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1、第四章 直梁的弯曲4-1 平面弯曲概念 梁的类型,1、梁弯曲常见弯曲变形构件,如房屋支承梁，工厂中起重机横梁及化工中的卧式容器等。,结构如图：,卧式化工容器：,弯曲梁受力特点在通过梁某一纵向平面内，受到垂直于轴线的外力或力偶作用。,受力如图：,变形特点任两个截面绕垂直于梁轴线轴 相对转动，梁轴线由直线变曲线。,平面弯曲所有外力或力偶作用在纵向对称 面内，梁轴线在对称面内弯曲成 平面曲线。纵向对称面在纵向可将梁分成对称两半。,2、梁简化 对实际梁受力分析和强度计算，对梁进行简化，以轴线表示梁。梁简化成三种力学模型：,（1）简支梁 如图：,一端固定简支，另一端可动铰支。,（2）外伸梁 如图：,梁一
2、端或两端伸出支座外。,（3）悬臂梁 如图：,梁一端固定约束，另一端自由。,各支座处力与位移边界条件：固定铰支 支座处 梁左、右，上、下 均不可移动，但可绕约束点转动。解除约束 受力图,力的边界条件,位移边界条件,m=0Rx 0Ry 0,x=0y=0,可动铰支支座点左、右 可移动，上、下 不可动。解除约束 受力图,力的边界条件,位移边界条件,Ry 0 Rx=0 m=0,x 0y=0,固定端约束限制 固定端既不能转动，也不可移动。解除约束 受力图,力的边界条件,位移边界条件,Rx 0 Ry 0 m 0,x=0y=0,各支座反力 可根据平衡条件求出。,如果未知力数与所列出的独立方程数相同，则可求出未
3、知力称为静定问题，属于静定梁；反之为静不定，称为不静定梁或超静定问题。,集中力：作用力作用在很小面积上，可近似一点。如图：,集中力偶：力偶两力分布在很短一段梁上，可简化为作用在梁的某一截面上。如图：,分布载荷：载荷分布在较长范围内，以单位长度受力 q 表示。q 单位 N/m 如图：,作用于梁上载荷有三种形式：,4-2 梁弯曲时的内力,一、内力计算内力计算方法如下：第一步解除支座约束，计算约束反力。第二步用截面法将梁分成两部分。第三步由平衡条件计算截面处内力。,如图：简支梁，试计算 m n 截面内力。,解:(1)解除约束，求约束反力,列平衡方程,RxA=0RyA+RyB=PRyB(a+b)Pa=
4、0,(2)用截面法求内力,截面处存在的内力：阻止 RyA 作用下绕 O 转动，截面必存在附加内力矩 M，阻止转动。平衡 RyA力，截面上必有向下力 Q,附加内力矩M称为截面弯矩。截面内力Q称为剪力，与外力平行，有使 梁沿 mn 截面剪断趋势。分离体处于平衡，由平衡条件得：y=0 RAy Q=0 M=0 M RAy x=0,结论：受弯曲梁任一截面内力有 弯矩与剪力。剪力等于截面之左（或右）所有外力代数和。弯矩等于截面之左（或右）所有外力（力偶）对截面形心之矩代数和。,剪力与弯矩对梁强度影响：由经典力学分析 弯矩对梁强度影响远大于 剪力对梁强度。工程计算一般只考虑弯矩，忽略剪力。,二、弯矩符号规定
5、规定如下：所求弯矩的截面附近能形成上凹下凸的弯曲变形，该截面弯矩为正；反之为负。,m n 截面附近弯曲形状，如图，弯矩M为正。,反之 发生如下图弯曲形状，弯矩为负。,由此得“左顺右逆”弯矩为正 规定：,截面左侧所有对截面形心之矩为顺时针 的外力及顺时针的力偶，它们 在截面处产生弯矩为正，反之 为负。截面右侧所有对截面形心之矩为逆时针 的外力及逆时针的力偶，它们 在截面处产生弯矩为正，反之 为负。,4-3 弯矩图,由截面法计算出横截面弯矩随轴线 x 变化规律 M=M(x)称为梁弯矩方程将弯矩大小与正负表示在图上弯矩图画弯矩图的基本方法：(1)对双支点梁解除约束，求支座反力，悬臂 梁不必求支座反力
6、,从悬臂端开始计算。(2)在有集中力或集中力偶处分段，求出每一段弯矩方程。(3)选适当比例，以横截面位置x为横坐标，弯矩M为纵坐标作弯矩图。,例一，如图：受集中载荷简支梁。试画出弯矩图。,解：解除约束，求约束反力,RAy 3a P 2a+m=0RAy+RBy P=0,分段求各段弯矩,AC段，在AC段任取一截面,0 xa,DC段，在DC段任取一截面,ax2a,BD段，在BD段任取一截面,0 xa,画弯矩图,例二、有一悬臂梁 长l，其上分布载荷q和集中力偶矩m.试画出弯矩图。,解：悬臂梁可不必求约束反力直接分段 AB与BC段,AB段 在AB之间任取一截面弯矩,B截面右侧,MB右=,0 x,BC段
7、在BC之间任取一截面,B截面左侧，,MB左,C点 x=l，MC=0,例三、有一梁受力如图，试画出弯矩图。,解:(1)解除约束，求约束反力,RBx=0RBy+RAy qa qa=0,RAy=1.75 qaRBy=0.25 qa,(2)分段求各段弯矩，分DA,AC,CB三段。,0 xa,DA段，在之间任取一截面,AC段，在之间任取一截面,a x2a,BC段，在之间任取一截面,(3)画弯矩图,0 xa,4-4 纯弯曲时梁横截面上的正应力,纯弯曲忽略掉剪应力，梁变为只有弯矩 而无剪力梁，此时弯曲为纯弯曲。纯弯曲梁梁横截面上只有弯矩而无剪力。,两端受到一对外力偶作用典型纯弯曲梁梁上既有弯矩又有剪力作用时
8、的弯曲称为剪切弯曲,分析纯弯曲梁横截面正应力方法分四步：一、实验观察与假设推论 如图一矩形截面梁，在侧面分别画上与梁轴线相垂直的线11，22，及与梁轴线平行线ab，cd11，22 代表横向截面ab，cd代表纵向截面,两端施加外力偶，使梁产生纯弯曲 变形如图,观察现象如下：1、变形后，11，22仍为直线，但转一定角度，仍与梁轴相垂直。2、纵向线ab，cd及轴线由直线变为圆弧，ab缩短，cd伸长。3、梁横截面高度不变，宽度变化，凹入顶部略增大，凸出底部略变小。,由观察现象作两点假设：,1、平面假设梁横截面弯曲变形后均为 平面，仍垂直于轴线。横 截面只绕某轴转个角度。2、互不挤压假设假设梁由很多层纤
9、维 组成，变形时各层纤 维只受轴向拉伸或压 缩，各层纤维 互不 挤压。,由假设作如下推论：由观察得知，横截面只相对偏转了一个角度，纵向纤维受到轴向拉伸或压缩。,1、纯弯曲梁变形本质是拉伸或压缩变形，不是剪切变形。2、横截面只有正应力，无剪应力。凹侧受压，有压缩应力，凸侧受拉，存在拉应力。3、中间存在一层既不受拉也不受压的中性层，其上应力为0。注意：中性层含义,二、应变与几何尺寸之间关系 从受纯弯曲梁取一段dx长。dx微段的两横截面变形后夹角d,中性层曲率半径为,OO1=OO2=O1O2=dx=d 中性层变形前后长度不变。变形后 c1d1=(+y)d c1d1的应变,三、物理关系虎克定律由假设可
10、得 梁弯曲本质是拉伸与压缩 hook定律：,上式显示：梁截面上任一点应力与该点到中性轴距离成正比，y=0的中性面上 应力为0，上、下边缘正应力最大。,四、静力学关系寻找正应力与弯矩M之间关系如图：纯弯曲梁横截面应力分布中性轴两侧 一边受拉 一边受压可构成力偶,如图 在梁横截面上取微面dA，距中性轴距离ydA上内力dF dF=dA,dF对中性轴之矩dM，dM=y dAM=AdM=A ydA,M=A y2 dA令IZ=A y2 dA，IZ横截面对中性轴的轴惯性矩 y为横截面任一点到中性层的距离,EIZ抗弯刚度,此式为纯弯矩梁横截面上任一点正应力公式。y横截面上任一点距中性轴距离。,曲率 与M成正比
11、，M越大，梁弯曲越厉害。曲率与EIZ成反比。,注意：弯曲正应力与M成正比，与距离y成反比，最大应力存在于梁边缘处,当截面对称于中性面，最大拉、压应力相等。,当中性面与上下边缘距离不等时，要分别计算拉应力与压应力。令,WZ 横截面对中性轴Z的 抗弯截面模量。,五：弯曲正应力公式适用范围弯曲正应力计算公式是在纯弯曲下导出梁截面只有弯距没有剪力。实际梁受到横向力作用梁截面既有弯矩又有剪力。横截面存在剪力 互不挤压假设不成立，梁发生翘曲。根据精确理论和实验分析：当梁跨度L与横截面高度h之比 L/h5时，存在剪应力梁的正应力分布与纯弯曲很接近。,公式适用范围：梁跨度l与横截面高度h之比 l/h5，可使用
12、梁正应力计算公式。,梁正应力计算公式由矩形截面梁导出，但未使用矩形的几何特性。所以公式适用于有纵向对称面的其它截面梁。如 工字钢、槽钢及梯形截面梁等。,梁材料必须服从虎克定律，在弹性范围内，且材料的拉伸与压缩弹性模量相同，公式才适用。,4-5 截面的轴惯性矩和抗弯截面模量,1、矩形截面（中性轴与截面形心重合）梁上受载荷如图(hb立放)轴惯性矩 IZ,抗弯截面模量WZ,IZ=y2bdy=,h/2,-h/2,IZ=Ay2dA dA=bdy,Iy=y2hdy=,-b/2,b/2,将上图矩形截面梁，如图放置时（平放）Iy=Ay2dA dA=hdy,对相同的矩形截面梁不同放置方法,会有不同的轴惯性矩和不
13、同的抗弯模量。工程上承受弯曲作用时,要选择I与W大的放法,要立放,对中性轴与截面形心不重合如图梯形截面,IZ=y2dA=y2dA,y1,-y2,WZ1与WZ2不相等，正应力计算时采用较小抗弯模量进行计算。对中性轴与截面形心不重合的梁，IZ只有一个值，但抗弯模量有两个，在设计与计算时必须注意。,A,2、圆形及圆环形截面对实心圆截面 对圆截面，通过形心任一轴的惯性矩相等。,即 Iz=Iy=y2dA=(Rsina)2 dAdA=2Rcosa dy,y=Rsinady=Rcosa da,A,Iz=Iy=22R4 sin2 a cos2 a da=,截面抗弯模量Wz=Wy=,0,对圆环截面 令 d/D=
14、,Iy=Iz=,Wz=Wy=,对于口径较大，壁厚较薄管,D-d=2S Iz=Iy,作业:4-1(c、g、h），2，3,4-6 弯曲正应力的强度条件,保证梁工作时最大应力在许用应力范围内，即满足强度条件：,可能存在最大应力的位置：弯矩最大截面惯性矩 IZ 最小截面,注：弯矩有正负。计算时以绝对值代入，计算应力max总为正，是拉应力。许用应力 由实验确定。截面不对称于中性轴时，存在两个抗 弯截面模量WZ1，WZ2，计算取较小截 面模量代入。材料抗拉、抗压强度不同时，分别求 出梁的最大拉、压应力，保证：,max拉=,max压=,拉,压,例一、有一阶梯圆柱截面梁，许用应力=200MPa,结构尺寸如图,
15、d1=50mm，d2=80mm，d3=60mmP1=10kN，P2=5kN,解：解除约束，求约束反力,N1 1500P1 750 P2 250=0N1=5.83(kN)N2=9.17(kN),画弯矩图分段求各段弯矩方程,MAB=5.83x，0 x0.75mMCD=9.17x，0 x0.25m,可能的危险截面 E，F，B截面可能成为危险截面。,E 截面弯矩 ME=5.830.5=2.92kN mB 截面弯矩 MB=5.830.75=4.37kN mF 截面弯矩 MF=F在B、C中点,对B，E，F截面强度校核对B截面,87 MPa=200 MPa 安全,对F截面,=157 MPa 安全,对E截面,
16、=238.9 MPa 危险,例二、有一梯形截面支承架，结构尺寸如图,截面惯性矩 IZ=100cm4，y1=100mm，y2=50mm材料许用拉应力 拉=200 Mpa材料许用压应力 压=250 Mpa试校核该梁强度。,解：解除约束，求约束反力,N1 5152.5=0N1=2.5 kNN2=2.5 kN,求弯矩,0 x 5,画弯矩图,强度校核,max拉=,max拉=,=156 MPa 拉,max压=,max压=,=312.5 MPa 压,梁不安全,4-7 梁截面合理形状选择,工程常用的矩形截面梁 如图：h b,立放,平放,立放 WZ1 平放WZ2 上、下表面应力小，安全或可以承受更大载荷。,4-
17、8 梁弯曲变形,一、梁的弹性曲线，挠度和转角如图 梁受力，中心轴线变形AB的曲线为挠曲线,挠度：梁任一截面形心位移量为该截面挠度，用y表示。用f表示最大挠度。y与坐标轴y正方向相同为正，反之为负。,将梁弯曲形状用曲线方程表示，该方程称为挠曲线方程。位移量y随截面位置变化，y=f(x)为挠曲线方程。截面转角：梁截面绕自身中性轴转角 表示。逆时针为正，反之为负。,由微分学得：,很小时，tg,即 f(x),二、挠曲线的近似微分方程,梁轴上任一点曲率方程：,由微分学方程 可得：,梁变形曲率方程：,由于梁是微变形，截面转角很小，dy/dx项极小可以忽略，由此简化得到下式,称为梁弹性曲线近似方程由于变形量
18、y与弯矩符号始终一样变形微分方程为：,积分一次可得：,积分二次：,=M(x)dx+C 转角方程,EIy=M(x)dxdx+Cx+D 梁变形挠度方程例题：如图等截面梁抗弯刚度EI，求挠度方程,解：解除约束，求支反力 NA=NB=P/2,AB，BC段弯矩方程,AB段挠度方程,由边界条件求未知量C，D,支座 A 点 x=0，y=0，得D=0,集中力P作用处，挠曲线切线与轴线平行 x=L/2，转角=0,挠曲线方程：,三、用叠加法求弯矩图和弯曲变形1、叠加法求弯矩图 方法：分别求出每一载荷的弯矩图，然后 弯矩图叠加。,例一、梁受力如图，画弯矩图,解：将梁分成集中力和集中力偶单独作用弯矩图 进行叠加,+,+,例二、梁受力如图 求弯矩图,解：,+,+,2、叠加法求变形分别求出每一单一载荷作用产生的变形量，然后叠加。,四、梁的刚度校核和提高梁弯曲刚度的措施1、刚度校核 控制梁变形，使梁最大变形和转角在许可范围内。刚度校核两条件：最大挠度 f f 许可挠度 最大转角 许可转角有关设计手册中规定 f 与取值。,2、提高刚度措施由挠度与转角与梁跨度和抗弯刚度EI有关。提高刚度措施：减小跨度提高刚度,注：对钢材而言，各种钢的弹性模量E相差不大。改变钢种提高EI 方法不可取。有效方法是提高轴惯性矩 I作业：4-7、10、12、14、15,
