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1、第三章 多维随机变量,一般地，我们称n个随机变量的整体X=(X1,X2,，Xn)为n维随机变量或随机向量.,二维随机变量及其分布,3.1,二维分布函数,定义,性质,2.0 F(x,y)1,1.F(x,y)是变量x,y的单调不减函数。,对于任意y,x1x2,F(x1,y)F(x2,y),对于任意x,y1y2,F(x,y1)F(x,y2),4.F(x,y)关于x,y右连续。,二维离散型随机变量,性质,例1：设袋里有五个同类产品，其中有两个是正品。现依次有放回的抽取两个。设X、Y份表示第一次、第二次抽取的产品。求（X,Y）的概率分布。,二维连续型随机变量,性质,例1 设(X,Y)的分布密度是,求(1
2、)C的值；(2)分布函数(3)（X,Y）落在如图三角形区域内的概率。,常见的二维随机变量的分布,均匀分布,例2：设（X,Y）在区域G（0y2x,0 x 2)上服从均匀分布，求（X,Y）的分布密度、分布函数。概率P(YX2),二维正态分布,边缘分布与相互独立性,3.2,二维随机变量（X,Y）分布函数为F(x,y),而X,Y都是随机变量，各自具有分布函数，分别记为FX(x)和FY(y),依次称为（X,Y）关于X和关于Y的边缘分布函数。,二维离散型随机变量的边缘分布密度,i,j=1,2,设（X,Y）为离散型随机变量，,则(X,Y)关于X、Y的边缘概率分布分别为,边缘分布密度,X,Y,a1a2.ai.
3、,b1b2.bj,p11p21.pi1.,p12p22.pi2.,p1jp2j.pij.,pj,pi,p1 p2 pj,p1p2.pi.,1,例1：设袋里有五个同类产品，其中有两个是正品。现依次抽取两个,设X、Y份表示第一次、第二次抽取的产品。在无放回抽取和有放回抽取两种情况下分别求（X,Y）的关于X,Y的边缘分布密度。,设（X,Y）的分布密度为f(x,y),则关于X和关于Y的边缘分布密度分别为,二维连续型随机变量的边缘分布密度,随机变量的独立性,离散型,连续型,例4：设（X,Y）在区域G（0y2x+2,-1x 0)上服从均匀分布，求（X,Y）关于X,Y的边缘分布密度,并判断X与Y是否独立。,
4、二维随机变量函数的分布,3.3,i,j=1,2,离散型,设（X,Y）为离散型随机变量，,例1：设（X,Y）联合概率分布为：,X,Y,-12,-1012,1/53/201/103/10,1/1001/101/20,求X+Y,X-Y,XY的概率分布。,例2：设（X,Y）相互独立，其分布密度为,求Z=X+Y的分布密度。,离散型卷积公式,连续型,例4：设（X,Y）的分布密度为f(x,y),边缘分布密度分别为fX(x),fY(y),求Z=X+Y的分布密度。,分布函数法,连续型卷积公式,例5：若X与Y是两个独立的随机变量，都服从N(0,1)分布。证：Z=X+Y服从N(0,2)分布。,例6：若X与Y是两个独
5、立的随机变量，都服从N(0,1)分布。求 的分布。,例7:某元件由两个相互独立的元件A1,A2连接而成，其连接方式分别为：(1)串联;(2)并联。设A1,A2的寿命分别为X,Y,已知它们的概率密度分别为,求两种系统S1,S2的寿命的概率密度函数。,A1,A2,S1,A1,A1,S2,二维随机变量的条件分布,3.4,离散型r.v的条件分布,定义1 设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的 j，若P(Y=yj)0，则称,为在Y=yj条件下随机变量X的条件概率函数.,联合分布,边缘分布,条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质.正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质.,例如：,i=1,2,X,Y,10,10,1/103/10,3/103/10,例1 已知（X,Y）的分布密度如下，分别求在X=1和X=0条件下，Y的分布密度。,连续型r.v的条件分布,定义,同样，对一切使 的 y,定义,为已知 Y=y下，X的条件密度函数.,定义,例2：设二维随机变量（X,Y）的分布密度为：,求(X,Y)关于X和Y的条件分布密度。,例3：设数X在区间(0,1)均匀分布，当观察到X=x(0 x1)时，数Y在区间(x,1)上随机地取值，求Y 的概率密度。,
