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1、第四部分 概率,第13章 随机事件及概率,1.随机事件:可能发生,也可能不发生的事件.例13.1 投一枚硬币事件A=正面朝上;事件B=正面朝下例13.2 投两枚硬币事件A=两枚均正面朝上;事件B=两枚均正面朝下;事件C=一枚正面朝上,另一枚正面朝下;事件D=至少一枚正面朝上,一、事件及概率,一、事件及概率,例13.3 十个产品(8个正品,2个次品),从中取3个A=三个都是正品;B=至少一个次品;C=三个都是次品;-不可能事件D=至少一个正品.-必然事件,一.、事件及概率,2.随机事件的概率例:抛硬币试验 Kerrich 抛硬币结果,一、事件及概率,历史上其他人的结果,结论:一枚公正的硬币,不管
2、以前的结果如何,下一次得到头像的机会总是50%.随着抛掷次数的增加,头像与期望数之间的差的绝对值可能会增加.但是,与抛掷次数相比,差可能逐渐减少.频率趋近 50%.,一、事件及概率,（1）定义：在一组条件下,重复n次试验,其中随机事件A发生次,当n增加时,称p为随机事件A发生的概率,记为P(A)=p.(2)性质：,二、古典概型,例13.4 盒中有5个球,其中3个白球,2个黑球,任选1个.求P(白球)=?解:因为5个球被取到的机会相等,所以,P(白球)=3/5.例13.5 同上.任取2个.求:P(两白)=?解:P(两白)=3/10.,二、古典概型,1.定义:随机实验 称为是古典概率模型，如果它满
3、足以下条件：（1）实验基本结果只有有限多种 A1,An;（2）当 ij时,Ai 和 Aj 是不会同时发生的；（3）各个Ai 地位是对称的，出现的可能性的大小 是相等的。注:其中,A1,An 称为基本事件；,二、古典概型,2.古典概型的概率计算：若事件B是由基本事件A1,A2,Am组成，则B的概率为 P(B)=m/n.例13.5(recall)试验的基本事件个数:10=C(5,2)事件两白所含的基本事件个数:3=C(3,2),二、古典概型,3.(补充复习)若干排列组合定理定理1:有M个空盒，N 个符号,每个空格里面放1个符号，(1)如符号允许重复，则一切可能有NM 种;(2)如不允许重复(N=M
4、)，则是 N*(N-1)*(N-M+1)=P(N,M)。例：一个骰子投掷2次，则所有可能结果为62=36。例：36取7的排列，P(36,7)=36*35*30=42072307200。,二、古典概型,定理2：从N 个符号中任取M个，只看符号不看次序，则有 C(N,M)=N!/(M!(N-M)!),推论：将 n 个不同的元素 划分为 k 组，指定 第一组有 个，第二组有 个，第 k 组 有，则一切可能的结果有,二、古典概型,定理3：袋中有两类元素总数有N个，第 I 类有N1个，第 II 类有N2个，从中取M个，则其中有M1个 I 类和 M2 个 II 类（M1+M2=M)的一切可能取法有 C(N
5、1,M1)*C(N2,M2)种例：52(N)张牌中，13(N1)张，其它39(N2)张，从中 取5(M)张，其中有3(M1)张 的一切可能有 C(13,3)*C(39,2)=211926 种。注：定理 3 的结果可以推广到更多种的场合：,二、古典概型,解：N=108;M=104,P=10-4=0.0001,例13.6：北京市电话号码为8位，任指一用户，其头4位号码 为6275的概率。,例13.7:北京体育彩票有36个号，特等奖为7个号相同；香港的六合彩为47个号选6个，头等奖为6个号全相同。问哪个概率大？,解：北京为 N=C(36,7),M=1,P=1/C(36,7)=1/8347680 香港
6、为 N=C(47,6),M=1,P=1/C(47,6)=1/10737600,解：N=C(36,7),M=C(7,6)*C(1,1)=7*1=7,P=M/N=8.386E-7,例13.8：A=11,24,25,26,27,33,34,B=16,从36个号中选7个数,能选中A 中的6个号及 B的概率大小（一等奖）。,二、古典概型,练习13.1 100件产品,其中5件次品.取50件.求:P(无次品)=?取50件.求:P(取出的50件中两件次品)=?解：,二、古典概型,练习13.2 一对骰子.点数和为4的机会多少?,解：机会是3/36.,三、事件的运算及概率的加法公式,1.事件的包含与相等(1)B
7、A,或A B(B包含A):如果 A 发生则 B 一定发生;例:投2枚硬币.A=正好1枚正面向上,B=至少1枚正面向上。(2)A=B(B等于A):如果 A B;B A。例:投2枚硬币.A=正好1枚正面向上,B=正好1枚正面向下。,三、事件的运算及概率的加法公式,2.事件的和与积AB,或A+B(A与B的和):A,B至少有一个发生AB,或AB(A与B的积):A发生且B发生例:投2枚硬币.A=正好1枚正面向上,B=正好2枚正面向上,C=至少1枚正面向上.C A,C B,A+B=C,AC=A,BC=B,AB=V(不可能事件).,三、事件的运算及概率的加法公式,3.对立事件及事件的差(1)(A 的对立事件
8、):非 A,即 A 不发生.例:投2枚硬币.A=至少1枚正面向上.=2枚都向下.注：(2)A-B或AB(A 与B 的差):A 发生,而B不发生.注:,三、事件的运算及概率的加法公式,4.事件的运算规律,三、事件的运算及概率的加法公式,三、事件的运算及概率的加法公式,Morgan公式,三、事件的运算及概率的加法公式,5.事件的互不相容(1)若 AB=V(不可能事件),则称A与B互不相容。例：A 正好1枚正面向上,B=正好2枚正面向上.例:从牌中抽 1 张,A=红心,B=黑桃。例：一对骰子,一黑,一白.A=白 1 与 B=黑 1 互不相容吗？(2)n个事件A1,A2,An互不相容:如果对于任意 i
9、j,都有 Ai 和 Aj不相容。,三、事件的运算及概率的加法公式,6.概率的加法公式(1)若AB=V,则P(A+B)=P(A)+P(B).注:,三、事件的运算及概率的加法公式,例13.9 一副牌,最上面一张牌.求:(1)第一张是红心的机会;(2)第一张是黑桃的机会;(3)第一张是强花色(红心 或 黑桃)的机会.例13.10 一对骰子.至少一个 1 点的机会=1/6+1/6=1/3,对吗?解:不对.应为 1/6+1/6-1/36=11/36.,三、事件的运算及概率的加法公式,例13.11 17世纪法国赌徒,采用两种赌法.第一种:一个骰子,掷4次,至少1次出现“1点”;第二种:一对骰子,掷24次,
10、至少1次出现“双1点”.请问这两种赌法是等可能的吗?解:第一种:P(至少一次1点)=1-P(无幺点)=1-(5/6)4=51.8%.第二种:P(至少一次双1点)=1-P(无双1点)=1-(35/36)24=49.1%,三、事件的运算及概率的加法公式,(2)任意事件A与B,都有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)例13.12 3个球,其中 1红,1黄,1白.每次取 1个,有放回,取 3次.求:P(无红 或 无黄)=?解:令G=无红,H=无黄.则 G+H=无红 或 无 黄,GH=无红 且 无黄.P(G)=(2/3)3,P(H)=(2/3)3,P(GH)=(1/3)3.则P(G+H)=P(G
11、)+P(H)P(GH)=(8+8-1)/27=15/27,四、条件概率,乘法公式及独立性,例 一副牌（52张）洗过后，最上面的两张牌面朝下地放在桌上。如果第二张牌是红心Q,你赢1美元。（1）你赢美元的机会是多少？（2）你翻开第一张牌，这张牌是梅花7。现在你赢的机会是多少？解:(1)1/52;(2)1/51.,四、条件概率,乘法公式及独立性,1.条件概率:(1)定义:设P(A)0.在A发生的条件下,B发生的概率,记为 P(B|A).例13.13 16个球,其中 6个玻璃,10个木质.6个玻璃:2个红,4个蓝;10个木质:3个红,7个蓝.(1)任取 1个,如果已知取到的球是蓝的,那么该球是玻璃球的
12、概率是多少?(2)任取 1个,如果已知取到的球是玻璃的,那么该球是蓝球的概率是多少?,四、条件概率,乘法公式及独立性,列联表,解:令A=任取 1个该球是蓝的;B=该球是玻璃的P(A)=9/16,P(B)=6/16P(B|A)=4/9P(A|B)=4/6,四、条件概率,乘法公式及独立性,(2)条件概率的性质P(A1+A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)-P(A1A2|B)若A1A2=V,则 P(A1+A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)若任意 AiAj=V,则P(Ai+An|B)=P(Ai|B)+P(An|B),四、条件概率,乘法公式及独立性,2.乘法公式经验公式:P(B|A)=P(
13、AB)/P(A)乘法公式:P(AB)=P(A)P(B|A)例 盒中3张票:红,白,蓝.随机,不放回,取两张.求:第一张红,且第二张白的概率.例 抛硬币两次.如果第二次为头像,你赢1美元.(a)假如第一次抛得头像,你赢1美元的概率?(b)假如第一次抛得背面,你赢1美元的概率?,四、条件概率,乘法公式及独立性,注:乘法公式的推广P(A1A2 An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1 A2 An-1)例13.14 甲乙两地有电话线通往某处.甲地有10条线路,在T时间内平均有100人打电话;乙地也有10条线路,在T时间内平均有50位本地人打电话.在甲地打不通的人中有1/5的
14、人可能转到乙地去打.试问,任指一在甲地打电话的人,他在甲地会打不通且到乙地也打不通电话的概率是多大?,四、条件概率,乘法公式及独立性,解:设 A=在甲地打不通,B=由甲地转往,C=在乙地打不通,P(ABC)=?,P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB),P(A)=1-10/100=0.9P(B|A)=0.2P(C|AB)=1-10/68=58/68P(ABC)=0.90.2(58/68)=0.1535,四、条件概率,乘法公式及独立性,例13.14 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为 2、1、3，试
15、求市场上该品牌产品的次品率。,B,3.全概公式定理(全概公式)若A1，,An满足:,即A1,A2,An为样本空间的一个划分.那么,对于任意事件B都有:,四、条件概率,乘法公式及独立性,A1,A2,An,B,用Venn图表示全概公式,四、条件概率,乘法公式及独立性,例13.15 有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个白球这六个球手感上不可区别今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？,四、条件概率,乘法公式及独立性,解：设A1=从甲袋放入乙袋的是白球；A2=从甲袋放入乙袋的是红球；B=从乙袋中任取一球是红球；,思考：上例中，若已知取到一
16、个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？,四、条件概率,乘法公式及独立性,四、条件概率,乘法公式及独立性,练习13.3 商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？,解:设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.B0,B1,B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品,已知:P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1,P(A|B0)=1,P(A|B1)=C(19,4)/C(20,4)=4/5,P(A|B1)=C(18,4)/C(20
17、,4)=12/19,P(A)=P(A|B0)P(B0)+P(A|B0)P(B0)+P(A|B0)P(B0)2.2842P(B1|A)=P(B1A)/P(A)0.0848,四、条件概率,乘法公式及独立性,4.独立性 两事件是独立的:如果给定第一个事件,无论它的结果是什么,第二件事件的概率都一样.(1)定义:事件A与B独立(A B):若P(AB)=P(A)P(B).注:当P(A)0,P(AB)=P(A)P(B)P(B|A)=P(B),四、条件概率,乘法公式及独立性,(2)定理 以下四件事等价：(a)事件A、B相互独立；(b)事件A、B相互独立；(c)事件A、B相互独立；(d)事件A、B相互独立。,(3)推广:A、B、C满足：A B,A C,B C,(i)则称事件A、B、C两两独立；若在此基础上还满足：P(ABC)P(A)P(B)P(C),(ii)则称事件A、B、C相互独立。,四、条件概率,乘法公式及独立性,思考题:(i)与(ii)等价吗?如果不,请给出例子.,
