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1、5-5 一阶电路的全响应,全响应：由动态元件的初始储能和独立电源共同引起的响应。,已知：uC(0-)=U0。求t=0时开关闭合后的uC(t)。,故这是求一个RC串联电路在直流电压源作用下的全响应。,为了求得电容电压的全响应，以uC(t)为变量，列出换路后电路的微分方程:,其解为,代入初始条件uC(0+)=uC(0-)=U0，可得,则：,电路由外加激励和初始状态共同引起的全响应等于零输入响应与零状态响应之和，这是线性动态电路的一个基本性质，是响应可以叠加的一种体现。,可改写为:,uC(t)=uCh(t)+uCp(t),uC(t)=uCzi(t)+uCzs(t),5-6 一阶电路的三要素法,在线性
2、非时变一阶电路中，若用r(t)来表示换路后的任一响应，则该响应与激励间的微分方程可表示为统一形式：,r(0+)表示响应的初始值，如电容电压初始值uC(0+)或电感电流的初始值iL(0+)；,是时间常数(=RC 或=GL=L/R)；,w(t)表示外加的激励，如电压源uS或电流源is。,一阶电路任意激励下任一全响应为:,t=0+代入，得：,响应的通解为,（书式5-55）,直流输入的情况下,t时,rh(t)0;rp(t)为常数即响应的稳态值，则有：,恒定激励下一阶电路的任一全响应为：,r(0+)响应的初始值,三要素：,r()响应的终值,时间常数,=RC或=L/R,（书式5-56）,结论：直流激励下一
3、阶电路的全响应取决于r(0+)，r()和 这三个要素。,故，只要分别计算出这三个要素，就能够确定全响应，而不必建立和求解微分方程。这种方法称为三要素法。,三要素公式的响应波形曲线,可见，直流激励下一阶电路中任一响应总是从初始值 r(0+)开始，以指数规律增长或衰减到稳态值r()，响应的快慢取决于的时间常数。,注意：,(1)三要素法只适用于一阶电路；第一种形式的激励可以是常数、正弦函数、单位阶跃函数、指数函数、冲激函数等，但第二种形式只适用于直流激励；,(2)适用于一阶电路任一电压或电流的全响应；,(3)适用于求零输入响应和零状态响应。,三要素法求直流激励下响应的步骤：,1.计算初始值r(0+)
4、(换路前电路已稳定):,(2)由换路定则，确定uC(0+)和iL(0+)；,(3)画t=0+图，求响应初始值r(0+)：用数 值为uC(0+)的电压源替代电容或用iL(0+)的电流源替代电感，得直流电阻电路再 计算r(0+);,(1)画t=0-图，求初始状态uC(0-)或iL(0-)；,2.计算稳态值r()(画t=图),根据t0电路达到新的稳态，将电容用开路或电感用短路代替，得一个直流电阻电路，再对该稳态图进行直流稳态分析确定稳态值r()。,4.将r(0+),r()和 代入三要素公式得到恒定激励下的全响应的一般表达式：,3.计算时间常数(换路后令所有独立电源置0后的电路图),先计算与动态元件连
5、接的电阻单口网络的输出电阻Ro，然后用=RoC或=L/Ro计算时间常数。,注意：三要素公式可以计算全响应、零输入响应分量和零状态响应。,但千万不要认为能推广到一般得出结论：即所有的响应都满足：,应该是：,如：求全响应：,从另一个角度说：,只对电容电压和电感电流，只要知道全响应表达式，就可以把它分成零输入响应(分量)和零状态响应(分量)。,而对其他响应，在仅知道全响应的表达式时，无法将零输入响应(分量)和零状态响应(分量)分开。非要知道电路，画出零输入的 图或零状态的图，求出零输入响应或零状态响应来才行。,例16 电路原处于稳定状态。求t0的uC(t)和i(t)，并画波形图。,解：1、计算初始值
6、uC(0+)、i(0+)：,先确定uC(0-)：开关闭合前，电路已稳定，电容相当于开路，则：,由于开关转换时，电容电流有界，电容电压不能跃变，故,画0+图：,2、计算稳态值uC()、i(),换路后一段时间，重新达到稳定，即电容开路，终值图如右，运用叠加定理得：,3、计算时间常数,计算从电容两端看进去的独立电源全部置0后的电阻单口网络的输出电阻：,4、将初始值、终值及时间常数代入三要素公式，得到响应表达式：,响应过程波形：,例17 求u(t)和i(t)。已知：,解：1、计算初始值u(0+)、i(0+),零状态电路，由换路定则得：,画0+图：,列节点方程：,2、计算稳态值u()、i(),时间常数为
7、：,4、代入三要素公式：,3、计算时间常数,电容相连接的电阻网络如右图，用加压求流法得：,例18 求u(t)。已知：,解：非一阶电路，但电路换路后可分成两部分分别求响应，然后迭加，即：,RC部分：,故有：,RL部分：,+u(t)_,故：,例19 开关在a时电路已稳定。t=0倒向b,t=R1C倒向c，求t0的iC(t)并画波形,解：t0时，uC(0-)=0。第一次换路后由换路定则得：,得到电容电压的零状态响应：,另解：也可将电容作为电压源且，直接写出 的全响应。其中：,t=R1C时，第二次换路,由换路定则得：,t=R1C+图：,例20 原电路已稳定。求t0的iL(t)和uC(t)。,解：1)求换
8、路前的初始状态:,电感L等效于短路，电容开路则：,换路后，电路可分为两部分：,所以,5-7 一阶电路的特殊情况分析,1.R0或G0的情况，换路定则也适用。,电容电压和电感电流不连续，即跳变，则换路定则失效。,求初试值依据瞬时电荷守恒或磁链守恒；,2.特殊情况电路含全电容回路或全电感割集(所谓“陷阱”)时：,采取求极限的方法，三要素公式仍然是成立的。,例：电路原已稳定，求开关动作后的电流i。,解：,由换路定则：,代入三要素公式有：,取极限，得：,如果认为，则：,求出：,换路后可认为：,可见，采取取极限的方法，三要素公式仍然是成立的,例21(书例5-12)已知:uC1(0-)=U1,uC2(0-)
9、=U2，试求uC1(0+),uC2(0+)。,解：开关闭合后两个电容并联，按照KVL约束，两个电容电压必相等，即：,根据换路前后瞬时电荷守恒定律，有：,显然无论 取何值，电容电压都会发生跳变，故换路定则不成立。,当U1U2时，两个电容的电压都发生了跳变：uC1(t)由U1变为uC(0+),uC2(t)则由U2变为uC(0+)。,从物理上讲，这是因为两个电容上有电荷移动所形成的结果，由于电路中电阻为零，电荷的移动迅速完成而不需要时间，从而形成无穷大的电流，造成电容电压发生跃变。,如果，改变为等效电路的方法：,原题目的 图转化为：,当 时，则：,例22(书例5-13)原电路已稳定，试求iL1(t)
10、,iL2(t),t0,解:1）求初始值：换路前，电路已稳定：,换路后，全电感割集，瞬时磁链守恒。,换路后，电感电流都会发生跳变，故换路定则不成立。,由于电感电流发生跳变时，电感电压为无穷大，得 图为：,R1,（3）求时间常数：,（4）代入三要素公式：,（2）求稳态值：,例23(书例5-14)图示RC分压器电路原已稳定。试求t0时uC2(t)。为使,解：将图中的电压源置零后，电容C1和C2并联等效于一个电容，故该电路仍是一阶电路，三要素法仍适用。,uC2(t)无过渡过程，C1取何值？,（1）求初始值：uC1(0-)=uC2(0-)=0。,换路后，在t=0+时刻，两个电容电压应满足KVL,说明电容
11、电压的初始值不再为零，发生了跃变。因为含全电容回路，换路定则失效，要用瞬时电荷守恒。对节点a可得：,a,联立解得：,（2）求终值,t 时，电路达到新的稳定，电容开路，得终值图如下：,（4）代入三要素公式，得：,（3）求时间常数：换路后，电源置零得下图。其时间常数为,(t0),（5）由上式看出，输出电压的稳态分量由两个电阻的比值确定，暂态分量还与两个电容的比值有关。,改变电容C1可得到三种情况，而当R1C1=R2C2时，暂态分量为零，输出电压 马上达到稳态值，这种情况称为完全补偿,当R1C1R2C2时，暂态分量不为零，输出电压要经过一段时间才达到稳态值，前者称为欠补偿，后者称为过补偿，,uC2(
12、t),t,0,这就是在很多高频测量仪器中的输入RC分压电路(例如示波器的探头)中设置一个微调电容器的原因，用户可以调节这个电容器来改变时间常数，令R1C1=R2C2，从而得到没有失真的输出波形。,例24(书例5-15)求t0时的uC1(t),uC2(t)和i(t)，画出它们的波形。已知uC1(0-)=10V，uC2(0-)=0V。,解：换路后含全电容割集，仍可用换路定则。,且两个电容可等效为一个独立电容，故仍为一阶电路，用三要素法：,（1）求时间常数,（2）求初始值,（3）求终值,由KVL，得：,t 时电路稳定：,由电荷守恒得：,联立解得：,也可以再次应用电容的等效图，画终值时的电路图如下：,
13、（4）代入三要素公式，得：,波形图：,两个电容上的6V电压，象掉入“陷阱”一样，永远跑不掉。,58 阶跃信号和阶跃响应,58-1 阶跃信号,单位阶跃函数,Notes：,(1)在t=0处函数值无定义；,(2)函数本身无量纲；,当用单位阶跃函数表示电压或电流时，统称为单位阶跃信号，有量纲。,数学定义：,一般阶跃函数,常量A表示在t=0处跃变的幅度，称为跃变量；,延迟单位阶跃信号：,表示在t=t0处跃变幅度为1的信号；,阶跃信号用途：,1.描述开关动作,2.描述各种信号,电路中可省去开关。,信号表达更方便简洁，可省去时域定义。,58-2 阶跃响应,单位阶跃响应s(t)：单位阶跃信号激励在零状态电路中
14、产生的响应。,即：,(2)求零状态响应；,(1)激励为单位阶跃信号；,(3)时域为；,把(t)看作下图开关动作，则求解单位阶跃响应（零状态）可用三要素法：,单位阶跃响应分析法,电路中，换路用开关函数 表示，响应的时域也用 限制。,图(a)RC串联电路，初始值uC(0+)=0V，稳态值uC()=1V，时间常数=RC；,图(b)RL并联电路，初始值iL(0+)=0A，稳态值iL()=1A，时间常数=L/R；,可分别得到uC(t)和iL(t)的阶跃响应如下：,(a),(b),延时单位阶跃响应：,电路在延时单位阶跃激励下的零状态响应。,例25(书例5-16)求图(b)在图(a)所示的电流信号作用下的i
15、L，并画出波形。,解法一：将激励看作两次开关动作;,第一次换路，t=0，充电;,第二次换路，t=1s,放电。,0t1s:,t1s:,由于是线性电路，根据动态电路的叠加定理，其零状态响应等于2(t)和-2(t-1)两个阶跃电源单独作用引起零状态响应之和：,解法二：将激励电流用阶跃函数表示:,iS(t)=2(t)-2(t-1)A,si(t)=2s(t)-2s(t-1)A,(1)先求单位阶跃响应s(t),所以：,(2)应用线性和时不变特性,(3)叠加 2(t)-2(t-1)作用的零状态响应:,例26(书例5-17)求t0时的i(t)，已知uC(0-)=2V,所以：,izi(0+)=-1A，,时间常数
16、=RC=1s，,（2）求零状态响应iCzs(t):,先求单位阶跃响应s(t):,初始值 uC(0+)=0,iC(0+)=0.5A，,uS(t)=-(t)+3(t-1)-2(t-2),稳态值,（3）全响应,故，零状态响应为：,uS(t)=-(t)+3(t-1)-2(t-2),5-9 脉冲序列作用下的一阶电路分析,1.当时：在0tT，电容由零状态充电，t=T时电路必须达稳态值US；,脉冲序列：一组重复的脉冲信号（周期信号脉冲）。,在Tt2T，电容由US放电，直至0。,当,（即RC 很小）时：,微分电路：输出等于输入的微分。,通常将电阻两端作为输出端，时间常数非常小的RC电路称为微分电路。,2.T4
17、 时：在0tT，电容由零状态充电，t=T时，uC(T)尚未至稳态值US；,若干周期后，充放电过程达稳态。,在Tt2T，电容由uC(T)放电，uC(2T)不为0；第二周期由uC(2T)开始充电。,由三要素法可得，响应的稳态分量：,对照式(5-55):,可见：,由,可得：,若,响应的稳态分量和瞬态分量：,当T 时，即=RC 很大时：,摘 要1、线性时不变电容元件的特性曲线是通过q-v平面坐标原点的一条直线，该直线方程为,电容的电压电流关系由以下微分或积分方程描述,可见，电容电压随时间变化时才有电容电流。若电容电压不随时间变化，则电容电流等于零，电容相当于开路。因此电容是一种动态元件。它是一种有记忆
18、的元件，又是一种储能元件。储能为,电容的储能取决于电容的电压，与电容电流值无关,2、线性时不变电感元件的特性曲线是通过-i 平面坐标原点的一条直线，该直线方程为,电感的电压电流关系由以下微分或积分方程描述,可见，电感电流随时间变化时才有电感电压。若电感电流不随时间变化，则电感电压等于零，电感相当于短路。因此电感是一种动态元件。它是一种有记忆的元件，又是一种储能元件。储能为,电感的储能取决于电感的电流，与电感电压值无关,3、电容和电感的一个重要性质是连续性若电容电流iC(t)在闭区间t1,t2内有界，则电容电压uC(t)在开区间(t1,t2)内是连续的。例如电容电流iC(t)在闭区间0+,0-内
19、有界，则有,若电感电压uL(t)在闭区间t1,t2 内有界，则电感电流iL(t)在开区间(t1,t2)内是连续的。例如电感电压uL(t)在闭区间0+,0-内有界，则有,利用电容电压和电感电流的连续性，可以确定电路中开关转换(称为换路)引起电路结构和元件参数等改变时，电容电压和电感电流的初始值。初始值是求解微分方程时必须知道的数据。,4，动态电路的完全响应由独立电源和储能元件的初始状态共同产生。仅由初始状态引起的响应称为零输入响应；仅由独立电源引起的响应称为零状态响应。线性动态电路的全响应等于零输入响应与零状态响应之和。5，动态电路的电路方程是微分方程。其时域分析的基本方法是建立电路的微分方程，
20、并利用初始条件求解。对于线性n阶非齐次微分方程来说，其通解为,fh(t)是对应齐次微分方程的通解，称为电路的固有响应，它与外加电源无关。fp(t)是非齐次微分方程的特解，其变化规律与激励信号的规律相同，称为电路的强制响应。,由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。对于直流激励下的一阶电路来说，其固有响应为fh(t)=Kest.若s0时,fh(t)=Kest0，fp(t)=f(t)|t=f()。此时固有响应fh(t)称为暂态响应，强制响应fp(t)称为稳态响应。,6，直流激励下一阶电路中任一响应的通用表达式(三要素公式)为,只要能够计算出某个响应的初始值f(0+)，稳态值f()和电路的时间常数 这
21、三个要素，利用以上通用公式，就能得到该响应的表达式，并画出波形曲线。对于仅含有一个电容或一个电感的一阶电路来说，只需要求解几个直流电阻电路，即可得到这三个要素的数值。这种计算一阶电路响应的方法，称为三要素法。7，三要素法还可以用来求解分段恒定信号激励的一阶电路以及含有几个开关的一阶电路。8，阶跃响应是电路在单位阶跃电压或电流激励下的零状态响应，一阶电路的阶跃响应可以用三要素法求得。,9，时间常数大于零的一阶电路，在正弦激励下的响应由暂态响应和正弦稳态响应两部分组成，当暂态响应衰减到零时，电路中的全响应就是正弦稳态响应，此时称电路处于正弦稳态。,作业12：p1455-20，5-22，5-26，5-27,作业13：p1465-30，5-32，5-35，5-36，5-37，5-38,
