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1、第十一章 有互感的电路111 互感和互感电压 一、互感现象(电流、磁通的互感关系)载流线圈之间通过彼此的磁场相互联系的物理现象称为磁耦合。例如：,L1、L2中的自感电压：u11，u22,+,+,u11,u21,+,+,u12,u22,L1、L2中的施感电流：i1，i2,L1、L2中的自感磁通：11，22,L2、L1中的互感磁通：21，12,L2、L1中的互感电压：u21，u12,当线圈1通过电流 i1时：i1变化 11变化 21变化 产生 u21 产生 u11 其中：21 11,漏磁通（忽略不计）,同理，当线圈2通过电流 i2时：i2 变化 22变化 12变化 产生 u12,产生 u22 其中
2、：12 22,二、互感电压 设 L1 和 L2 的电压和电流分别为 u1、i1 和 u2、i2，且都取关联参考方向，互感为M，则由电磁感应定律可知：,分别是 i1、i2 在 L1、L2 中 产生的自感电压。电压和 电流为关联参考方向取“+”，电压和 电流为非关联参考方向，则应取“”。,自感电压：,是由于 i2 变化在 L1中产生的 互感电压。,其前面“”号选取是 u12与 12 符合右手螺旋法则的关系时取“+”。u12与 12 不符合右手螺旋法则的关系时取“”,互感电压：,是由于 i1 变化在 L2中产生的 互感电压。其前面“”号选取是 u21与 21 符合右手螺旋法则的关系时取“+”。u21
3、与 21 不符合右手螺旋法则的关系时取“”,互感电压：,以N1通过施感电流为例：,三、同名端1、互感电压的 方向与 施感电流方向的关系,由以上分析可知，按右手螺旋关系规定的互感电压的正极性与施感电流的参考方向和两个线圈的绕向都有关系。但不管情况如何，施感电流流进线圈的端子与其互感电压的正极总有一一对应的关系。工程上为了表述方便，把这一对有上述关系的端子称为两耦合线圈的同名端。2、同名端的定义及表示符号：、定义：同名端是有互感的电感元件的一对对应端子，即互感电压的正极性端与施感电流的进端构成同名端。另一对也互为同名端。,(2)、表示符号：在实际中，往往不将具体的线圈和绕向画出而只需将线圈用电感的
4、符号表示之，将同名端用相同的符号“”或“*”或“”来表示。,例如前面第一种情况：1，2 是一对同名端1，2 也是一对同名端1，2 和1，2 是异名端。,例如前面第二种情况：1，2 是一对同名端1，2 也是一对同名端1，2 和1，2 是异名端。,一般情况下，只将一对同名端表示出来，而另一对同名端不表示出来。3、影响同名端的因素：主要与两线圈的绕向、相对位置有关。前面举例是有关绕向对同名端的影响，下面举一相对位置的例子。,具体方法：在 S 闭合的瞬间,A,a为同名端,A,b为同名端,4、工程上判别同名端的方法：在前面我们用右手螺旋法则可判别同名端，可是在实际当中，设备内部往往是看不见的，而无法知道
5、线圈的绕向，所以，只有通过实验的方法在端口上判别同名端。,的“+”,的“”,反偏，则电源的“+”,与,若,与,正偏，则电源的“+”,若,例如：L1，L2 之间有互感，且已知同名端，i1 为施感电流，u21 为互感电压。根据已知同名端可得：,5、由同名端及参考方向判别互感电压的正负号：,的代数和（两部分叠加）,四、K个电感的耦合 1、磁通链：当K个彼此耦合的电感都通以电流时，则每个电感中的磁通链将等于自感磁通链,与所有互感磁通链,在上式中，当施感电流 i j 的进端与互感电压 ukj的正极性端互为同 名端时，则,当施感电流 i j 的进端与互感电压 ukj的正极性端互为异名端时，则,五、耦合电感
6、的等效受控源电路 我们还可以用电流控制电压源(CCVS)来表示互感电压的作用。,例如：L，L 中均有电流 i，i(为正弦量）则对 L的端电压包括两部分：自感电压 u11与互感电压 u12 则对 L2 的端电压包括两部分：自感电压 u22与互感电压 u1,将上式用相量形式表示，且可得电路的相量形式，即耦合电感的等效受控源电路。,频域电路,这样可以给我们今后计算含有互感的电路带来很大的方便。将两个电感的耦合视为受控电压源来处理。,六、耦合系数：在工程中，为了定量的描述两个耦合线圈耦合紧疏程度，引出了耦合系数。1、定义：把两个线圈的互感磁通链与自感磁通链的比值的几何平均值定义为耦合系数。2、表示符号
7、及表达式,。两线圈互相垂直，则 K 很小。当 L1，L2一定时，改变 M 的大、小的因素就是改变K的因素。,3、影响耦合系数的因素 K与 L，L的结构、相互位置、周围磁介质有关。例如：两线圈紧密的绕在一起，,工程中有时尽量减小互感的作用，以免线圈之间的相互干扰可使两线圈垂直）。有时又希望紧密的耦合，为了更有效的传输功率及信号（一般采用铁磁材料制成的铁，且紧密的绕在一起）。,工程上规定：K=0 无耦合=0.01 0.1 松耦合K 0.5 紧耦合K=1 完全耦合例11 1 电路如图所示 已知：i1=10A，i2=5sin(10t)A，L1=2 H，L2=3 H，M=1 H。求：两耦合线圈中的磁通链
8、。,解：,电压 u1中只含有互感电压 u12，不含自感电压 u11。电压 u2中只含有自感电压 u22，不含互感电压 u21。这说明，不变动的电流（直流）虽产生自感和互感磁通链，但不产生自感和互感电压。,例11 2 求：例9 1 中两耦合电感的端电压 u1、u2。解：,112含有耦合电感电路的计算 在计算具有耦合电感的正弦电路时，仍可采用相量法。KCL的形式仍不变。但 KVL 的表达式中，应计入由于互感的作用引起的互感电压。一、耦合电感的串联：将实际的电感线圈视为直流电阻与电感的串。1、顺接（正接）L1与 L2 的异名端相串联。,2、反接：L2 L 1同名端相串联，不难推出,消去互感后的等效电
9、路：,3、注意：(1)、顺接时：R=R1+R2，L=L1+L2+2M，R 相当于电阻，L 相当于电感，可见，阻抗增加，电压增加。(2)、反接时：R=R1+R2，L=L1+L2 2M，可见，相当 于电感减少，说明反接时，互感有削弱自感的作用，互感 的这种作用称为互感的“容性效应“。如果有 L1M 则称为 L1呈容性反应。如果有 L2M 则称为 L2 呈容性反应。,(3)、反接时，若当 L1+L2=2M 时，则电路呈阻性，全电路 的阻抗 Z=R=R1+R2。(4)、若已知 L 顺、L反，可求出互感系数M 因为：L顺=L1+L2+2M，L反=L1+L2 2M 所以：,例113 电路如图所示。已知：U
10、=50V，R1=3，L1=7.5，R2=5，L2=12.5，M=8，,(5)、顺接与反接的表达式可写在一起：,求（1）电路的耦合系数 K=?（2）各支路吸收的复功率?解（1）,（2）,二、耦合电感的并联 此时，我们也希望通过消去互感的方法解决。直接在正弦电流电路中进行推倒1、同侧并联：L1与 L2同名端在同一侧。(1)、各电流的表达式及等效阻抗,同侧并联时消去互感的等效电路,可由以上这组方程得无互感的等效电路，如右图所示。,2、异侧并联：L 1，L 2同名端异侧相联。(1)、各电流的表达式的等效复阻抗为：,(2)、电路的等效无互感电路,3、注意：、不论是同侧并还是异侧并联，图中的、三点的 关系
11、。（2）、同侧并与异侧并联的表达式可写在一起，,三、有互感的二电感仅一端相连互感消去法。1、同名端同侧相联,2、异名端同侧相联,例11 4 电路如图所示 已知：U=50 V，R1=3，L1=7.5，R2=5，L2=12.5，M=8 求：各支路吸收的复功率。,解：可知消去互感后的等效电路,从、两端看进去的输入阻抗为：,各支路的复功率为：,113 空心变压器 变压器是利用互感来实现从一个电路向另一个电路传输能量或信号的一种器件。空心变压器是由两个绕在非铁磁材料制成的芯子上并且具有互感的线圈组成的。一、空心变压器的工作原理 空心变压器的芯子是由非铁磁材料制成（一般的变压器均由铁磁材料制成），其原理图
12、及电路模型如下。,二、空心变压器的电路模型,为了进一步讨论变压器，下面分别从变压器的原边和副边将变压器进行等效。,1、空心变压器原边等效电路 在前面的图中的正方向下，分别对原边和副边回路列方程：,整理以上方程得：,可进一步将表达式简化得：,令：Z11=R1+jL1 称为原边的回路阻抗。Z22=R2+jL2+RL+jXL 称为副边的回路阻抗。ZM=jM 称为互感阻抗。,由上方程可解得：,2、空心变压器电源输出的功率,这部份功率就是通过互感耦合传送到副边的功率。,3、空心变压器副边等效电路,4、空心变压器T型等效电路,由上关系式可得空心变压器T型等效电路,例11 5 如图所示电路中 已知：R1=R
13、2=0，L1=5H，L2=1.2H，M=2H，u1=100 sin(10 t)V，ZL=RL+jXL=3。,求：原、副边电流 i1,i2。解：由原边的等效电路得,由原电路得,11 4 理想变压器,2、理想变压器的功率 将以上两方程相乘得：u1 i1+u2 i2=0 即输入理想变压器的瞬时功率为零，所以它既不耗能也不储能，它将能量由原边全部传输到副边输出，在传输过程中，仅仅将电压、电流按变比作数值变换。,2、证明：只要满足以上三个条件空心变压器即为理想变压器对于空心变压器如无损耗，即R1=R2=0，则可有电路模型及方程如下,当空心变压器无漏磁即全耦合时，k=1,将（3）/（4）得：,则上方程为：
14、,将（1）等号两边积分得：,例11 6电路如图所示 已知：理想变压器，匝数比为1:10，uS=10 sin(10 t)V，R1=1，R2=100。求：u2=?,解：按图可列方程,可解得：,例11 7电路如图所示 已知：负载阻抗 ZL=(500-j400)。求：负载阻抗ZL吸收的平均功率。,解法一：列方程求出,解法二：由阻抗变换作用得等效电路且在其中求出,解法三：由负载两端以左电路做戴维南等效电路且在其中求出,得戴维南等效电路,五、全耦合变压器1、全耦合变压器的电路模型,(2)、全耦合变压器电路模型可以用一含理想变压器和电感组成由上方程组可推出,（1）、两个线圈的耦合系数为1即K=1时，则是全耦合变压器。其方程为：,可推出电路模型为：,全耦合变压器与理想变压器的区别在于前者是储能元件而后前者不是储能元件。当全耦合变压器电路模型中的L1 时它就成为理想变压器了。,11 5 实际变压器的电路模型,一、实际变压器的原理图,二、实际变压器中电磁关系,漏磁电感,三、实际变压器的电路模型第一步、只考虑漏磁时的电路模型,第二步、考虑漏磁及线圈损耗的实际变压器电路模型,全耦合变压器,
