电动力学高教第三版4.ppt

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1、本章重点：1、电磁场波动方程、亥姆霍兹方程和平面电磁波2、反射和折射定律的导出、振幅和相位关系3、导体内的电磁波特性、良导体条件、趋肤效应4、了解谐振腔和波导管中电磁波的运动形式本章难点：1、振幅和相位关系2、导体内的电磁波3、谐振腔和波导中电磁波求解,第四章 电磁波的传播,电磁波传播问题在无线电通讯、光信息处理、微波技术、雷达和激光等领域都有着重要的应用。,随时间变化的运动电荷和电流辐射电磁场，电磁场在空间互相激发，在空间以波动的形式存在，这就是电磁波。,传播问题是指：研究电磁场在空间存在一定介质和导体的情况下的运动。在真空与介质、介质与介质、介质与导体的分界面上，电磁波会产生反射、折射、衍

2、射和衰减等等，因此传播问题本质上是边值问题。,4.1 平面电磁波,电磁波在空间传播有各种各样的形式，最简单、最基本的波型是平面电磁波。,一、电磁场波动方程,1自由空间电磁场的 基本方程,2真空中的波动方程,能否直接用到介质中？,3介质的色散,若电磁波仅有一种频率成分,若电磁波具有各种频率成分，则：,实际上具有各种成分的电磁波可以写为：,由此可知，由于 以及，而不能将真空中的波动方程简单地用 代、代 转化为介质中的波动方程。,4时谐波及其方程,这种波的空间分布与时间t无关，时间部分可以表示为,时谐波是指以单一频率 做正弦（或余弦）振荡的电磁波（又称为单色波或者定态电磁波）。,，因此有以下关系成立

3、：,对单一频率、成立。介质中波动方程为：,同样,介质中波动方程化为：,波动方程的推导过程中利用了条件,因而波动方程的解应满足以上条件,称为时谐波的亥姆霍兹方程（其中 称为波矢量）,同理可以导出磁感应强度满足的方程,同样,（或者）,对时谐波,1平面波解的形式,证明上面的解满足亥姆霍兹方程：,亥姆霍兹方程有多种解：平面波解，球面波解，高斯波解等等。其中最简单、最基本的形式为平面波解。,二、平面电磁波,同样,2平面电磁波的传播特性,（1）解为平面波,设 S 为与 垂直的平面。在S 面上相位,因此在同一时刻，S 平面为等相面，而波沿 方向传播。,（2）波长与周期,波长定义：两相位差为 的等相面间的距离

4、。,两等相面相位差：,波长、波速、频率间的关系,（3）横波特性(TEM波）,证明：,同理,（4）与 的关系,证明：,平面波特性总结：,a)横波，与 都与传播方向垂直,c)与 同相位；振幅比为波速,（5）波形图,假定在某一时刻（），取 的实部。,k,3平面电磁波的能量和能流,电磁能量传播方向与电磁波传播方向一致,瞬时能量密度,平均能量密度,瞬时能流密度,平均能流密度,例一：有一平面电磁波，其电场强度为,（1）判断电场强度的方向和波传播的方向；（2）确定频率、波长和波速；（3）若介质的磁导率 求磁场强度；（4）求在单位时间内从一个与 平面平行的单位 面积通过的电磁场能量。,（2）,（3），,（与

5、同相位同频率，与 垂直且与 垂直，故它在 轴方向）。,（4）：单位时间垂直通过单位横向截面的能量,解：设两个电磁波分别为,合成波为,例2.两个频率和振幅均相等的单色平面电磁波沿z轴传播，一个波沿x方向偏振，另一个波y 沿方向偏振，但其相位比前者超前，求合成波的偏振。,反之，一个右旋圆偏振波可分解为两个相互垂直的线偏振波，且沿y轴波比x轴波相位超前。,4.2 电磁波在介质界面上的反射和折射,电磁波入射到介质界面上，会发生反射、折射现象（如光入射到水面、玻璃面等）。反射、折射定律包括两个方面的问题：（1）入射角、反射角和折射角之间的关系问题；（2）入射波、反射波和折射波振幅和相位的变化关系。反射、

6、折射既然发生在界面上，就属于边值问题。从电磁场理论可以导出反射和折射定律，也从一个侧面证明麦氏方程的正确性。,一、反射和折射定律,1电磁场的边值关系,2反射、折射定律的导出过程,（1）假设入射波为单色平面电磁波，反射、折射电磁波也为平面电磁波,（2）波矢量分量间的关系,在界面上 z=0,x，y 任意,因为任意，要使上式成立，三个指数因子应相等,即有：,（4）入射角、反射角、折射角之间的关系,因此反射、折射波矢也在 平面,（3）入射波、反射波、折射波在同一平面,入射波在 平面,即,及,二、振幅和相位的关系,1 垂直入射面（平面）,2 平行入射面（）,入射面，假定 与 方向相同,由边值关系得：,3

7、 在任意方向，可以分解为,和称为菲涅耳公式,4相位关系分析,（1），电磁波从疏介质入射到密介质,但是 与 总是同相位。,（2），电磁波从密介质入射到疏介质,但 与 相位总是相同,5偏振问题,这样，反射和折射波就被变为部分偏振光（各个方向上 大小不完全相同）。,（2）布儒斯特定律：若 则反射波，即反射波只有 分量；若自然光入射，则反射波为完全线偏振波。,由菲涅尔公式,但由于垂直入射面的分量与平行入射面的分量，其反射和折射行为不同,6正入射（）的菲涅耳公式,其中 为相对折射率,三全反射,1全反射现象,特别是当 时，折射定律的原形式将失去意义，这时一般观察不到折射波，只有反射波，因而称作全反射。实际

8、上仍然有波透射入第二种介质，但是透射波仅仅存在于界面附近薄层中。,折射定律,2全反射情况下 的表达式,设 为全反射情况下的平面波解，仍然假定入射波在 平面，即，,全反射条件为，由、得,虚数,3 折射波的特点,折射波在全反射时沿 轴传播,折射波电场强度沿 轴正向作指数衰减,折射波只存在于界面附近一个薄层内，厚度 与波长同量级（）,4全反射情况下振幅和相位关系,振幅大小相等，有相位差,平行入射时：,垂直入射时：,折射波平均能流密度,入射到界面上的能量全部被反射，因此称为全反射,反射系数,垂直入射时：,4.3 有导体存在时电磁波的传播,（1）真空或介质中电磁波传播可视为无能量损耗，电磁波无衰减；（2

9、）电磁波遇到导体，导体内自由电子在电场的作用下运动，形成电流，电流产生焦耳热，使电磁波的能量不断损耗，因此在导体内部电磁波是一种衰减波；（3）在导体中，交变电磁场与自由电子运动相互作用，使导体中电磁波传播不同于真空或介质中电磁波的传播形式。,一导体内的自由电荷分布,在变化电磁场中，导体不再处于静电平衡状态，必然有体电荷分布，分布随时间变化形成电流，产生附加变化电磁场，形成导体内总电磁场分布，又影响。,1静电场中导体上的电荷分布,静电平衡时，电荷仅分布在表面上，导体内部无电荷，且电场强度垂直导体表面。,2变化场情况下的电荷分布,为特征时间或驰豫时间，表示 减小到 所需时间。,3良导体条件,二导体

10、内的电磁波,1基本方程（导体内部）,良导体中电流也在表面薄层内分布，一般仍用体电流分布来解决问题。注意：用了体电流分布，面电流必须视为零。在特殊情况下采用面电流分布时，就不能再考虑体电流分布。,2导体中的平面波解,（1）引入复介电常数,导体内定态波方程组与介质中定态波方程组形式上完全一样，但介电常数为复数，实部为位移电流的贡献；虚部为传导电流的贡献，引起能耗（耗散功率）。因此，导体内的电磁波有衰减。,（2）直接写出亥姆霍兹方程,3、的意义及表示式,（1）平面电磁波解改写为：,（2）、与 间的关系式,由,（3）平面波解仍可写作,设介质中波矢为，导体中为，则，并设 在 平面，即；即，。,（即 分界

11、面指向导体内部，波沿 方向衰减）,（3）平面波从介质入射到导体表面,正入射时,都沿 方向，导体中的电场为,对良导体情况：,三穿透深度和趋肤效应,波幅降至原值 的传播距离,1穿透深度,在导体中的平面波为,时,2趋肤效应 对于高频电磁波，电磁场及与之相互作用的高频电流集中在导体表面薄层。,3导体内磁场与电场的关系,对良导体,例如，铜 当 时当 兆赫，,因此，电场与磁场有 的相位差。,振幅比：即；,在真空或介质中，两者比较可见导体中磁场比真空或介质中磁场重要的多，金属中电磁能主要是磁场能量。,四导体表面上的反射,电场从真空垂直正入射,及,反射系数为,解得,4.4 谐振腔,TEM波：电场和磁场在垂直传

12、播方向上振动的电磁波。平面电磁波在无界空间中传播时就是典型的TEM波。,一有界空间中的电磁波,1无界空间中横电磁波（TEM波）,2有界空间中的电磁波边值问题,金属一般为良导体，电磁波几乎全部被反射。因此，若空间中的良导体构成电磁波存在的边界，特别是若电磁波在中空的金属管中传播，金属边界制约管内电磁波的存在形式。在这种情况下，亥姆霍兹方程的解不再是平面波解。,二理想导体边界条件,讨论 的理想导体(一般金属接近理想导体)。假定它的穿透深度（）。,1一般边值关系,（由于边界为理想导体，故认为导体内，因此只有面电流分布）设 为导体的电磁场量，为真空或绝缘介质中的电磁场量，。,2理想导体内部,用 代替,

13、则在界面上：,在介质中，应用到界面上有,（在界面上）。,定态波,3理想导体为边界的边值问题,理想导体边值问题,三谐振腔,低频电磁波可采用 回路振荡器产生，频率越高，辐射损耗越大，焦耳热损耗越大（因为，越小，电容电感不能集中分布电场和磁场，只能向外辐射；又因趋肤效应，使电磁能量大量损耗）。,用来产生高频振荡电磁波的一种装置由几个金属板或反射镜（光学）构成，称为谐振腔。,（1）由6个金属壁构成的空腔,6 个面在直角坐标中表示为,（2）设 为腔内 的任意一个直角分量,每个分量都满足,1矩形谐振腔的驻波解,（3）分离变量法求解,2边界条件确定常数,（1）考虑,对，,假定,（2）考虑,3谐振波型,（1）

14、电场强度,两个独立常数由激励谐振的信号强度确定,（2）谐振频率（本征频率）：,（3）讨论,给定一组，解代表一种谐振波型（在腔内可能存在多种谐振波型的迭加）；只有当激励信号频率 时，谐振腔才处于谐振态。,中不能有两个为零，若 则,对每一组 值，有两个独立的偏振波型（这是因为对于确定的 可分解到任意两个方向。,设，则最低谐振频率为,l 最低频率的谐振波型,（1，1，0）型,但在一般情况下，,为横电波,4.5 波导,1低频电路情况,虽然能量在场中传播，但在低频时，场在线路中的作用可由一些参数（电压、电流、电阻和电容等）表示出来，不必直接研究场的分布，用电路方程即可解决。对于低频电力系统一般用双线传输

15、或采用同轴线传输。同轴线传输是为了避免电磁波向外辐射的损耗及周围环境的干扰，但是频率变高时，内线半径小，电阻大，焦耳热损耗严重，趋肤效应也严重。,一高频电磁波能量的传输,高频情况场的波动性明显，电容、电感等概念一般不再适用，线路中电流也具有波动性，电压概念不再适用于高频情况，电路方程求解一般不适用。在有线通讯中，高频电磁波若用双线或同轴线传输，能量因热损耗损失严重。在高频情况常常用一根空心金属管（波导管）传输电磁波，多用于微波范围。,2高频情况,二矩形波导中的电磁波,1矩形波导管,设电磁波沿 轴传播,2解的形式,四个壁构成的金属管，四个面为,其中 满足亥姆霍兹方程,令 代表电场强度任意一个直角

16、坐标分量，它也必然满足上述方程。令：则有,特解为：,3边界条件定常数,与谐振腔讨论相似,其余两个常数 由激发源功率确定。,（1）当 为横波（横电波，即 TE 波）由上式得出，所以、不能同 时为横波；,4 的解由 确定,不能同时为零,（2）当 为横波，横磁波（TM波）,三截止频率,波数，由激发频率 确定；，由 确定；,对于给定的，有可能使 为虚数，变为实数，称为衰减因子；这时电磁波的振幅沿 方向不断衰减。,（3）不同的，有不同的TE 和TM（）,要使电磁波在波导管中传播，必须使,截止频率为：,四TE10 波的电磁场和管壁电流,可得到TE10模的场分量表示式为,得TE10模在波导管内壁上的电流面密度为,由边界条件：,波导窄边上的电流是横向的，窄边上的任何纵向裂缝都对波的传播有较大扰动。但横向裂缝不会影响波在管内的传播。宽边中线上横向电流为零，宽边中部的纵向裂缝不会影响管内波的传播，还可用于探测波导内的物理量。,