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1、概率论与数理统计第4讲,本文件可从网址http:/上下载(单击ppt讲义后选择概率论讲义子目录),概率的加法法则,例 100个产品中有60个一等品,30个二等品,10个废品.规定一,二等品都为合格品,考虑这批产品的合格率与一,二等品之间的关系,解 设事件A,B分别表示产品为一,二等品.则A与B不相容,AB=,A+B为合格品,则,例 200个产品中有6个废品,任取3个,求最多只有一个废品的概率P(B),解 设事件A0,A1分别表示3个废品中有0个和1个废品,则B=A0+A1,且A0与A1与互不相容.则有利于B的基本事件数等于有利于A0与A1的基本事件数m1与m2之和,因此,例 对光顾一个超市的顾
2、客的购买情况进行统计,总共观察了1000名顾客,其中花了400元以上的有50名,花的钱在100元到400元的有500名,试估计花钱超过100元的概率,解 假设A=花钱超过100元,B=花钱在100元到400元之间,C=花钱超过400元,利用频率来估计概率,则B,C互不相容,A=B+C,加法法则,两个互不相容(互斥)事件之和的概率等于它们的概率的和.即当AB=时,P(A+B)=P(A)+P(B)实际上,只要P(AB)=0,上式就成立.,加法法则的一个形象解释:将一个边长为1的方形看作是整个样本空间S,而其中的每一区域代表一事件,这些区域的面积代表此事件发生的概率,则可以看出加法法则,如下图所示:
3、,如果区域A与区域B不重合,则它们的总的面积等于各个区域的面积之和,如果n个事件A1,A2,An互不相容,则 P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An),这个性质称为概率的有限可加性,但在建立概率公理化体系时需要规定概率应具有完全可加性(又称可列可加性),即如果可列个事件A1,A2,两两互不相容,则有,S,A1,A2,A3,A4,若n个事件A1,A2,An构成一完备事件组,则它们的概率的和为1,即,P(A1)+P(A2)+P(An)=1特别地,两个对立事件概率之和为1,即,示意图,S,S,A1,A2,A3,A4,A,A,经常有一些概率论的较难的题,直接计算某事件的概率困难,因此
4、考虑先求此事件的逆事件的概率,例 掷3次硬币,求至少一次正面朝上的概率.,解:假设A=至少一次正面,则 A=全是反面,只包含一个基本事件.基本事件总数为23=8,因此,如果BA,则P(B-A)=P(B)-P(A),这是因为,如果BA,则必有B=A+(B-A),而A与B-A互不相容,因此P(B)=P(A)+P(B-A),B,A,对任意两个事件A,B,有,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)这被称为广义加法法则,A,B,这是因为A+B=A+(B-AB),而A与B-AB互斥,因此P(A+B)=P(A)+P(B-AB),而因为BAB则P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),A,B,由广义
5、加法法则可以推导出多个事件的和的概率公式,例如,考虑任意三个事件之和A+B+C的概率P(A+B+C),先将B+C看作一个事件,得P(A+B+C)=P(A)+P(B+C)-PA(B+C)=P(A)+P(B+C)-P(AB+AC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(BC)-P(AB)-P(AC)+P(ABC),P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC),S,A,B,C,例 产品有一,二等品及废品3种,若一,二等品率分别为0.63及0.35,求产品的合格率与废品率.,解 令事件A表示产品为合格品,A1,A2分别表示一,二等品.显然A1与A2互不相
6、容,并且A=A1+A2,则P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=0.63+0.35=0.98 P(A)=1-P(A)=1-0.98=0.02注意此题并非古典概型题.,例 一个袋内装有大小相同的7个球,4个是白球,3个为黑球.从中一次抽取3个,计算至少有两个是白球的概率.,解 设事件Ai表示抽到的3个球中有i个白球(i=2,3),显然A2与A3互不相容,且,例 50个产品中有46个合格品与4个废品,从中一次抽取3个,求其中有废品的概率.,解 设事件A表示取到的3个中有废品,则事件A的逆为取到的3个产品中没有废品更好计算一些,因此有,在严格的概率论公理化体系中,把一个随机事件的概率所
7、应具备的三个基本属性作为建立概率的数学理论的出发点,直接规定为三条公理,即:,(1)对任何事件A,P(A)0;(2)P(S)=1(3)若可列个事件A1,A2,两两不相容,则,而前面的加法法则只是公理(3)的一种特殊情况,(1)对任何事件A,P(A)0;(2)P(S)=1(3)若可列个事件A1,A2,两两不相容,则,而前面的加法法则只是公理(3)的一种特殊情况,(1998年MBA试题),(A)0.4(B)0.6(C)0.7(D)0.8(E)0.9,(A)0.4(B)0.6(C)0.7(D)0.8(E)0.9解：根据狄.摩根定理,(1992年研究生入学考试题),(1990年研究生入学考试题),解
8、由已知得:,例4 已知P(A)=0.5,P(AB)=0.2,P(B)=0.4,求(1)P(AB);(2)P(A-B);(3)P(AB);(4)P(AB),解(1)因为AB+AB=B,且AB与AB是互不相容的,故有P(AB)+P(AB)=P(B)于是P(AB)=P(B)-P(AB)=0.4-0.2=0.2,(2)P(A)=1-P(A)=1-0.5=0.5P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.5-0.2=0.3(3)P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.4-0.2=0.7,例5 观察某地区未来5天的天气情况,记Ai为事件:有i天不下雨,i=0,1,2,3,4,5.已知P(Ai)
9、=iP(A0),i=1,2,3,4,5.求下列各事件的概率:(1)5天均下雨;(2)至少一天不下雨;(3)至多三天不下雨.,解 显然A0,A1,A2,A3,A4,A5是两两不相容的互斥事件且A0+A1+A2+A3+A4+A5=S,从而,于是可求得,记(1),(2),(3)中三个事件分别为A,B,C,则,例6 某城市中发行2种报纸A,B.经调查,在这2种报纸的订户中,订阅A报的有45%,订阅B报的有35%,同时订阅2种报纸A,B的有10%.求只订一种报纸的概率a.,解 记事件A=订阅A报,B=订阅B报,则只订一种报=(A-B)(B-A)=ABBA又这两事件是互不相容的,因此有 a=P(A-AB)+P(B-AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.45-0.1+0.35-0.1=0.6,作业习题集第6页 第22题第7页 第7题学号不小于2003021561的学生交作业,
