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1、第七章 一阶电路的时域分析,2.一阶电路的零输入响应、零状态响应和 全响 应求解；,3.一阶电路的三要素求解。,1.动态电路方程的建立及初始条件的确定；,重点,7-1 动态电路的方程及其初始条件,一.动态电路,含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。,1.过渡过程：,当动态电路的结构或元件的参数发生变化时，需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。,例,过渡期为零,电阻电路,K未动作前，电路处于稳定状态,i=0,uC=0,i=0,uC=Us,K接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态,前一个稳定状态,过渡状态,新的稳定状态,?,有一过渡期,电容电路
2、,K未动作前，电路处于稳定状态,i=0,uL=0,uL=0,i=Us/R,K接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路,前一个稳定状态,过渡状态,新的稳定状态,?,有一过渡期,电感电路,过渡过程产生的原因：,电路内部含有储能元件 L、C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。,t=0与t=0的概念,认为换路在 t=0时刻进行,0 换路前最终时刻,0 换路后最初时刻,初始条件为 t=0时u，i 及其各阶导数的值。,0,0,电路结构、状态发生变化,2.换路：,3.一阶电路,动态元件：,电容：,电感：,根据KCL、KVL、VCR建立的方程是以u 和 i 为变
3、量的微积分方程，无源元件均为线性、非时变。,对于只含一个储能元件，电路方程是一阶线性常微分方程，相应的电路称为一阶电路。,描述动态电路的电路方程为微分方程；动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数。,求解微分方程：,工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。,动态电路的分析方法：,根据KVl、KCL和VCR建立微分方程：,本章采用时域分析法：经典法,二.电路的初始条件,1.换路定则独立初始条件的确定,电容的初始条件：,t=0+时刻，,当i()为有限值时,q(0+)=q(0),uC(0+)=uC(0),电荷守恒,换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。,结论：,电
4、感的初始条件：,当u为有限值时,L(0)=L(0),iL(0)=iL(0),t=0+时刻,磁链守恒,换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。,结论：,iL(0+)=iL(0),uC(0+)=uC(0)：,换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。,换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。,换路定则：,（1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。,注意:,（2）换路定则反映了能量不能跃变。,2.非独立的初始条件,除电容电压、电感电流外，其它初始条件都为非独立初始条件，都可以跃变。根据以求得的uc（0
5、+）和iL（0+）及KVL、KCL求之。,求初始值的步骤:,1).由换路前电路（一般为稳定状态）求uC(0)和iL(0)；,2).由换路定则得 uC(0+)和 iL(0+)。,3).画0+等效电路。,b.电容用电压源、电感用电流源替代。,a.换路后的电路,（取0+时刻值，方向与原假定的方向相同）。,4).由0+电路求所需各变量的0+值。,(2)由换路定则,uC(0+)=uC(0)=8V,(1)由0电路求 uC(0),uC(0)=8V,(3)由0+等效电路求 iC(0+),例1：,求 iC(0+),电容开路,电容用电压源替代,iL(0+)=iL(0)=2A,例 2,t=0时闭合开关k,求 uL(
6、0+),先求,由换路定则:,电感用电流源替代,解,电感短路,确定初始条件,例:,t,0-0+,5A,10V,0,5A,0,0,10V,5A,10V,0,0,-10A,-10V,15A,例4:,求K闭合瞬间各支路电流和电感电压。,解,由0电路得：,由0+电路得：,一.RC电路的零输入响应,7-2 一阶电路的零输入响应,换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能所产生的电压和电流。,零输入响应,已知 uC(0)=U0,特征根,通解：,方程:,代入初始值 uC(0+)=uC(0)=U0,A=U0,令=RC,称为一阶电路的时间常数,（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；,从以上各式可以得出：
7、,连续函数,跃变,（2）响应的衰减快慢与RC有关；,时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短,=R C,大 过渡过程时间长,小 过渡过程时间短,工程上认为,经过 35,过渡过程结束。,：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。,U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0,U0 U0 e-1 U0 e-2 U0 e-3 U0 e-5,（3）能量关系,电容不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕.,设uC(0+)=U0,电容放出能量：,电阻吸收（消耗）能量：,例:,已知图示电路中的电容原本充有24V电压，求K闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。,解
8、:,这是一个求一阶RC 零输入响应问题，有：,分流得：,二.RL电路的零输入响应,特征方程:Lp+R=0,特征根:,代入初始值 i(0+)=I0,A=i(0+)=I0,方程:,从以上式子可以得出：,连续函数,跃变,（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；,令=L/R,称为一阶RL电路时间常数,大 过渡过程时间长,小 过渡过程时间短,时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短,=L/R,（2）响应的衰减快慢与L/R有关；,（3）能量关系,电感不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕.,设iL(0+)=I0,电感放出能量：,电阻吸收（消耗）能量：,iL(0+)=iL(0)=1 A,例1
9、:,t=0时,打开开关K，求uv。,电压表量程：50V,解:,例2:,如图，求电感电压和电流及开关两端电压u12。,解:,小结:,一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的 响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。,2.衰减快慢取决于时间常数：RC电路=RC,RL电路=L/R R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。,3.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。,一.RC电路的零状态响应,7-3 一阶电路的零状态响应,动态元件初始能量为零，由t 0电路中外加输入激励作用所产生的响应。,零状态响应,列方程：,非齐次线性常微分方程,其解为：,齐次方程通解,非齐次方程特解,与输入激励的变化规律有
10、关，为电路的稳态解。,变化规律由电路参数和结构决定。,全解,uC(0+)=A+US=0,A=US,由初始条件 uC(0+)=0 定积分常数 A：,的通解,的特解,（1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：,连续函数,跃变,稳态分量（强制分量）,暫态分量（自由分量）,+,（2）响应变化的快慢，由时间常数RC决定；大，充电 慢，小充电就快。,（3）能量关系,电容储存：,电源提供能量：,电阻消耗,电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。,二.RL电路的零状态响应,已知iL(0)=0，电路方程为：,小结:,一阶电路的零状态响应是由储能元件的初值为零
11、,由外加输入激励作用所产生的响应。,3.其他支路的电压和电流，则可以按照变换前的原电路进行,2.求解电路由储能元件、电阻和独立电源或受控源组成，把储能元件以外的部分，应用戴维宁或诺顿定理等效变换，然后求得储能元件上的电压和电流，中的电阻即为等效电阻Req,例1,t=0时,开关K闭合，已知 uC（0）=0，求（1）电容电压和电流;（2）uC80V时的充电时间t。,解:,(1)这是一个RC电路零状态响应问题，有：,（2）设经过t1秒，uC80V,例2,t=0时,开关K 打开，求t0后iL、uL的值及电流源的端电压。,解,这是一个RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：,一.全响应,7-4 一阶电路
12、的全响应,电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。,全响应,解答为 uC(t)=uC+uC,以RC电路为例，电路微分方程：,=RC,uC(0)=U0,解为 uC(t)=uC+uC”=US+,强制分量(稳态解),自由分量(暂态解),uC(0-)=U0,uC(0+)=A+US=U0,A=U0-US,由起始值定A,解为 uC(t)=uC+uC”=US+,二.全响应的两种分解方式,全响应=强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解),（1）着眼于电路的两种工作状态,物理概念清晰,全响应=零状态响应+零输入响应,(2)着眼于因果关系,便于叠加计算,零输入响应,零状态响应,例,t=0时,
13、开关K打开，求 t 0后的iL、uL,解,这是一个RL电路全响应问题，有：,零输入响应：,零状态响应：,全响应：,或求出稳态分量：,全响应：,代入初值有：,三.三要素法分析一阶电路,一阶电路的数学模型是一阶微分方程：,令 t=0+，,其解答一般形式为：,分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题。,用0+等效电路求解,用t的稳态电路求解,直流激励时：,中的电阻即为戴维宁等效电阻Req,例1,t=0时,开关闭合，求t 0后的iL、i1、i2。,解1：,三要素为：,应用三要素公式,所有所求量均用三要素求解：,解2：,叠加:,例2,已知：t=0时开关闭合，求换路后的电流i(t)。,解,三要素为：,
14、例3,已知：t=0时开关由12，求换路后的uC(t)。,解,三要素为：,7-5 一阶电路的阶跃响应,一.阶跃信号及其单边性,1.单位阶跃信号的定义,2.波形,相当于0时刻接入电路的单位电压源或单位电流源,若将直流电源表示为阶跃信号，则可省去开关：,k：阶跃信号强度。,10（V）10（t）（V）,k（V）k（t）（V），,例如：,3.实际意义:用来描述开关动作，可以作为开关的数学模型。,4.延迟单位阶跃信号,t 0,5阶跃信号的单边性（截取信号的特性，或起始一个函数）,若用(t-t0）去乘任何信号，都使其在t t0+时为零，而在t0+0时为原信号。,f(t),0,例2：,1,-1,例1：,3,-
15、4,1,6.用阶跃函数表示矩形波形,1.阶跃响应的定义 电路在零状态条件下，对阶跃信号产生的响应。,2.分析方法：t0同直流激励一样。,有两种分析方法:（1）分段函数表示（2）阶跃函数表示,二 阶跃响应的分析,例：,RC=1S,（1）用分段函数表示,（零状态）,（零输入）,（2）用阶跃函数表示,10V,1S,单位阶跃响应：,所以：,1.微分电路：,T，uR为输出,uc(t),三微分电路和积分电路,脉冲序列分析,2.积分电路：,T,uC为输出,uC,T,uC输出波形近似为锯齿波。,uR,7-6 一阶电路的冲激响应,一、冲激函数,电路对于单位冲激函数的零状态响应称为单位冲激响应。,1、单位冲激函数
16、,2、是对单位脉冲函数的一种极限,单位脉冲函数：,1/,面积：,(t),1,在时刻发生强度为的冲击函数：,（2）单位冲激函数的“筛分性质”,3、冲激函数两个主要性质,（1）单位冲激函数对时间的积分等于单位阶跃函数,或阶跃函数 对时间的导数等于冲击函数:,电容电压：,电容电压从零跃变到1V。,(1)当把一个单位冲激电流i(t)加到初始电压为零，且C=1F的电容，,4、冲激引起的响应的初始值的确定,(2)当把一个单位冲激电压u(t)加到初始电流为零，且L=1H的电感，,电感电流：,电感电流从零跃变到1A。,二、冲激响应,当冲激函数作用于零状态的一阶RC或RL电路，电路中将产生相当于初始状态引起的零
17、输入响应。所以：,b、t 0+后，(t)=0,求出在uc(0+)和iL(0+）作用下的零输入响应。,a、在t=0-0+，(t)作用下的零状态响应，求出跃变后的uc(0+)和iL(0+)；,由于uC不可能为冲激函数，所以上式方程左边第二项的积分为零。,1、RC 并联响应,（1）求uc(0+),冲激电流源相当于开路，,式中=RC，为给定RC电路的时间常数。,（2）在uc(0+)作用下的零输入响应。,对所有t，可写出完整表达式,用相同的分析方法，可求得下图所示RL电路在单位冲激电压u(t)激励下的零状态响应。,对所有t，可写出完整表达式,2、RL 串联响应,三、阶跃响应s(t)与冲激响应h(t)关系,以s(t)阶跃响应，而h(t)冲激响应，则两者关系：,以RL电路为例,零状态响应,例：,如图所示电路中iL=0，R1=6，R2=4，L=100mH，求冲击响应iL和uL。,解：,1、戴维宁等效电路,Req=2.4，uoc=4(t),2、求4u(t)引起的iL（0+）：,3、响应,对整个时间：,作业：第四版：150页 6-1(a)，6-2(b);6-4，6-5，6-8;6-11，6-12;6-17，7-18（五版），7-19（五版）6-23第五版：190页7-1(a)，7-2(b)；7-4，7-5，7-6；7-11，7-12;7-17，7-18，7-19;7-29,第七章结束,
