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1、1,概率论与数理统计第9讲,本文件可从网址http:/上下载(单击ppt讲义后选择概率论讲义子目录),2,本幻灯片还可以从网址http:/或ftp:/其中的概率论讲义子目录中获得,3,第二章 随机变量及其分布,随机变量的概念,4,再谈试验及样本空间,一次随机试验的所有可能的试验结果e所构成的集合被称作样本空间S,而每一个可能的试验结果e构成样本点.样本点的集合A称作事件,只包含一个样本点的集合e被称作基本事件.,5,请注意,这里的试验结果实际上是一次试验的全过程的记录,因此和我们原来的印象中的试验结果并非一样,并非试验结束时候的那个结果.,6,例如,假设一场足球赛是一个试验,那么一个试验结果就
2、是这场球赛的全程的记录,可以认为记录着整场球赛的录象带是一个试验结果,而非比赛结束时候的比分是试验结果.,7,因此,象比赛的头五分钟有球队进球,上半场甲队领先,第三十分钟到三十四分钟期间有一次角球,前十五分钟有人被罚下场都是事件,它们都是由一系列可能的试验结果构成.,8,因此,样本空间是一个非常抽象的集合,从理论上讲它可以是任何集合.但这对于研究带来了许多不方便.而数学上则更喜欢研究实数集合.,9,一方面,样本空间本身也可能就是实数集合或者其子集.,10,另一方面,可以建立一个从样本空间到实数集合的一个映射,即每给定一个实验结果或者样本点e,存在着唯一的一个实数X(e)与之对应.这样就建立了一
3、个自变量为e而函数值则为实数的一个特殊的函数.我们称之为随机变量.,11,3,4,2,1,这可以用下图来示意,此图显示了只有四个样本点的一个样本空间映射到实数a,b,c的一种映射.注意1和2映射到同一个实数b,这是一种常见的情况.,x,a,b,c,12,从样本空间到实数的映射方法有许多种,每一种映射方法,被称为一个随机变量.一般用希腊字母x,h,z或大写拉丁字母X,Y,Z等表示.通常的试验的结果都能够通过各种编码的方法映射到实数集合.而也有一些试验的结果干脆就是数字,即样本空间本来就是实数.,13,当我们看到一个随机变量X时,可以想到一种在实数轴上进行的随机试验,每次试验的结果的样本空间就是实
4、数集合,每一次试验都将产生一个具体的实数,但具体产生哪个实数不可预知.,14,一些随机变量的例,(1)一个射手对目标进行射击,击中目标记为1分,未中目标记为0分.如果用X表示射手在一次射击中的得分,则它是一个随机变量,可以取0和1两个可能的值.,15,(2)某段时间内候车室的旅客数目记为X,它是一个随机变量,可以取0及一切不大于M的自然数,M为候车室的最大容量.,16,(3)单位面积上某农作物的产量X是一个随机变量,它可以取一个区间内的一切实数值,即X0,T,T是一个常数.,17,给定一随机变量x,它有可能取某些值,而没有可能取另一些值.因此可按取值情况将随机变量分为两类:(1)离散型随机变量
5、只可能取有限个或无限可列个值.(2)非离散型随机变量可能取任何实数.而非离散型随机变量中最常用的为连续型随机变量.,18,随机变量的分布,离散型随机变量的分布,19,定义 如果随机变量X只取有限个或可列个可能值,而且以确定的概率取这些不同的值,则称X为离散性随机变量.,20,为直观起见,将X可能取的值及相应概率列成概率分布表如下,21,此外,x的概率分布情况也可以用一系列等式表示:P(X=xk)=pk(k=1,2,)这被称作随机变量X的概率函数(或概率分布,分布率),22,其中X=x1,X=x2,X=xk,构成一完备事件组.因此概率函数具有如下性质:,23,一般所说的离散性随机变量的分布就是指
6、它的概率函数或概率分布表.上面两个性质中的性质(2)经常在解题中构成解方程的一个条件.,24,例 一批产品的废品率为5%,从中任意抽取一个进行检验,用随机变量x来描述废品出现的情况.写出x的分布.,25,解 用X表示废品的个数,则它只能取0或1两个值.X=0表示产品为合格,X=1表示产品为废品,则概率分布表如下,即PX=0=0.95,PX=1=0.05,或可写为PX=k=0.05k0.951-k(k=0,1),26,两点分布:只有两个可能取值的随机变量所服从的分布,称为两点分布.其概率函数为P(x=xk)=pk(k=1,2),27,概率分布表为:,概率分布图为,28,0-1分布:只取0和1两个
7、值的随机变量所服从的分布称为0-1分布.其概率函数为P(x=k)=pk(1-p)1-k(k=0,1),29,概率分布表为:,概率分布图为,30,例 产品有一,二,三等品及废品4种,其一,二,三等品率和废品率分别为60%,10%,20%,10%,任取一个产品检验其质量,用随机变量X 描述检验结果并画出其概率函数图.,31,解 令X=k与产品为k等品(k=1,2,3)相对应,X=0与产品为废品相对应.X是一个随机变量,它可以取0,1,2,3这4个值.依题意,P(X=0)=0.1P(X=1)=0.6P(X=2)=0.1P(X=3)=0.2则可列出概率分布表并画出概率分布图.,32,X 的概率分布表为
8、,33,概率分布图为,34,例 用随机变量描述掷一颗骰子的试验情况,35,解 令X表示掷一颗骰子出现的点数,它可取1到6共6个自然数,相应的概率都是1/6,列成概率分布表为,36,概率分布图:,37,离散型均匀分布如果随机变量X有概率函数:,则称X服从离散型均匀分布.,38,例 社会上定期发行某种奖券,每券1元,中奖率为p,某人每次购买1张奖券,如果没有中奖下次再继续购买1张,直到中奖为止.求该人购买次数X的分布.,39,解 X=1表示第一次购买的奖券中奖,依题意P(X=1)=p,X=2表示购买两次奖券,但第一次未中奖,其概率为1-p,而第二次中奖,其概率为p.由于各期奖券中奖与否相互独立,所
9、以P(X=2)=(1-p)p;X=i表示购买i次,前i-1次都未中奖,而第i次中奖,P(X=i)=(1-p)i-1p.,40,由此得到X的概率函数为P(X=i)=p(1-p)i-1(i=1,2,),称此分布为几何分布,41,验证,其中q=1-p,上面的级数称为几何级数,也称为等比级数,因为级数中每一项与前一项之比为常数q,称为公比,几何级数在公比小于1时收敛于,42,例 盒内装有外形与功率均相同的15个灯泡,其中10个螺口,5个卡口,灯口向下放着,现在需用1个螺口灯泡,从盒中任取一个,如果取到卡口灯泡就不再放回去.求在取到螺口灯泡之前已取出的卡口灯泡数X的分布.,43,解 X=0表示第一个就取
10、到了螺口灯泡,X=1 表示第一个取到卡口而第二个才取到螺口灯泡,因此P(x=0)=10/15=2/3,P(X=1)=(5/15)(10/14)=5/21P(X=2)=(5/15)(4/14)(10/13)=20/273P(X=3)=(5/15)(4/14)(3/13)(10/12)=5/273P(X=4)=(5/15)(4/14)(3/13)(2/12)(10/11)=10/3003P(X=5)=(5/15)(4/14)(3/13)(2/12)(1/11)=1/3003,44,概率分布表为,45,随机变量的分布函数,定义 若X是一个随机变量(可以是离散型的,也可以是非离散型的),对任何实数x,
11、令F(X)=P(X x)称F(x)是随机变量X的分布函数(因此,要求出一个随机变量的分布函数的工作量是很大的,理论上要算无穷多个事件的概率才行),46,例 已知随机变量X的分布如下表,其分布函数为,47,对于一般的0-1分布:其分布函数为,48,图形:,49,例 X为掷一次骰子的点数,求X的分布函数F(x)解,50,图形为,P,51,分布函数与概率函数满足关系:,52,这是因为在一般的公式中,要考虑x1,x2,并非按从小到大的次序排列的可能性.例如,假设x1=0,x2=-1,x3=1P(x1)=0.2=p1,P(x2)=0.3=p2,P(x3)=0.5=p3,53,这时便有,54,F(x)的图形为,x2,x1,x3,F(x),55,F(x),即事件Xx的概率是x的一个实函数,对任意实数x1x2,有因Xx2Xx1x1Xx2=Xx2-Xx1P(x1Xx2)=P(Xx2)-P(Xx1)即P(x1Xx2)=F(x2)-F(x1),56,P(x1Xx2)=F(x2)-F(x1)因此,若已知X的分布函数F(x),就能知道X在任何一个区间上取值的概率,从这个意义上说,分布函数完整地描述了随机变量的变化情况,57,分布函数F(x)具有如下几个性质:,58,59,作业 第24页 习题2-2第1,2题第27页 习题2-3第2,7题学号小于2003021561的学生交作业,
