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1、第9讲 模拟退火算法等,1.局部搜索方法2.模拟退火算法,邻域的概念,邻域，简单的说就是一个点附近的其他点的集合。在距离空间，邻域就是以某一点为中心的圆。组合优化问题的定义：设D是问题的定义域，若存在一个映射N，使得：则称N(S)为S的邻域。,例：旅行商问题,用一个城市的序列表示一个可能的解。通过交换两个城市的位置获取S的邻居 例：简单交换方法 设S=(x1,x2,xi-1,xi,xi+1,xj-1,xj,xj+1,xn)则通过交换xi和xj两个城市的位置可以得到S的一个邻居：S=(x1,x2,xi-1,xj,xi+1,xj-1,xi,xj+1,xn),x1,x2,xn,xj+1,xj,xj-
2、1,xi-1,xi,xi+1,x1,x2,xn,xj+1,xj,xj-1,xi-1,xi,xi+1,例：逆序交换方法 设xi、xj是选取的两个城市，所谓的逆序交换方式是指，通过逆转xi、xj两个城市之间的城市次序来得到S的邻居。设：S=(x1,x2,xi-1,xi,xi+1,xj-1,xj,xj+1,xn)则：S=(x1,x2,xi-1,xi,xj-1,x j-2,xi+1,xj,xj+1,xn),x1,x2,xn,xj+1,xj,xj-1,xi-1,xi,xi+1,x1,x2,xn,xj+1,xj,xj-1,xi-1,xi,xi+1,1.局部搜索算法,基本思想：在搜索过程中，始终向着离目标最
3、接近的方向搜索。目标可以是最大值，也可以是最小值。在后面的介绍中，如果没有特殊说明，均假定是最小值。,局部搜索算法（Local Search）1，随机的选择一个初始的可能解x0D，xb=x0，P=N(xb)；2，如果不满足结束条件，则3，Begin4，选择P的一个子集P，xn为P中的最优解5，如果f(xn)f(xb)，则xb xn，P=N(xb)，转2；f(x)为指标函数。6，否则P=P P，转2。7，End8，输出计算结果9，结束,例：5城市旅行商问题,A,B,C,D,E,7,13,6,10,7,10,10,9,6,5,设初始的可能解：x0=(a,b,c,d,e)f(xb)=f(x0)=38
4、 通过交换两个城市获得领域P=(a,c,b,d,e),(a,d,c,b,e),(a,e,c,d,b),(a,b,d,c,e),(a,b,e,d,c),(a,b,c,e,d)设每次随机从P中选择一个邻居。,第一次循环,从P中选择一个元素，假设xn=(a,c,b,d,e),f(xn)=42,f(xn)f(xb),P=P xn=(a,d,c,b,e),(a,e,c,d,b),(a,b,d,c,e),(a,b,e,d,c),(a,b,c,e,d),第二次循环,从P中选择一个元素，假设xn=(a,d,c,b,e),f(xn)=45,f(xn)f(xb),P=P xn=(a,e,c,d,b),(a,b,d
5、,c,e),(a,b,e,d,c),(a,b,c,e,d),第三次循环,从P中选择一个元素，假设xn=(a,e,c,d,b),f(xn)=44,f(xn)f(xb),P=P xn=(a,b,d,c,e),(a,b,e,d,c),(a,b,c,e,d),第四次循环,从P中选择一个元素，假设xn=(a,b,d,c,e),f(xn)=44,f(xn)f(xb),P=P xn=(a,b,e,d,c),(a,b,c,e,d),第五次循环,从P中选择一个元素，假设xn=(a,b,e,d,c),f(xn)=34,f(xn)f(xb),xb=(a,b,e,d,c),P=(a,e,b,d,c),(a,d,e,b
6、,c),(a,c,e,d,b),(a,b,d,e,c),(a,b,c,d,e),(a,b,e,c,d),第六次循环,从P中选择一个元素，假设xn=(a,e,b,d,c),f(xn)=44,f(xn)f(xb),P=P xn=(a,d,e,b,c),(a,c,e,d,b),(a,b,d,e,c),(a,b,c,d,e),(a,b,e,c,d),第七次循环,从P中选择一个元素，假设xn=(a,d,e,b,c),f(xn)=39,f(xn)f(xb),P=P xn=(a,c,e,d,b),(a,b,d,e,c),(a,b,c,d,e),(a,b,e,c,d),第八次循环,从P中选择一个元素，假设xn
7、=(a,c,e,d,b),f(xn)=38,f(xn)f(xb),P=P xn=(a,b,d,e,c),(a,b,c,d,e),(a,b,e,c,d),第九次循环,从P中选择一个元素，假设xn=(a,b,d,e,c),f(xn)=38,f(xn)f(xb),P=P xn=(a,b,c,d,e),(a,b,e,c,d),第十次循环,从P中选择一个元素，假设xn=(a,b,c,d,e),f(xn)=38,f(xn)f(xb),P=P xn=(a,b,e,c,d),第十一次循环,从P中选择一个元素，假设xn=(a,b,e,c,d),f(xn)=41,f(xn)f(xb),P=P xn=P等于空，算法
8、结束，得到结果为xb=(a,b,e,d,c),f(xb)=34。,存在的问题,局部最优问题,解决方法,每次并不一定选择邻域内最优的点，而是依据一定的概率，从邻域内选择一个点，指标函数优的点，被选中的概率比较大，而指标函数差的点，被选中的概率比较小。,选择概率的计算,设求最大值：,选择概率的计算,当求最小值时：,局部搜索算法1（Local Search 1）1，随机的选择一个初始的可能解x0D，xb=x0，P=N(xb)2，如果不满足结束条件，则3，Begin4，对于所有的xP计算指标函数f(x)，并按照式（3）或者式（4）计算每一个点x的概率5，依计算的概率值，从P中随机选择一个点 xn，xb
9、 xn，P=N(xb)，转26，End7，输出计算结果8，结束,存在的问题,步长问题,解决方法,变步长,局部搜索算法2（Local Search 2）1，随机的选择一个初始的可能解x0D，xb=x0，确定一个初始步长计算P=N(xb)2，如果不满足结束条件，则3，Begin4，选择P的一个子集P，xn为P中的最优解5，如果f(xn)f(xb)，则xb xn6,按照某种策略改变步长，计算P=N(xb)，转27，否则P=P P，转2。8，End9，输出计算结果10，结束,存在问题,起始点问题,A,B,全局最大值,局部最大值,解决方法,随机的生成一些初始点，从每个初始点出发进行搜索，找到各自的最优解
10、。再从这些最优解中选择一个最好的结果作为最终的结果。,局部搜索算法3（Local Search 3）1，k=02，随机的选择一个初始的可能解x0D，xb=x0，P=N(xb)3，如果不满足结束条件，则4，Begin5，选择P的一个子集P，xn为P中的最优解6，如果f(xn)f(xb)，则xb xn，P=N(xb)，转37，否则P=P P，转3。8，End9，k=k+110，如果k达到了指定的次数，则从k个结果中选 择一个最好的结果输出，否则转（2）11，输出结果12，结束,多种方法的集成,以上几种解决方法可以结合在一起使用，比如第一、第二种方法的结合，就产生了我们将在后面介绍的模拟退火方法。,
11、2.模拟退火算法,是局部搜索算法的一种扩展最早由Metropolis在1953年提出，Kirkpatrick等人在1983年成功地将模拟退火算法用于求解组合优化问题。基本思想是借用金属的退化过程改进局部搜索算法,固体退火过程,溶解过程：随着温度的不断上升，粒子逐渐脱离开其平衡位置，变得越来越自由，直到达到固体的溶解温度，粒子排列从原来的有序状态变为完全的无序状态。退火过程：随着温度的下降，粒子的热运动逐渐减弱，粒子逐渐停留在不同的状态，其排列也从无序向有序方向发展，直至到温度很低时，粒子重新以一定的结构排列。,粒子不同的排列结构，对应着不同的能量水平。如果退火过程是缓慢进行的，也就是说，温度的
12、下降如果非常缓慢的话，使得在每个温度下，粒子的排列都达到一种平衡态，则当温度趋于0（绝对温度）时，系统的能量将趋于最小值。,如果以粒子的排列或者相应的能量来表达固体所处的状态，在温度T下，固体所处的状态具有一定的随机性。一方面，物理系统倾向于能量较低的状态，另一方面，热运动又妨碍了系统准确落入低能状态。,Metropolis准则,从状态i转换为状态j的准则：如果E(j)E(i)，则状态转换被接受；如果E(j)E(i)，则状态转移被接受的概率为：其中E(i)、E(j)分别表示在状态i、j下的能量，T是温度，K0是波尔兹曼常数。,在给定的温度T下，当进行足够多次的状态转换后，系统将达到热平衡。此时
13、系统处于某个状态i的概率由波尔兹曼（Boltzmann）分布给出：（6）其中 为归一化因子，S是所有可能状态的集合。,考察一下式（6）随温度T的变化情况：同一温度下，两个能量不同的状态高温下的情况低温下的情况 当温度下降时的情况,在给定的温度T下，设有i、j两个状态，E(i)E(j)：即在任何温度T下，系统处于能量低的状态的概率大于处于能量高的状态的概率。,由于E(i)E(j)，所以该项小于1,当温度趋于无穷时：其中|S|表示系统所有可能的状态数。当温度很高时，系统处于各个状态的概率基本相等，接近于平均值，与所处状态的能量几乎无关。,当温度趋于0时：设Sm表示系统最小能量状态的集合，Em是系统
14、的最小能量。上式分子、分母同乘以,当温度趋近于0时，系统以等概率趋近于几个能量最小的状态之一，而系统处于其他状态的概率为0。以概率1达到能量最小的状态。,当温度上升或下降时：,系统落入低能量状态的概率随着温度的下降单调上升，而系统落入高能量状态的概率随着温度的下降单调下降。,在高温下，系统基本处于无序的状态，基本以等概率落入各个状态。在给定的温度下，系统落入低能量状态的概率大于系统落入高能量状态的概率，这样在同一温度下，如果系统交换的足够充分，则系统会趋向于落入较低能量的状态。随着温度的缓慢下降，系统落入低能量状态的概率逐步增加，而落入高能量状态的概率逐步减少，使得系统各状态能量的期望值随温度
15、的下降单调下降，而只有那些能量小于期望值的状态，其概率才随温度下降增加，其他状态均随温度下降而下降。因此，随着能量期望值的逐步下降，能量低于期望值的状态逐步减少，当温度趋于0时，只剩下那些具有最小能量的状态，系统处于其他状态的概率趋近于0。因此最终系统将以概率1处于具有最小能量的一个状态。,达到最小能量状态的三个条件,（1）初始温度必须足够高；（2）在每个温度下，状态的交换必须足够充分；（3）温度T的下降必须足够缓慢。,组合优化问题与退火过程的类比,1，随机选择一个解i，k=0，t0=Tmax（初始温度），计算指标函数f(i)。2，如果满足结束条件，则转（15）。3，Begin4，如果在该温度
16、内达到了平衡条件，则转（13）。5，Begin6，从i的邻域N(i)中随机选择一个解j。7，计算指标函数f(j)。8，如果f(j)j)Random(0,1)，则i=j，f(i)=f(j)。11，转（4）12，End13，tk+1=Drop(tk)，k=k+1。14，End15，输出结果。16，结束。,算法中的问题,初始温度的选取内循环的结束条件，即每个温度状态交换何时结束外循环的结束条件，即温度下降到什么时候结束温度的下降方法,在模拟退火过程中，给定温度下状态（解）的转移可以看作是一个马尔可夫链。对于任意两个状态i和j，我们用Pt(i,j)表示温度t下，从状态i转移到状态j的一步转移概率，则有
17、：其中：Gt(i,j)是产生概率，表示从状态i产生状态j的概率。At(i,j)是接受概率，表示在状态i产生状态j后，接受状态j的概率。,定理7.1,满足条件的Gt(i,j)、At(i,j)举例：,说明：条件2的后半部分除外，该条件与具体的问题有关。,定理7.2：在定理1的条件下，如果对于任意两个状态 有：则有：,定理7.3（放宽了定理1的条件）Gt(i,j)、At(i,j)满足定理1中除条件（2）以外的所有其他条件，并且：1，对于任意两个状态i、j，它们相互为邻居或者相互都不为邻居；2，对于任意i，Gt(i,j)满足：3，状态空间S对于邻域是连通的；则与模拟退火算法相伴的时齐马尔可夫链存在平稳
18、分布，其分布概率为：,算法的实现,（1）初始温度t0；（2）温度t的衰减函数，即温度的下降 方法；（3）算法的终止准则，用终止温度tf或 者终止条件给出；（4）每个温度t下的马尔可夫链长度Lk。,起始温度的选取（1）,一个合适的初始温度，应保证平稳分布中每一个状态的概率基本相等，也就是接受概率P0近似等于1。在Metropolis准则下，即要求：,如果我们给定一个比较大的接受概率P0，则：,其中，可以有以下估计方式：,起始温度的选取（2）,假设在t0下随机的生成一个状态序列，分别用m1和m2表示指标函数下降的状态数和指标函数上升的状态数，表示状态增加的平均值。则m2个状态中，被接受的个数为：,
19、所以平均接受率为：求解有：,起始温度的选取（3）,模拟固体的升温过程：（1）给定一个希望的初始接受概率P0，给定一个较低的初始温度t0，比如t01；（2）随机的产生一个状态序列，并计算该序列的接收率：如果接收率大于给定的初始接受概率P0，则转（4）；（3）提高温度，更新t0，转（2）；（4）结束。,温度的下降方法（1）,等比例下降,温度的下降方法（2）,等值下降,温度的下降方法（3）,由定理1我们知道，在一定的条件下，与模拟退火算法相伴的时齐马尔可夫链存在平稳分布。如果温度每次下降的幅度比较小的话，则相邻温度下的平稳分布应该变化不大，也就是说，对于任意一个状态i，相邻温度下的平稳分布应满足：,
20、一个充分条件是：,两边取对数，并整理得：用 代替 可得温度的衰减函数：,每一温度下的停止准则（1）,固定长度方法 在每一个温度下，都使用相同的Lk。Lk的选取与具体的问题相关，一般与邻域的大小直接关联，通常选择为问题规模n的一个多项式函数。,每一温度下的停止准则（2）,基于接受率的停止准则：规定一个接受次数R，在某一温度下，只有被接受的状态数达到R时，在该温度下的迭代才停止，转入下一个温度。规定一个状态接受率R，R等于该温度下接受的状态数除以总生成的总状态数。如果接受率达到了R，则停止该温度下的迭代，转入下一个温度。在迭代的过程中，若干相邻的状态称为“一代”，如果相邻两代的解的指标函数差值小于
21、规定的值的话，则停止该温度下的迭代。,算法的终止原则（1）,零度法 设定一个正常数e，当时tke时，算法结束。,算法的终止原则（2）,循环总控制法 给定一个指定的温度下降次数K，当温度的迭代次数达到K次时，则算法停止。,算法的终止原则（3）,无变化控制法 如果在相邻的n个温度中，得到的解的指标函数值无任何变化，则说明算法已经收敛。,算法的终止原则（4）,接受概率控制法 给定一个小的概率值p，如果在当前温度下除了局部最优状态外，其他状态的接受概率小于p值，则算法结束。,算法的终止原则（5）,领域平均概率控制法 设大小为N的一个领域，在邻域内一个状态被接受的平均概率为1/N。设f0、f1为该领域中
22、的局部最优值和局部次最优值。则次最优解是除了局部最优解以外接受概率最大的，其接受概率为：,如果该概率值小于平均值1/N时，即：可以认为从局部最优解跳出的可能性已经很小了，因此可以终止算法。此时的终止温度tf为：,算法的终止原则（6）,相对误差估计法 设温度t时指标函数的期望值为：则当终止温度1时，由泰勒展开近似有：,由于：所以可用下式估计当前解与最优解之间的误差：,或者使用相对于 的相对误差：,实际计算时：其中：,应用举例旅行商问题,解的表示：n个城市的任何一种排列均是问题的一个可能解，表示为:指标函数(能量函数)其中,新解的产生 采用第一节介绍的两个城市间的逆序交换方式得到问题的一个新解。设
23、当前解是，被选中要逆序交换的城市是第u和第v个到访的城市，uv。则逆序排列u和v之间的城市，得到问题的新解为：则两个路径的距离差为：,新解的接受准则,初始参数的确定康立山等人的方法：初始温度t0=280；在每个温度下采用固定的迭代次数，Lk=100n，n为城市数；温度的衰减系数0.92，即tk+1=0.92tk；算法的停止准则为：当相邻两个温度得到的解无任何变化时算法停止。,Nirwan Ansari和Edwin Hou的方法：初始温度t0是这样确定的：从t0=1出发，并以t0=1.05t0对t0进行更新，直到接受概率大于等于0.9时为止，此时得到的温度为初始温度；在每个温度下采用固定的迭代次数，Lk=10n，n为城市数；温度的衰减系数0.95，即tk+1=0.95tk；,10城市旅行商问题求解结果,20城市旅行商问题求解结果,小结,局部搜索模拟退火算法,
