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1、空军工程大学2012年大学生数学建模竞赛在油价波动情况下的生产计划参赛队员1参赛队员2参赛队员3姓名贺绍桐刘宇霖徐晨洋学号321201024011321201024004321201008010学院防空反导学院防空反导学院防空反导学院在油价波动情况下的生产计划摘要本文主要解决某市某厂在油价波动的背景下，对某种规格机器生产计划的安排问题。题目共设五问，从不同角度添加限制条件，以达到全年生产费用的最低，分别建立相应模型，求出最优化解。针对问题一，在满足合同要求的前提下，以全年生产费用最低为优化目标，在产量、需求量、库存量三者平衡的总体约束下，建立线性规划模型，查得年柴油均价为元每升，用软件进行优化
2、，每季度分别生产万台、万台、万台、万台，求得全年最低生产费用为万元。问题二，在问题一的基础上加入柴油价格波动的因素，将柴油的均价用每季度的柴油价格代替，代入线性规划模型优化求解，得到最优方案，每季度生产万台、万台、万台、万台，求得全年最低生产费用为万元。问题三，题目给出了四个季度需求量的正态分布，引入缺货率的概念，通过最大缺货率算出对应的最小的生产量，将其作为新的约束条件，本文认为实际需求量落在一个区间里，取置信区间为，得到全年的实际需求量为万台。利用原优化模型求解得全年最低生产费用为万元。各季度生产量为万台、万台、万台、万台。问题四，由四年的柴油价格资料，建立灰色系统预测模型对2012年柴油
3、价格进行预测，预测结果为一、四、七、十月柴油价格分别为：元每升、元每升、元每升、元每升。问题五，题目要求将其它成本的作为物流成本，首先，查得西安地区汽油价格与物流价格对照关系，并对数据进行处理，在此基础上重新考虑问题一至四，可重新得到全年生产最低费用分别为：万元、万元、万元、万元。本题使用了较为常规的线性规划模型，借助软件能够较为准确的得到结果，并对生产进行合理的安排，模型能够基本客观反映结果。关键词： 线性规划 价格波动 正态随机分布 软件一、问题重述某市某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供万, 万, 万, 万台同一规格的机器。已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本，如果生产出的
4、产品当季不交货，每万台积压一个季度需储存、维护等费用万元。已知四个季度该厂的生产能力、理论需求、每生产万台零号柴油的耗油量及其他成本。需要解决下面几个问题：问题一，不考虑汽油价格波动，若年，按合同规定须于当年每个季度末分别提供各季度需求量的同一规格的机器。建立数学模型，要求在完成合同的情况下，使该厂全年生产（包括储存、维护）费用最小。问题二，考虑油价格波动的实际情况，收集年某市号柴油全年的变化情况，重新对问题一建立数学模型，要求在完成合同的情况下，使该厂全年生产（包括储存、维护）费用最小。问题三，若根据以往经验，由于市场需求的变化，各季度需求是正态随机变量，若第一季度需求服从，第二季度需求服从
5、，第三季度需求服从，第四季度需求服从，请在此假设下，不考虑柴油价格，可以容忍的缺货的概率情况下，对该厂的年生产计划做出安排。问题四，收集近几年的号柴油价格波动数据，其中不考虑汽油价格对其它成本的影响，对年的各季度柴油价格作预测，并以此来对问题做出计划安排。问题五，若考虑到汽油价格对其它成本的影响，请收集汽油价格与物流价格的数据（可以不局限于该市），建立汽油价格变动幅度与物流价格波动幅度之间的数学模型，若其它成本中有是物流成本，在此假设下分别考虑问题。二、问题分析问题一分析，本问是求在不考虑柴油价格的波动的条件下，求全年生产费用最小化的生产方案，根据资料取全年柴油均价为元每升，不考虑物流费用以及
6、产品的利润，因此考虑建立单目标线性规划模型，并利用软件进行求解，寻找最优的生产存储方案，通过对数据的深入分析，发现前三季度生产能力均大于需求，而且第二、三季度生产费用相对较低，因此预计最优方案：前三季度实际生产量大于需求，剩余机器主要来自第二、三季度。问题二分析，首先，查得西安市地区年四个季度的柴油价格，按照要求考虑将全年平均油价改为全年分季度油价，带入问题一模型，利用软件，即可求出全年最低生产费用以及相关生产安排。问题三分析，题目要求需求量符合正态分布，由此可知，实际需求量和理论需求量一致的概率为，引入缺货率的概念，即要通过最大缺货率算出对应的最小的生产量，将其作为新的约束条件，实际需求量考
7、虑可能落在一个区间里，故用置信度的方式加确定这个区间（这里取），然后，将区间带入模型，解得全年最低生产费用区间，同时求出各季度的生产安排。问题四分析，题目要求预测年的柴油价格，基于收集的四年共计个数据，考虑利用改进的灰色模型进行预测，能够尽可能的提高精确度，求出预测方程，得到预测值后，重新求解问题三。问题五分析，首先需要获取汽油价格与物流价格的对应关系，并用进行拟合，得到拟合后的线性方程表达式，重新按照问题一至三的思路进行考虑。三、问题假设（1）假设工厂在第一季度开始没有产品积压；（2）假设每季度生产量都是按计划进行且季度末能按时交货；（3）假设生产力不受其它环境和人为的因素影响；（4）假设柴
8、油汽油价格不会发生剧烈的变化；（5）假设其它成本中的非物流成本保持不变；四、符号说明季度第季度生产机器数柴油成本机器的积压量其它成本每万台积压一个季度需储存、维护等费用全年生产费用柴油单价发展系数内生控制灰数汽油价格物流价格五、模型建立与求解5.1 问题一：固定油价下线性规划模型根据题目要求，全年生产过程中柴油价格固定，根据资料取号柴油价格为元每升，为使全年生产费用（包括存储、维护费用）最小，建立一个单目标线性规划模型，求得最低全年生产费用下的生产安排。5.1.1 模型的建立第季度生产机器数为计划的调整对象，柴油成本、机器的积压量、其它成本及每万台积压一个季度需储存、维护等费用固定，因而四个季
9、度的全年生产费用的表达式可以表示如下：根据题目要求，首先必须满足每季度的产量不能超过当季度最大产能：其次，生产量要满足合同要求，即达到最低需求量：根据条件建立线性规划模型： 目标函数： 满足： 5.1.2 模型的求解及结果分析利用软件优化求解，得到优化的工作安排：表一 问题一最优生产方案季度第一季度第二季度第三季度第四季度工作量（万台）10203010由上，柴油单价为元每升，价格恒定，可得全年最低生产费用为：万元结果分析：因为这里仅仅考虑全年生产费用最低的目标，通过对数据的深入分析，发现前三季度生产能力均大于需求，而且第二、三季度生产费用相对较低，因此预计最优方案：前三季度实际生产量大于需求，
10、剩余机器主要来自第二、三季度。所以结果较为精确可靠。5.2 问题二：波动油价下线性规划模型本问加入了油价波动的影响因素，据此，须知道一年四个季度的油价，柴油成本满足：其中，为柴油的单价。根据所查资料，西安市年四个季度的柴油价格如下表：表二 年柴油价格表时间第一季度第二季度第三季度第四季度价格（元/升）6.9477.8667.1857.139带入目标函数，可得出机器的生产计划： 表三 问题二最优生产方案季度第一季度第二季度第三季度第四季度工作量（万台）10203010全年最低生产费用为： 5.3 问题三：需求量区间下的线性规划模型本问要求根据市场的变化，认为不同季度需求量符合不同的正态分布，即第
11、一季度需求服从，第二季度需求服从，第三季度需求服从，第四季度需求服从，据此，可以认为每个季度实际需求量与理论最大需求量一致的概率为。的缺货的概率可以被认为是实际生产量小于需求量的最大概率，其所对应的是最小生产量。5.3.1 模型的建立因为需求量会在一个区间内以不同的概率出现，据此，本文将以的置信区间确定各季度需求量的上下限，得到如下结果：表四 各季度需求量的上下限季度第一季度第二季度第三季度第四季度上限13.319.9533.2526.6下限6.710.0516.7513.4模型约束条件发生变化：线性规划模型如下：目标函数： 满足： 5.3.2 模型的求解与结果分析利用软件进行求解，结果如下：
12、得到全年的实际需求量为万台。全年最低生产费用为万元。各季度计划生产量为万台、万台、万台、万台。结果分析：在市场变化的情况下，实际需求量符合正态分布是合理的，因为实际需求量在按一定概率出现，若简单将最小生产量视作最大缺货率时的需求量，结果不够严谨。5.4 问题四：灰色系统模型预测柴油价格根据所查2008年2011年零号柴油价格资料（如下图），为了预测2012年四个季度的柴油相对精确的价格，考虑使用灰色系统模型。表五 号柴油历史价格时间号柴油价格（元/升）时间号柴油价格（元/升）2008-074.7412010-046.0592008-104.8942010-076.3312009-015.234
13、2010-106.1442009-045.7442011-016.5862009-075.5572011-046.8842009-105.8122011-077.2242010-015.6512011-106.9685.4.1 模型的建立与求解将原始数据的初始值写成矩阵，作为原始序列： 对原始序列进行一次累加生成，得生成序列：是一个包含单变量的一阶微分方程构成的动态模型，建立白化方程：其中：为发展系数，为内生控制灰数。将上式离散化，得到灰微分方程：应用最小二乘法求解可得：其中：将数据带入方程组求解可得： 将代入微分方程式，解出预测函数为：分别代入可解得年四个季度的号柴油价格分别为元/升，元/升
14、，元/升，元/升。可得年的号柴油平均价格为元/升。5.4.2 结果分析在此基础上，问题三结果如下：得到全年的实际需求量为万台。全年最低生产费用为万元。各季度计划生产量为万台、万台、万台、万台。由结果总体来看，油价成上升趋势，考虑到市场和政策性因素的影响，每年油价有涨有跌，总体看涨，全年生产最低费用增加。5.5 问题五：物流成本影响下的结果首先，根据资料，查得西安地区汽油价格与物流价格对照关系如下：表六 西安地区汽油价格与物流价格年份2005200620072008200920102011汽油价格4.265.095.346.206.196.927.45物流价格8101012131416对数据进行
15、处理，利用进行线性拟合，可得到汽油价格波动幅度与物流价格波动幅度之间的函数关系如下：图1 汽油价格与物流价格的函数关系函数表达式为：其中为汽油价格，为物流价格。根据题设要求，其它成本中有为物流成本，即原始其它成本的不变，与单独计算的物流成本相加权后即为总的其它成本。据此，重新计算问题：对问题一进行重新考虑：将年的物流价格代入到目标函数中，将其它成本看作原始其它成本的与物流成本的加权之和，可得到最优生产方案以及全年最低生产费用如下：表七 重新考虑的问题一最优生产方案季度一二三四生产台数/万台10203010全年生产费用最低为1761.09万元。对问题二进行重新考虑：查得年各季度的汽油价格分别为元
16、/升，元/升，元/升，元/升。将各季度的汽油价格代入到目标函数中，将每一季度的其它成本看作该季度原始其它成本的与该季度物流成本的加权之和，可得到最优生产方案以及全年最低生产费用如下：表八 重新考虑的问题二最优生产方案季度一二三四生产台数/万台2553010全年生产费用最低为1761.32万元。对问题三进行重新考虑：将年的各季度的柴油价格和汽油价格代入到目标函数中，将每一季度的其它成本看作该季度原始其它成本的与该季度物流成本的加权之和，可得到最优生产方案以及全年最低生产费用如下：表九 重新考虑的问题三最优生产方案季度一二三四生产台数/万台2532.443010全年生产费用最低为万元。对问题四进行
17、重新考虑：利用灰色模型对的汽油价格进行处理，可预测出2012年的汽油平均价格为元/升，考虑汽油价格对其它成本的影响，将其代入到目标函数，将其它成本看作原始其它成本的与物流成本的加权之和，可得到最优生产方案以及全年最低生产费用如下：表十 重新考虑的问题四最优生产方案季度一二三四生产台数/万台2532.443010全年生产费用最低为万元。六、模型的评价与改进本题使用了较为常规的线性规划模型，借助能够较为准确的得到结果，并对生产进行合理的安排，模型能够基本客观反映结果，但还有改进空间。优点：根据题目要求，对模型约束进行了不同限制，得到全年生产费用最小下的生产计划。问题四中，对改进的灰色系统模型的使用能够较为精确地预测出全年不同季度的柴油单价。缺点及改进方向：模型只考虑了成本最小下的目标优化，而生产任务的合理安排应该考虑到市场和利润的因素，在优化目标方向，还有改进空间。参考文献1 姜启源，谢金星，叶俊，数学模型（第三版），高等教育出版社，2003。2 党国耀，灰色预测与决策模型研究，科学出版社，2009。3 中华人民共和国国家发展和改革委员会价格管理，关于成品油价格，。 4 万联网物流资讯中心，资讯中心，关于汽油价格的物流资料，。- 11 -
