,负载的线电压是相电压，而线电流则是负载相电流的 倍，也是电源的相电流。,例7-2 对称Y-三相电路中，已知试求相电流和线电流。,相电流为：,解：负载的相电压为：,线电流为：,同样可得，在Y-对称联接时，其负载电压电流为：,当然，对称三相电路中的三角形负载也可以等效成星形负载来计算线电流。,其中：UXp,IXp是各相负载的相电压和相电流的有效值；cos是各相的功率因数，是各相相电压与相
24、电流的相位差。,3 对称三相电路的功率,在三相电路中，无论负载如何连接及是否对称，其三相负载吸收的总平均功率：,在对称三相电路中，无论负载为何连接：,负载吸收的总平均功率：,即：对称三相电路的三相负载吸收的总平均功率等于每相负载吸收的平均功率的三倍，而功率因数就是每相负载的功率因数。,由于线电压和线电流容易测量，而且对于Y负载，有：；对于负载，有：，故：,负载吸收的总平均功率：,对称三相电路总的无功功率：,负载吸收的总平均功率：,在对称三相电路中，无论负载为何连接：,负载的总的无功功率：,负载的总的视在功率：,讨论对称三相电路的瞬时功率:,对称三相电路的瞬时功率是不随时间变化的常数，且等于三相
25、负载吸收的总平均功率，即：,在这种情况下，三相电动机的转矩是恒定的，有利于发电机和电动机的工作，是三相电路的优点之一。,例7-3 三相电炉的三个电阻，可以接成星形，也可以接成三角形，常以此来改变电炉的功率。假设某三相电炉的三个电阻都是43.32，求：在380V线电压上，把它们接成星形和三角形时的功率各为多少?,解：1.三相负载为星形联接时，如图(a)所示，则线电流为,三相负载吸收的平均功率为：,且由于负载为电阻，则，故有：,2.三相负载为三角形联接时，如图(b)所示，则相电流为,则线电流为：,三相电炉接成三角形吸收的功率是联接成星形时的三倍。,三相负载吸收的总平均功率为：,对称三相电路的计算,
26、对称三相电路，是指由对称三相电源和对称三相负载所组成的电路。,对称三相电路，是正弦交流电路的一种特殊形式，电路中的电源仍然是同频率的，因而对于正弦稳态电路的分析方法对于它完全适用。,但由于对称三相电路的一些特殊特点，使其的计算可能简化。,但因为在对称三相电路中，各相的相电流和相电压都是对称的，因此，只要计算出其中某一相的相电流和相电压，而其它两相的相电流和相电压可以直接写出；,对称三相电路中，任一相的相电流只和这一相的相电压和阻抗有关，而与其它两相无关。即，各相的相电流和相电压的计算具有独立性。,本节讨论几种不同频率正弦信号激励的非正弦稳态的平均功率。,图7-8-1,7-8 非正弦周期电路的稳
27、态分析,图7-8-1所示为非正弦稳态单口网络，在端口电压和电流采用关联参考方向的条件下，设其电压和电流为：,单口网络的瞬时功率为,瞬时功率随时间作周期性变化；,非正弦周期信号的功率,三角函数的正交性：,由三角函数的正交性可知：一个周期内不同频率的电压和电流乘积的积分为零；,不同频率正弦信号激励下的平均功率为：,结论:(1)不同频率正弦信号激励的单口网络吸收的平均功率等于每种频率的正弦信号单独作用时网络吸收的平均功率之和，即：,其中,(2)非正弦周期信号的平均功率等于直流分量和各次谐波分量各自产生的平均功率之和。,单口网络吸收的平均功率：,解：分别计算每种频率正弦信号单独作用产生的平均功率,非正
28、弦周期电路的稳态分析用叠加定理,但不可直接用相量分析法。,非正弦周期信号的有效值,根据傅立叶级数理论，任一周期信号总是可以展开为傅立叶级数，即有：,其中：,非正弦周期信号f(t)激励下的稳态响应为f(t)的直流分量和各次谐波分量分别作用下的稳态响应的和。,将上式中的同频率项合并，则有：,其中：,用傅里叶级数分解出非正弦周期电流和电压信号的直流分量和各种谐波分量后，可以用以下公式计算它们的有效值：,即：非正弦周期信号的有效值等于其直流分量和各次谐波分量有效值的平方和的平方根。,引入周期性非正弦电压和电流的有效值后，可以用以下公式计算电阻的平均功率：,例8-2 已知流过5电阻的电流为,求电阻吸收的
29、平均功率。,式中的 是周期性非正弦电流的有效值。,解：分别计算各种频率成分的平均功率再相加，即：,注意：,电路在频率相同的几个正弦信号激励时，不能用平均功率叠加的方法来计算正弦稳态的平均功率。,应该先计算出总的电压和电流后，再用公式P=UIcos来计算平均功率。,补：一阶电路在正弦激励下的全响应:,也是三要素法:,1.换路前DC，换路后DC；,（书式5-55）,换路前后共有四种情况：换路前(DC、AC)换路后(DC、AC),第五章,2.换路前DC，换路后AC；,画 图，得,（DC分析法求初始值）,先求 时，电容相当于开路，得,解：(1)求,(2)相量分析法求特解,(3)求:,(4)代入三要素法
30、：,为一AC电路，故应用AC电路的三要素法：,3.换路前AC，换路后DC；,解：时，电容不能看成开路，应该是正弦稳态电路。用相量法进行正弦稳态分析求,再求，再用DC分析求初始值;,画 图，得,(2)求终值：,(3)求：,最后，得：,换路后为一DC电路，故应用DC电路的三要素法：,4.换路前AC，换路后AC；,开关动作前电路已经稳定，求。,解：(1)时，相量法和DC分析法求初始值；,画 图，得：,(2)相量法求,(3)求：,（4）应用AC电路的三要素法：,思考题1.求容性阻抗Z吸收的平均功率和pf。已知：U=220 V,电流表A1=7,A2=2,A3=6。,思考题2.调节图示电路中的L使电路消耗的功率为3600W，试求L值及电路的功率因数。已知。,iS,R,Z,
