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1、概率论与数理统计第6讲,本文件可从网址http:/上下载(单击ppt讲义后选择概率论讲义子目录),全概率定理和贝叶斯定理,例 市上供应灯泡中,甲厂产品(A)占70%,乙厂(A)占30%,甲,乙厂的产品合格率分别为95%,80%,B表示产品合格,求总合格率P(B),解 由于B=AB+AB为二互斥事件之和,还可以进一步计算,如果买到一合格品,此合格品是甲厂生产的概率P(A|B):,例4 10个考签中有4个难签,3人参加抽签(不放回),甲先,乙次,丙最后,设事件A,B,C分别表示甲乙丙各抽到难签,求乙抽到难签的概率P(B),解 利用B=AB+AB,且 AB 与AB 互斥,得,从形式上看事件B是比较复
2、杂的,仅仅使用加法法则或乘法法则无法计算其概率.于是先将复杂的事件B分解为较简单的事件AB与AB;再将加法法则与乘法法则结合起来,计算出需要求的概率.把这个想法一般化,得到全概率定理,又称全概率公式.,全概率定理 如果事件A1,A2,构成一个完备事件组,并且都具有正概率,则对任意一事件B有,证 由于A1,A2,两两互不相容,因此,A1B,A2B,也两两互不相容.且,全概率定理的图形理解,如图所示,事件B的面积为B与各个事件Ai相交的面积之和.,用全概率定理来解题的思路,从试验的角度考虑问题,一定是将试验分为两步做,将第一步试验的各个结果分为一些完备事件组A1,A2,An,然后在这每一事件下计算
3、或给出某个事件B发生的条件概率,最后用全概率公式综合,全概率定理解题的思路,例 12个乒乓球都是新球,每次比赛时取出3个用完后放回,求第3次比赛时取到的3个球都是新球的概率,解 假设A0,A1,A2,A3为第一次取到0个,1个,2个,3个新球,当然,因为一开始都是新球,因此第一次只能取到3个新球,即A3为必然事件,而A0,A1,A2都是不可能事件.再假设B0,B1,B2,B3为第二次取到0个,1个,2个3个新球,当第二次取球的时候,12个乒乓球中必然有3个旧球,而B0,B1,B2,B3构成完备事件组,并能够求出它们的概率,再假设C3为最后取到3个新球,则针对C3使用全概率公式.,再假设B0,B
4、1,B2,B3为第二次取到0个,1个,2个3个新球,当第二次取球的时候,12个乒乓球中必然有3个旧球,而B0,B1,B2,B3构成完备事件组,并能够求出它们的概率,再假设C3为最后取到3个新球,则针对C3使用全概率公式.,则有:,综合就是,贝叶斯定理 若A1,A2,构成一个完备事件组,并且它们都具有正概率,则对于任何一个概率不为零的事件B,有,证 由条件概率的定义得,贝叶斯定理解题的题型与全概率定理的题型完全一样,只是要求的是一个条件概率,是在信息论中的重要公式,即在二次试验后,观察者只能看到最后的结果事件B,却要根据B来推断第一步试验的哪个事件发生了的条件概率,贝叶斯定理解题的思路,全概率公
5、式和贝叶斯公式可以用表格计算:,例 假定某工厂甲乙丙3个车间生产同一种螺钉,产量依次占全厂的45%,35%,20%.如果各车间的次品率依次为4%,2%,5%.现在从待出厂产品中检查出1个次品,试判断它是由甲车间生产的概率,解 设事件B表示产品为次品,A1,A2,A3分别表示产品为甲,乙,丙车间生产的,显然,A1,A2,A3构成一完备事件组.依题意,有P(A1)=45%P(A2)=35%P(A3)=20%P(B|A1)=4%P(B|A2)=2%P(B|A3)=5%,则由贝叶斯公式得,在使用全概率公式和贝叶斯公式的题型中,关键的一步是要使用一完备事件组,而最常用的完备事件组,是一事件A与它的逆A构
6、成的完备事件组,这时的全概率与贝叶斯公式为,(应在考试前专门将它们记住).,例 假设在某特定人群中某种疾病的发病率为p.对此疾病有一种血检方法.如果一个人得了这种病,则此血检结果呈阳性的概率为,而如果一个人没这种病化验却呈阳性的概率为.求出当化验为阳性时,此人得了这种病的概率和没得这种病的概率.,解 设A为事件待检者患病,B为事件试验结果阳性,则,1987年理工科硕士入学考试题,有两个箱子,第一个箱子有3个白球2个红球,第二个箱子有4个白球4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取1个球,此球是白球的概率为_,已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第1个箱
7、子中取出的球是白球的概率为_.,解 假设事件A为从第1个箱子取出的是白球,B为从第2个箱子取出的是白球,第一步试验中的 A 与A 构成完备事件组,则,1999年MBA试题,甲盒内有红球4只,黑球2只,白球2只;乙盒内有红球5只,黑球3只;丙盒内有黑球2只,白球2只,从这3只盒的任意一只中取出1只球,它是红球的概率是()(A)0.5626(B)0.5(C)0.45(D)0.375(E)0.225,解 假设A1,A2,A3为取到甲,乙,丙盒的事件,这是第一步试验的各事件,构成完备事件组.假设B为最后取出的是红球的事件.,则,例6 经分析利率下调的概率为60%,利率不变的概率为40%.如利率下调,股
8、价上涨的概率为80%,而在利率不变的情况下,股价上涨的概率为40%.求股价上涨的概率.,解 记A为事件利率下调,则A为利率不变,记B为事件股价上涨.据题设知P(A)=60%,P(A)=40%,P(B|A)=80%,P(B|A)=40%.于是 P(B)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=0.60.8+0.40.4=0.64.,例7 某商店收进甲厂生产的产品30箱,乙厂生产的同种产品20箱,甲厂每箱装100个,废品率为0.06,乙厂每箱装120个,废品率为0.05,求:(1)任取一箱,从中任取一个为废品的概率;(2)若将所有产品开箱混放,求任取一个为废品的概率.,
9、解 记事件A,B分别为甲,乙两厂的产品,C为废品,则(1),(2),例8 对以往数据分析结果表明,当机器调整良好时,产品的合格率为98%,而当机器发生某种故障时,其合格率为55%.每天早上机器开动时,机器调整良好的概率为95%.试求已知某日早上第一件产品是合格时,机器调整良好的概率是多少?,解 设A为事件产品合格,B为事件机器调整良好.已知P(A|B)=0.98,P(A|B)=0.55,P(B)=0.95,P(B)=0.05,所需求的概率为P(B|A).则,这就是说,当生产出第一件产品是合格品时,此时机器调整良好的概率为0.97.这里,概率0.95是由以往的数据分析得到的,即为先验概率.而在得
10、到信息(即生产出的第一件产品为合格品)之后再重新加以修正的概率0.97即为后验概率.有了后验概率我们就能对机器的情况有进一步的了解.,例9 设某批产品中,甲,乙,丙三厂生产的产品分别占45%,35%,20%,各厂的产品的次品率分别为%4,2%,5%,现从中任取一件(1)求取到的是次品的概率;(2)经检验发现取到的产品为次品,求该产品是甲厂生产的概率.,解 记A1,A2,A3为抽到甲乙丙各厂的产品,B为抽到的是次品.P(A1)=0.45,P(A2)=0.35,P(A3)=0.2 P(B|A1)=0.04,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.05因此(1)P(B)=0.450.04+0.350.02+0.20.05=0.035(2),(2),作业 习题1-4 第15,17,19,20,21学号小于2003021561的学生交作业,
