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1、四、概率的公理化定义,例3 某城市共发行A、B、C三种报纸.调查表明,居民家庭中订购C报的占30%,同时订购A、B两报，A、C两报，B、C两报的分别各占10%，8%，5%，三种报纸都订的占3%.今在该城市中任找一户,问(1)该户只订A和B两种报纸的概率是多少?(2)该户只订C报的概率是多少?,第三节 条件概率与全概率公式,条件概率与乘法公式全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式小结,在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.,一、条件概率与乘法公式,如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B).,一般地 P(A|B)P(A),P(A)=1/6，,
2、例如，掷一颗均匀骰子，A=掷出2点，,B=掷出偶数点，,P(A|B)=？,已知事件B发生，此时试验所有可能 结果构成的集合就是B，,P(A|B)=1/3.,B中共有3个元素,它们的出现是等 可能的,其中只有1个在集A中.,容易看到,P(A|B),于是,例1 一批产品100件,70件正品,30件次品,甲厂生产40件,乙厂生产30件,甲厂生产20件,乙厂生产10件,从中任取1件,记A=“取到正品”,B=“取到甲厂产品”,试计算P(A),P(B),P(AB),P(B|A),P(A|B).,解,设A、B是两个事件，则称,1.条件概率的定义,为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.,为在事件A发生的条
3、件下,事件B的条件概率.,2.条件概率的性质(自行验证),条件概率P(A|B)与积事件概率P(AB)的区别和联系,联系:事件A,B都发生了.区别:(1)条件概率P(A|B)是在实验E的条件下增加条件B发生后,求此时事件A发生的概率.而积事件P(AB)是在实验E的条件下AB同时发生的概率。(2)样本空间不同,在P(A|B)中样本空间是缩减样本空间;而P(AB)的样本空间还是.,条件概率的计算方法,由定义，计算P(B|A).在事件A 发生的条件下将原样本空间 缩 减为事件A所包含的样本点的集合,然后在缩减的样本空间中计算事件B发生的概率,从而求得P(B|A).,例2 设某种动物由出生算起活到20年
4、以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？,解 设A=能活20年以上，B=能活25年以上,依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.4,所求为 P(B|A).,思考：现年20岁的这种动物，它不能活25年 以上的概率呢？,例2.100件产品中有5件次品,现从中接连 任取两件而不放回,求在第一次取得正品的 条件下,第二次取得次品的概率.,由条件概率的定义：,即 若P(B)0,则 P(AB)=P(B)P(A|B)(1),若已知P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).,即 若P(A)0,则 P(AB)=P(A)P(B|A)(2),(1
5、)和(2)式都称为乘法公式,利用它们可计算两个事件同时发生的概率,4.乘法公式,一批产品共有90件产品，其中有10件次品，其余为正品.现依次进行不放回抽取三次，求 第三次才取到正品的概率.,乘法公式应用举例,某人忘记电话号码最后一位数字，因而任意地按最后一个数试求：,（1）不超过4次能打通电话的概率,（2）若已知最后一位数字是偶数则不超过3次能打通电话的概率是多少？,乘法公式应用举例,袋内有 n 个球(n1个白球，1个红球)，n 个人依次从袋中各随机地取一球，并且每人取出一球后 不再放回袋中，试求第 k 人取得红球的概率.,乘法公式应用举例,例 五个阄,其中两个阄内写着“有”字,三个阄内不写字
6、,五人依次抓取,问各人抓到“有”字阄的概率是否相同?,解,则有,抓阄是否与次序有关?,依此类推,故抓阄与次序无关.,例4.猎人在距离100米处射击一动物,击中的概率为0.6,如果第一次未击中,则进行第二次射击.但由于动物逃跑而使距离变为150米;如果第二次又没击中,则进行第三次射击,这时距离变为200米.假定击中的概率与距离成反比,求猎人最多射击三次的情况下击中动物的概率.,小结,条件概率的概念概率的乘法公式要求：在计算概率时经常使用，需要牢固掌握！,有三个箱子,分别编号为1,2,3；1号箱装有1个红球4个白球,2号箱装有2红3白球,3号箱装有3 红球.某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,
7、求取得红球的概率.,解 记 Ai=球取自i号箱,i=1,2,3;B=取得红球,B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，,其中 A1、A2、A3两两互斥,看一个例子:,二、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式,将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式.,对求和中的每一项运用乘法公式得,P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B),代入数据计算得：P(B)=8/15,运用加法公式得到,即 B=A1B+A2B+A3B，且 A1B、A2B、A3B 两两互斥,1.样本空间的划分,2.全概率公式,运用全概率公式的关键在于找出样本空间一个 恰当的划分.,某一事件B
8、的发生有各种可能的原因，如果B是由原因Ai(i=1,2,n)所引起，则B发生的概率是,每一原因都可能导致B发生，故B发 生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式.,P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai),全概率公式.,我们还可以从另一个角度去理解,由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系.,诸Ai是原因B是结果,全概率公式的使用要点,1.如果所考虑问题的试验分两步,第一步试验结果可确定为样本空间的一个划分,求与第二步试验结果有关的事件的概率,此时可用全概率公式
9、解决.2.用全概率公式的关键是确定样本空间的一个划分,这可以从第一步试验的结果确定.,例.有朋自远方来，他坐火车、坐船、坐汽车、坐飞机来的概率分别是0.3，0.2，0.1，0.4.若坐火车来，迟到的概率是0.25；坐船来，迟到的概率是0.3；坐汽车来，迟到的概率是0.1；坐飞机来，则不会迟到。问此人迟到的概率有多大？,例6：某保险公司认为，人可以分为两类，第一类是容易出事故的，另一类，则是比较谨慎，保险公司的统计数字表明，一个容易出事故的人在一年内出一次事故的概率为0.04，而对于比较谨慎的人这个概率为0.02，如果第一类人占总人数的30%，那么一客户在购买保险单后一年内出一次事故的概率为多少
10、？,例7 甲箱中有5个正品3个次品,乙箱中有4个正品3个次品,从甲箱中任取3个产品放入乙箱,然后从乙箱中任取一个产品,求这个产品是正品的概率.,例8.某间房门上锁的概率为0.5,这个门上的钥匙是架子上的12把钥匙中的一把,有人在架子上任意取2把钥匙去开门.求他能打开门的概率.,例9一商店出售的是某公司三个分厂生产的同型号空调器，而这三个分厂的空调器比例为3:1:2，它们的不合格品率分别,现在某顾客从这批空调器中任意选购一台,试求：（1）顾客购到不合格空调器的概率;,（2）若已知顾客购到不合格的空调器，,试问这台空调器是哪一个分厂生产的可能性较大？,该球取自哪号箱的可能性最大?,这一类问题是“已
11、知结果求原因”.在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小.,某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.,或者问:,看一个例子:,3.贝叶斯公式,接下来我们介绍为解决这类问题而引出的,贝叶斯公式,有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.,1,1红4白,某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率.,记 Ai=球取自i号箱,i=1,2,3;B=取得红球,求P(A1|B)
12、,运用全概率公式计算P(B),将这里得到的公式一般化，就得到,贝叶斯公式,该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.,贝叶斯公式在实际中有很多应用.,它可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生的最可能原因.,例 某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?,则 表示“抽查的人不患癌症”.,已知 P(C)=0.005,P()=0.995,P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04,求解如下:
13、,设 C=抽查的人患有癌症，A=试验结果是阳性，,求 P(C|A).,现在来分析一下结果的意义.,由贝叶斯公式，可得,代入数据计算得 P(CA)=0.1066,2.检出阳性是否一定患有癌症?,1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？,商店出售一批收音机共10台，其中有3件次品，其余为正品.某顾客去选购时，商店已售出2台，该顾客从余下的8台中任选购一台试求：,（1）该顾客购得正品收音机的概率；,（2）若已知顾客购到正品收音机，则已售出的两台都是次品的概率是多少？,根据对以往数据分析,结果表明:当机器调整良好时,产品的合格品率为90%;而当机器未调整良好时,合格品率仅为30%.通常,每天早
14、上机器开动时,机器处于调整良好状态的概率为75%.若某天早上机器生产的第一件产品是合格品,则这天机器处于调整良好状态的概率是多少?,例9 已知男子中有5%是色盲患者，女子有0.25%,是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地,挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率,是多少？,例.已知玻璃杯成箱出售，每箱20个，假设各箱含有0，1，2个残次品的概率相应为0.8，0.1，0.1.一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时售货员随意取一箱，而顾客开箱随机地查看4个，若无残次品，则买下该玻璃杯，否则退货。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率。,例10 在无线电通信中接连不断地发送信号0和1，,假设其中0占60%，1占40%；由于存在干扰，发,送信号0时接收信号可能是0，1和x（模糊信号），,概率相应为0.7，0.1和0.2；发送信号1时接收信号,也可能是0，1和x（模糊信号），概率相应为0.05，,0.85和0.1。问接收到模糊信号x时译成哪个信号为,好？,例11.某地区有61%的人抽烟,有24%的人不抽烟,有15%的人曾经抽过烟.已知以上三种情况死于肺癌的概率依次为0.5、0.1、0.2.求一个死于肺癌的病人,他是不抽烟的概率是多少?,
