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1、此幻灯片可在网址http:/上下载,第1讲,概率论与数理统计讲义,第一章 随机事件的概率,自然现象和社会现象各种各样.有一类现象,称之为确定性现象,其特点是在一定的条件下必然发生.另一类现象称之为不确定现象,其特点是在一定条件下可能出现这样的结果,也可能出现那样的结果,且在试验和观察之前,不能预知确切的结果.不确定现象又可分为两类:一类是个别现象,它是指原则上不能在相同条件下重复试验或观察的不确定现象.一类是随机现象,它是指可以进行大量重复试验或观察,且结果呈现出某种规律性的不确定现象.,表1-1 历史上一些科学家在抛掷硬币试验中得到的相关数据:,第一节 随机事件,一,随机试验与样本空间在研究
2、自然现象和社会现象时,常常需要做各种试验.在这里,把各种科学试验以及对某一事物的某一特征的观察都认为是一种试验.,一些试验的例子:E1:抛一枚硬币,观察正面H,反面T出现的情况;E2:将一枚硬币连抛两次,观察正面H,反面T出现的情况;E3:将一枚硬币连抛两次,观察正面H出现的次数;E4:在某一批产品中任选一件,检验其是否合格;E5:记录某大超市一天内进入的顾客人数;E6:在一大批电视机中任意抽取一台,测试其寿命;E7:观察某地明天的天气是雨天还是非雨天.,以上的试验都具有特点:(1)试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(2)进行试验之前不能确定哪一个结果会出现.一般地,把
3、具有上述两个特点的试验称为随机试验,或简称试验,用英文大写字母E表示.再仔细分析一下,发现试验E1,E6还具有如下的特点:(3)可以在相同的条件下重复进行.但试验E7不具有特点(3),将之称为不可重复的随机试验,而同时满足上述三个条件的称之为可重复的试验试验.,对于任一个随机试验E,由于它必须满足条件(1),因此,试验的所有可能结果组成的集合是已知的.将随机试验E的所有可能结果组成的集合称之为E的样本空间,记为W.W中的元素,即E的每个结果,称为样本点.样本点一般用w表示,于是可记W=w.,各个试验的样本空间:E1:抛一枚硬币,观察正面H,反面T出现的情况;W1=H,T;E2:将一枚硬币连抛两
4、次,观察正面H,反面T出现的情况;W2=HH,HT,TH,TT;E3:将一枚硬币连抛两次,观察正面H出现的次数;W3=0,1,2E4:在某一批产品中任选一件,检验其是否合格;W4=合格,不合格,E5:记录某大超市一天内进入的顾客人数;W5=0,1,2,3,4,;E6:在一大批电视机中任意抽取一台,测试其寿命;W6=t|t0;E7:观察某地明天的天气是雨天还是非雨天.W7=雨天,非雨天;,二,随机事件进行随机试验时,人们常关心的往往是满足某种条件的样本点所组成的集合.例如,若规定电视机的寿命超过10000小时时为合格品,则在试验E6(在一大批电视机中任意抽取一台,测试其寿命;W6=t|t0)中我
5、们关心的是电视机的寿命是否大于10000小时,满足这一条件的样本点组成的W6的一个子集A=t|t10000.称A为试验E6的一个随机事件.,一般地(不严格地说),称试验E的样本空间W的子集为E的随机事件,简称事件.事件是概率论中最基本的概念,今后用英文大写字母A,B,表示事件.设A是一个事件,当且仅当试验中出现的样本点wA时,称事件A在该次试验中发生.,例如,在E6(在一大批电视机中任意抽取一台,测试其寿命;W6=t|t0)中,若测试出电视机的寿命t=11000小时,则事件电视机为合格品=A=t|t10000在该次试验中发生;同样,若测试出电视机的寿命t=6000小时,则在该次试验中事件A没有
6、发生.显然,要判定一个事件是否在一次试验中发生,只有当该次试验有了结果以后才能知道.,由一个样本点组成的单点集称为基本事件.例如,试验E1(抛一枚硬币,观察正面H,反面T出现的情况;W1=H,T;)有两个基本事件H和T,试验E3(将一枚硬币连抛两次,观察正面H出现的次数;W3=0,1,2)有三个基本事件0,1,2.,样本空间W 有两个特殊子集,一个是W 本身,由于它包含了试验的所有可能的结果,所以在每次试验中它总是发生,称为必然事件;另一个子集是空集,它不包含任何样本点,因此在每次试验中都不发生,称之为不可能事件.,三,事件间的关系与运算在一个样本空间中,可以有许多随机事件,我们希望通过对简单
7、事件的了解掌握较复杂的事件.为此,需要研究事件间的关系与运算.事件是一个集合,因此事件间的关系和运算应该按照集合之间的关系和运算来规定.设试验E的样本空间为W,而A,B,C,Ak(k=1,2,3,)是W的子集.注意到在某次试验中事件A发生该次试验的结果wA,由此出发,可以讨论事件间的关系与运算.,(1)若AB,则称事件B包含事件A,或称事件A是事件B的子事件,其含义是事件A发生必然导致事件B发生.若AB且BA,即A=B,则称事件A与事件B相等.,A,B,例如,在E6(在一大批电视机中任意抽取一台,测试其寿命;W6=t|t0)中,记A=电视机寿命不超过8000小时,B=电视机的寿命不超过1000
8、0小时,则AB.,(2)事件AB=w|wA或wB称为事件A与事件B的和事件,显然事件AB事件A发生或者事件B发生事件A与B至少有一个发生.,A,B,例如,在E2(将一枚硬币连抛两次,观察正面H,反面T出现的情况;W2=HH,HT,TH,TT)中,记A=两次都出现正面=HH,B=两次都出现反面=TT,则AB=两次出现同一面=HH,TT.,(3)事件AB=w|wA且wB称为事件A与事件B的积事件.显然,事件AB发生事件A与事件B同时发生.积事件AB可简记为AB.,B,A,例如,某输油管长100km,事件A=前50km油管正常工作,事件B=后50km油管正常工作,那么AB=整个输油管正常工作.,(4
9、)事件A-B=w|wA且wB称为事件A与事件B的差事件,它表示的是事件A发生而事件B不发生这一新的事件,因此A-B发生事件A发生而事件B不发生.,A,B,例如,在E2(将一枚硬币连抛两次,观察正面H,反面T出现的情况;W2=HH,HT,TH,TT)中,若记A=HH,TT,B=(HH,HT,则A-B=TT.,(5)若AB=,则事件A与事件B是互不相容的,或互斥的.显然AB=事件A和事件B不能同时发生.,A,B,例如,对任一个随机试验E,它的基本事件都是两两互不相容的.,W,A,事件之间的运算满足下述运算规律:(i)交换律:AB=BA,AB=BA;(ii)结合律:A(BC)=(AB)C;(iii)分配律:A(BC)=(AB)(AC),A(BC)=(AB)(AC);(iv)对偶律:,这些规律可以推广到任意多个事件上去.,例2 某城市的供水系统由甲、乙两个水源与三部分管道1,2,3组成,每个水源都足以供应城市的用水,设事件Ai=第i号管道正常工作(i=1,2,3),甲,乙,城市,1,2,3,Ai=第i号管道正常工作(i=1,2,3),甲,乙,城市,1,2,3,于是,“城市能正常供水”这一事件可表示为(A1A2)A3,“城市断水”这一事件可表示为,作业:第7页开始习题1-1,第1,2,3题,
