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1、第三章 二次量子化之基礎理論,古典粒子與波動現象,離散振子系統(粒子性),Lagrangian,Euler 運動方程,.,m,K,固定邊界,連續振子系統(波動性),(L=Na 固定),，,，,Euler運動方程,波速,Lagrangian,因,1.,2.,5.,4.,3.,6.,7.,8.,9.,波與粒子運動示意圖,量子波動與粒子模型,Hamiltonian,簡諧振子的波動模型,簡諧振之粒子模型(二次量子化的理想模式),Hamiltonian:,產生raising()和湮滅lowering()算符,and,簡諧振子之量子狀態,from,1,海森堡表象(Heisenberg representa
2、tion),is time development operator,Hamiltonian:,:電場,then,let,3-2.受固定電場強度作用下之簡諧振子模型,置換算符：,因,故,置換算符及置換群,1,2,3,N,置換算符數目,1,N,2,N-1,3,N-2,N,1,=N!,所有可能置換算符數目,置換算符之特性,且,矩陣元在座標之表現,矩陣元在座標之表現,為對稱算符,為,H,之,eigenfunction,亦為,H,之,eigenfunction,定義：,轉置置換算符,P,為正算符(unitary),由,定義兩類波函數,對稱（波色子）,反稱（費米子）,多粒子系統之完全對稱及反稱態,多粒子
3、,各自之單粒子狀態,狀態函數,多粒子系統之一量子狀態,向量直積,粒子編碼,狀態編碼,：,：,：,完備基向量,定義：,對稱態 反稱態,i.e,若,（粒子 處於相同態）,故反稱態每一態只允許佔有一粒子,則,對稱態每一態可允許佔有無窮多粒子,N!,symmetrized state,symmetrized basis state,即每一量子態可允許佔有無窮多粒子,若假設第一態有 個粒子，第二態有 個粒子,故對一確定之分佈 其所有相異態間交換,正規化對稱完全基,每一置換算符的等價類（重複數）之個數,正規化因子,的置換算符總數為,1 2 3,N,1 2 3,N,表不同態間之置換,等價類數,正規化反稱完備
4、基,粒子數表象（FOCK表象）,編碼全同粒子沒有效率,確認不同量子態上的粒子數,Fermi子,1 實態,0 空態,Bose子,任意數,，,玻色子(Bosons),產生算符,共軛算符,因,故,湮滅算符,證明：,Bose 互易關係,，,，,證明：,（）,（）,（）,（）,（）,對,對,1,基態(Ground state)：真空態(Vacaum state),單粒子態(Single-particle state),雙粒子態(two-particle state),多粒子態(many-particle state),正規化,粒子數算符(The particle-Number Operutor),無相互
5、作用之粒子,單一粒之 Hamiltonian,的特徵值,類似於簡諧振動之系統,廣義多粒子算符(general many-particle Operutors),單粒子算符系統,證明,次,次,雙粒子算符系統,當中,證明,費米子（Fermions）,(Slater 行列式),N 粒子,N 能階態,定義,費米子反稱互易關係,（）,（）,（）,證明,（）,設,設,（）,設,1,設,粒子數算符（particle operutors）,單粒子算符,設,雙粒子算符,0,：B,:F,（廣義公式）,場算符（Field operators）,（單粒子波函數）,位置特徵向量,在位置特徵態,產生或增減一粒子,動能,K
6、inetic energy,單粒子勢能,Single-particle potential,雙粒子相互作用勢能,Hamiltanian,粒子數密度（particle-number density）,總粒子數算符（Total-particle operator）,場方程（Field-Equatioin）,Heisnberg 表象,恆等式,動能+位能+相互作用項,FB,動能:,位能,:,相互作用項,（場方程）,（連續方程）,當中,粒子流密度算符（current-density operator）,動量表象：,動量特徵函數（mom entum eigenfunction）,，,，,動能（Kinetic energy）,單粒子勢能,（,之 Fourier 轉換為）,相互作用勢能,Hamiltonian,a),相互作用過程,b),雙散射過程,始,終,密度算符的 Fourier 轉換,含自旋系統,：,（,為,方向之自旋分置）,（和自旋無交互作用系統之H）,自旋,之費米子系統,自旋密度算符,pauli 矩陣之元素,互易關係,運動方程,
