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1、点击目录，进入相关章节,下一页,前一页,第 4-1 页,第四章 动态元件,4.1 电容元件4.2 电感元件4.3 电容与电感的串、并联等效4.4 耦合电感电路 一、耦合线圈 二、耦合电感的伏安关系 三、耦合电感的T形去耦等效电路4.5 变压器 一、理想变压器 二、全耦合变压器的模型 三、实际变压器的模型,退出本章,许多实际电路，除了电源和电阻外，还常包含电容和电感元件。这类元件的VCR是微分或积分关系，故称其为动态元件。含有动态元件的电路称为动态电路，描述动态电路的方程是微分方程。,4.1 电容元件,电容元件(capacitor)是一种储存电能的元件,它是实际电容器的理想化模型。其电路符号如图
2、(a)所示。,电容上电荷与电压的关系最能反映这种元件的储能。,1、电容的一般定义,一个二端元件，若在任一时刻t，其电荷q(t)与电压u(t)之间的关系能用qu平面上的曲线表征，即具有代数关系 f(u，q)=0则称该元件为电容元件，简称电容。,下一页,前一页,第 4-2 页,回本章目录,下一页,前一页,第 4-3 页,回本章目录,电容也分：时变和时不变的，线性的和非线性的。线性时不变电容的外特性(库伏特性)是qu平面上一条过原点的直线，且其斜率C不随时间变化，如图(a)所示。其表达式可写为：,q(t)=Cu(t),其中C就是电容元件的值，单位为：法拉(F)。对于线性时不变电容，C为正实常数。,2
3、、电容的VAR(或VCR),当电容两端的电压变化时，聚集在电容上的电荷也相应发生变化，这表明连接电容的导线上就有电荷移动，即有电流流过；若电容上电压不变化，电荷也不变化，即电流为零。这与电阻不同。,若电容上电压与电流参考方向关联，如图(b)，考虑到 i=dq/dt，q=C u(t)，有,称电容VAR的微分形式,4.1 电容元件,对电容伏安关系的微分形式从-到t进行积分，并设u(-)=0，可得,称电容VAR的积分形式,设t=t0为初始观察时刻，上式可改写为,称为电容电压在t0时刻的初始值(initial value),或初始状态(initial state)，它包含了在t0以前电流的“全部历史”
4、信息。一般取t0=0。,式中,下一页,前一页,第 4-4 页,若电容电压、电流的参考方向非关联，如右图所示。电容VAR表达式可改为,u与i非关联,返回本章目录,4.1 电容元件,当电容电压和电流为关联方向时，电容吸收的瞬时功率为：,3、电容的功率与储能,电容是储能元件，它不消耗能量。当 p(t)0时，说明电容是在吸收能量，处于充电状态；当 p(t)0时，说明电容是在释放能量，处于放电状态。释放的能量总也不会超过吸收的能量。电容不能产生能量，因此为无源元件。对上式从-到 t 进行积分，即得t 时刻电容上的储能为：,式中 u(-)表示电容未充电时刻的电压值，应有u(-)=0。于是，电容在时刻 t
5、的储能可简化为：,可见：电容在某一时刻 t 的储能仅取决于此时刻的电压，而与电流无关，且储能 0。,下一页,前一页,第 4-5 页,返回本章目录,4.1 电容元件,4、举例,下一页,前一页,第 4-6 页,返回本章目录,例1 如图(a)电路，电源电压uS(t)如图(b)；试求电容上电流i(t)、瞬时功率p(t)及在t时刻的储能wC(t)。,解：写出uS(t)的表达式为,根据电容VAR得,吸收能量,释放能量,4.1 电容元件,例2 某电容C=2F，其电流i波形如图所示。若u(0)=0，求电容电压u(t),t0计算t=2s时电容的储能w(2)。,下一页,前一页,第 4-7 页,返回本章目录,解：电
6、容电流的表达式为：,根据电容VAR得,4.1 电容元件,5、主要结论,下一页,前一页,第 4-8 页,返回本章目录,（1）电容的伏安关系是微积分关系，因此电容元件是动态元件。而电阻元件的伏安关系是代数关系，电阻是一个即时（瞬时）元件。（2）由电容VAR的微分形式可知：任意时刻，通过电容的电流与该时刻电压的变化率成正比。当电容电流 i为有限值时，其du/dt也为有限值，则电压u必定是连续函数，此时电容电压是不会跃变的。当电容电压为直流电压时，则电流 i=0，此时电容相当于开路，故电容有隔直流的作用。（3）由电容VAR的积分形式可知：在任意时刻t，电容电压u是此时刻以前的电流作用的结果，它“记载”
7、了以前电流的“全部历史”。即电容电压具有“记忆”电流的作用，故电容是一个记忆元件，而电阻是无记忆元件。（4）电容是一个储能元件，它从外部电路吸收的能量，以电场能量的形式储存于自身的电场中。电容C在某一时刻的储能只与该时刻t电容电压有关。,4.1 电容元件,下一页,前一页,第 4-9 页,返回本章目录,电感元件(inductor)是一种储存磁能的元件。它是实际电感线圈的理想化模型，其电路符号如图(a)所示。,将导线绕在骨架上就构成一个实际电感线圈（也称电感器），如图(b)。当电流i(t)通过线圈时，将产生磁通(t)，其中储存有磁场能量。与线圈交链的总磁通称为磁链(t)。若线圈密绕，且有N匝，则磁
8、链(t)=N(t)。,电感上磁链与电流的关系最能反映这种元件的储能。,1、电感的一般定义,一个二端元件，若在任一时刻t，其磁链(t)与电流i(t)之间的关系能用 i平面上的曲线表征，即具有代数关系 f(，i)=0则称该元件为电感元件，简称电感。,4.2 电感元件,下一页,前一页,第 4-10 页,返回本章目录,线性时不变电感的外特性(韦安特性)是i平面上一条过原点的直线，且其斜率L不随时间变化，如图(a)所示。其表达式可写为：,(t)=L i(t),其中L就是电感元件的值，单位为：亨利(H)。磁链的单位：韦伯(Wb)。对于线性时不变电感，L为正实常数。,2、电感的VAR(或VCR),电感中，当
9、电流变化时，磁链也发生变化，从而产生感应电压。在电流与电压参考方向关联时，若电压参考方向与磁通的方向符合右手法则，根据法拉第电磁感应定律，感应电压u(t)与磁链的变化率成正比，即：,对线性电感，由于(t)=L i(t)，故有,称电感VAR的微分形式,电感也分：时变和时不变的，线性的和非线性的。,4.2 电感元件,下一页,前一页,第 4-11 页,返回本章目录,称电感VAR的积分形式,设t=t0为初始观察时刻，上式可改写为,称为电感电流在t0时刻的初始值,或初始状态，它包含了在t0以前电压的“全部历史”信息。一般取t0=0。,式中,若电感电压、电流的参考方向非关联，如右图所示。电感VAR表达式可
10、改为,u与i非关联,对电感伏安关系的微分形式从-到t进行积分，并设i(-)=0，可得,4.2 电感元件,3、电感的功率与储能,下一页,前一页,第 4-12 页,返回本章目录,当电感电压和电流为关联方向时，电感吸收的瞬时功率为：,电感是储能元件，它不消耗能量。当 p(t)0时，说明电感是在吸收能量，处于充磁状态；当 p(t)0时，说明电感是在释放能量，处于放磁状态。释放的能量总也不会超过吸收的能量。电感不能产生能量，因此为无源元件。对上式从-到 t 进行积分，即得t 时刻电感上的储能为：,式中i(-)表示电感未充磁时刻的电流值，应有i(-)=0。于是，电感在时刻 t 的储能可简化为：,可见：电感
11、在某一时刻 t 的储能仅取决于此时刻的电流，而与电压无关，且储能 0。,4.2 电感元件,4、举例,下一页,前一页,第 4-13 页,返回本章目录,例1 如图(a)电路，已知电感电压u(t)，L=0.5H，i(0)=0；试求电感上电流i(t)及在t=1s时的储能wL(1)。,解：写出u(t)的表达式为,当0t0.5s时，,当t0.5s时，,4.2 电感元件,5、主要结论,下一页,前一页,第 4-14 页,返回本章目录,（1）电感元件是动态元件。（2）由电感VAR的微分形式可知：任意时刻，通过电感的电压与该时刻电流的变化率成正比。当电感电压 u为有限值时，其di/dt也为有限值，则电流i必定是连
12、续函数，此时电感电流是不会跃变的。当电感电流为直流电流时，则电压 u=0，即电感对直流相当于短路。（3）由电感VAR的积分形式可知：在任意时刻t，电感电流i是此时刻以前的电压作用的结果，它“记载”了以前电压的“全部历史”。即电感电流具有“记忆”电压的作用，故电感也是一个记忆元件。（4）电感是一个储能元件，它从外部电路吸收的能量，以磁场能量的形式储存于自身的磁场中。电感L在某一时刻的储能只与该时刻t电感电流有关。,4.2 电感元件,1、电容串联：,下一页,前一页,第 4-15 页,返回本章目录,4.3、电容与电感的串、并联等效,电容串联电流相同，根据电容VAR积分形式,由KVL，有 u=u1+u
13、2+un,分压公式,特例：两个电容串联，,下一页,前一页,第 4-16 页,返回本章目录,2、电容并联：,电容并联电压u相同，根据电容VAR微分形式,由KCL，有 i=i1+i2+in,Ceq=C1+C2+Cn,分流公式,4.3、电容与电感的串、并联等效,3、电感串联：,下一页,前一页,第 4-17 页,返回本章目录,电感串联电流相同，根据电感VAR微分形式,由KVL，有 u=u1+u2+un,Leq=L1+L2+Ln,分压公式,4.3、电容与电感的串、并联等效,4、电感并联：,下一页,前一页,第 4-18 页,返回本章目录,电感并联电压u相同，根据电容VAR积分形式,由KCL，有 i=i1+
14、i2+in,分流公式,特例：两个电感并联，,4.3、电容与电感的串、并联等效,5、电容电感串并联两点说明,（1）电感的串并联与电阻串并联形式相同，而电容的串并联与电导形式相同。（2）电感与电容也可以利用-Y等效，但注意：对电容用1/C代入。,下一页,前一页,第 4-19 页,返回本章目录,4.3、电容与电感的串、并联等效,下一页,前一页,第 4-20 页,回本章目录,4.4 耦合电感元件,一、耦合线圈,i1(t),11,21,22,12,i2(t),耦合电感(互感)是实际互感线圈的理想化模型。工作原理是单个电感的延伸。,图中两个靠近的线圈，线圈1有N1匝，线圈2有N2匝。,当线圈1中通电流 i
15、1时，在自身中激发磁通11，称自磁通；其中有一部分也通过N2 21，称为互磁通。,在线圈密绕的情况下，穿过各自线圈中每匝的磁通相同，故与两线圈交链的磁链有,11=N1 11=L1 i1 21=N2 21=M21 i111，L1称线圈1的自磁链和自感；21，M21称线圈1电流i1对线圈2的互磁链和互感。,同样，线圈2中通电流i2时，有22=N2 22=L2 i2，12=N1 12=M12 i2,下一页,前一页,第 4-21 页,回本章目录,工程上，为了描述两线圈的耦合松紧程度，将两线圈互磁链与自磁链之比的几何均值定义为耦合系数k，即,将前面的有关式子代入，得：,11=N1 11=L1 i1，21
16、=N2 21=M21 i1 22=N2 22=L2 i2，12=N1 12=M12 i2,由于21 11,12 22，故 0 k 1，M2 L1L2,当k=0时，M=0，两线圈互不影响，称无耦合；当k=1时，M2=L1L2，称为全耦合。,对于线性电路，可以证明 M12=M21=M，其单位与自感相同，为亨(H)。,4.4 耦合电感元件,下一页,前一页,第 4-22 页,回本章目录,如图所示两耦合线圈，都通电流后，其自磁通与互磁通方向一致，称为磁通相助。,二、耦合电感的伏安关系,各线圈中的总磁链包含自磁链和互磁链两部分。在磁通相助的情况下，两线圈的总磁链分别为 1=11+12=L1 i1+M i2
17、 2=22+21=L2 i2+M i1,设两线圈电压、电流参考方向关联，则根据电磁感应定律，有,u1(t),u2(t),4.4 耦合电感元件,下一页,前一页,第 4-23 页,回本章目录,若改变线圈2的绕向，如图所示。则自磁通与互磁通方向相反，称为磁通相消。,这时，两线圈的总磁链分别为 1=11-12=L1 i1-M i2 2=22-21=L2 i2-M i1,两线圈电压为,上分析表明：耦合电感上的电压等于自感电压与互感电压的代数和。在线圈电压、电流参考方向关联的条件下，自感电压取“+”；当磁通相助时，互感电压前取“+”；当磁通相消时，互感电压前取“-”。,4.4 耦合电感元件,下一页,前一页
18、,第 4-24 页,回本章目录,判断磁通相消还是相助，除与线圈上电流的方向有关外，还与两线圈的相对绕向有关。,实际中，耦合线圈密封，且电路图中不便画出。为此，人们规定一种称为同名端的标志。根据同名端和电流的参考方向就可判定磁通相助还是相消。,同名端的规定：当电流从两线圈各自的某端子同时流入(或同时流出)时，若两线圈产生的磁通相助，则称这两个端子是耦合电感的同名端，并标记号“”或“*”。,哪些是同名端？,若i1从a端流入，i2从c端流入，磁通相助；故a、c为同名端，用“”标出。电路模型如右图。,显然，b、d也是同名端。a、d为异名端，b、c也是异名端。,4.4 耦合电感元件,下一页,前一页,第
19、4-25 页,回本章目录,哪些是同名端？,若i1从a端流入，i2从c端流入，磁通相消；故a、c为异名端，而a、d为同名端，用“”标出。电路模型如右图。,显然，b、c也是同名端。b、d是异名端。,综上所述，在端口电压、电流均取关联参考方向的前提下，其VAR为：,式中，当两电流同时从同名端流入时，互感电压项前取“+”；否则，两电流同时从异名端同时流入时，互感电压项前取“-”。,4.4 耦合电感元件,下一页,前一页,第 4-26 页,回本章目录,例 写出下列互感的伏安关系：,图(a)关联，故有,解(1)首先判断端口的电压、电流是否关联。,(2)判断电流是否同时流入同名端。图(a)是。取“+”。,解(
20、1)首先判断端口的电压、电流是否关联。,L1上电压、电流关联；而L2上电压、电流非关联，先将其变为关联，如图中指示。,(2)电流同时流入异名端。故取“-”。,4.4 耦合电感元件,下一页,前一页,第 4-27 页,回本章目录,三、耦合电感的T形去耦等效电路,当两个耦合电感线圈有一端相连接时：,4.4 耦合电感元件,下一页,前一页,第 4-28 页,回本章目录,例 求ab端的等效电感。,4.4 耦合电感元件,下一页,前一页,第 4-29 页,回本章目录,一、理想变压器,变压器是一种利用磁耦合原理实现能量或信号传输的多端电路器件，有着广泛应用。常用实际变压器分空心变压器和铁心变压器两类。本节重点讨
21、论的理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互感元件的理想化抽象，可看成极限情况的互感。,理想变压器可看作是互感元件在满足3个理想条件产生的多端电路元件。全耦合，即k=1；自感L1、L2，且L1/L2为常数；无损耗。,工程上，满足这3个条件是不可能的。理论上，满足这3个条件的互感将发生质变。产生一种与互感有着本质区别的一种新元件理想变压器。,1、理想条件,4.5 变压器,下一页,前一页,第 4-30 页,回本章目录,由于全耦合，故 k=1,M2=L1L2，并且 21=11，12=22，,考虑到 11=N111=L1i1，21=N221=Mi1，22=N222=L2i2，12=N112=Mi2，
22、故有,由全耦合得到！,2、基本特性,4.5 变压器,下一页,前一页,第 4-31 页,回本章目录,（1）变压特性：,如图互感的VAR为,n=N1/N2称为匝比（或变比）,可见，电压与匝数成正比。与电流无关。注意：上式要求两电压“+”均在同名端。若处于异名端(如图)，则,4.5 变压器,下一页,前一页,第 4-32 页,回本章目录,（2）变流特性：,互感的初级线圈的VAR为,对上式从-到t积分，并设i1(-)=i2(-)=0，得,考虑L1，有,可见，电流与匝数成反比。与电压无关。注意：上式要求两电流同时流入同名端。若两电流同时流入异名端(如下图)，则,理想变压器上述给出的电压关系和电流关系统称为
23、理想变压器的伏安关系。它只与一个参数匝比n有关。其关系是代数方程，表明理想变压器是瞬时元件。,4.5 变压器,下一页,前一页,第 4-33 页,回本章目录,VAR为,VAR为,理想变压器的电路模型如下：,对图(a)电路，可得其瞬时功率为,p(t)=u1i1+u2i2=n u2(-1/n)i2+u2i2=0,该式表明：理想变压器既不消耗能量，也不储存能量，是一个无记忆即时元件。这一点与互感有着本质的不同。理想变压器本质是电压、电流的线性变换器。,注意电路符号,w(t)=0,4.5 变压器,下一页,前一页,第 4-34 页,回本章目录,（3）变阻特性：,如图理想变压器，其VAR为,若次级接负载电阻
24、RL，则由初级端口看的输入阻抗,由于RL=,理想变压器的阻抗变换作用只改变阻抗的大小，且与同名端无关。,4.5 变压器,下一页,前一页,第 4-35 页,回本章目录,自己可以证明一下。,两种等效关系：,4.5 变压器,下一页,前一页,第 4-36 页,回本章目录,若将两个线圈绕在高导磁率铁磁材料上，则可使两线圈的耦合系数k接近1，当工作频率不太高时，线圈的损耗可忽略。理想情况下，这种全耦合、无耗的耦合线圈称为全耦合变压器。与理想变压器相比，只有L1、L2为的条件不满足。,二、全耦合变压器,图中全耦合互感线圈，其VAR关系为，,前面已知，k=1时，,故,变压关系与理想变压器相同,4.5 变压器,
25、下一页,前一页,第 4-37 页,回本章目录,对式(1)从-到t积分，并设i1(-)=i2(-)=0，得,式中，,是由于存在初级自感L1而出现的，称为励磁电流。,是次级电流i2在初级的反映，它与i2之间满足理想变压器的变流关系。,据此，可得到全耦合变压器的电路模型，如图。,可见，它是由理想变压器在其初级并联电感L1构成的。L1常称为励磁电感。,4.5 变压器,下一页,前一页,第 4-38 页,回本章目录,三、实际铁心变压器模型,对于实际变压器，尽管采用导磁率较高的铁心（或磁心），耦合得很紧，但耦合系数总小于1，而且不可避免地有损耗。,初级自感L1=Lm1+LS1,初级漏电感,次级漏电感,初级铜耗,次级铜耗,铁心损耗电导,励磁电感,4.5 变压器,
