第一章行列式.ppt

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1、第一章 行列式,1.1 二阶与三阶行列式1.2 全排列及其逆序数1.3 n 阶行列式的定义1.4 对换 1.5 行列式的性质1.6 行列式按行(列)展开1.7 克拉默法则,1.1 二阶与三阶行列式,二、三阶行列式,一、二元线性方程组与二阶行列式,上页,下页,结束,返回,首页,提示:,a11a22x1+a12a22x2=b1a22,a22,a11x1+a12x2=b1,a12,a12a21x1+a12a22x2=a12b2,a21x1+a22x2=b2,(a11a22-a12a21)x1=b1a22-a12b2,一、二元线性方程组与二阶行列式,下页,提示:,a11a21x1+a12a21x2=b

2、1a21,a21,a11x1+a12x2=b1,a11,a11a21x1+a11a22x2=a11b2,a21x1+a22x2=b2,(a11a22-a12a21)x2=a11b2-b1a21,一、二元线性方程组与二阶行列式,下页,这样就有,一、二元线性方程组与二阶行列式,下页,行列式中的相关术语,行列式的元素、行、列、主对角线、副对角线,对角线法则,a12a21,=a11a22,二阶行列式是主对角线上两元素之积减去的副对角线上二元素之积所得的差,下页,一、二元线性方程组与二阶行列式,下页,例1 求解二元线性方程组,解,由于,a12a21,=a11a22,下页,a11a22a33a12a23a

3、31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31,二、三阶行列式,下页,a11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31,并称它为三阶行列式,行列式中的相关术语,对角线法则,行列式的元素、行、列、主对角线、副对角线,a11a22a33a12a23a31a13a21a32,a11a23a32a12a21a33a13a22a31,二、三阶行列式,下页,按对角线法则 有,解,46324824,(4)2(3),(4)(2)4,D,12(2),21(3),114,2(2)(2),14,下页,由x25x60解得,解,方

4、程左端的三阶行列式,x25x6,D3x24x189x2x212,x2或x3,结束,采用先选定百位数 再选定十位数 最后选定个位数的步骤,1.2 全排列及其逆序数,引例 用1、2、3三个数字 可以组成多少个没有重复数字的三位数？,解,百位数有3种选法,十位数有2种选法,个位数有1种选法,因为3216,所以可以组成6个没有重复数字的三位数,321,这6个三位数是,123,132,231,213,312,上页,下页,结束,返回,首页,举例,我们把n个不同的对象(称为元素)排成一列 叫做这n个元素的全排列(也简称排列),全排列,由a b c组成的所有排列为,cba,cab,bca,bac,acb,ab

5、c,abb是排列吗?,n个不同元素的所有排列的总数 通常用Pn表示 Pn的计算公式 Pnn(n1)(n2)321n!,下页,提示,在一个排列中 如果某两个元素的先后次序与标准排列的次序不同 就说有1个逆序 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数,标准排列,在n个自然数的全排列中排列123 n称为标准排列,逆序与逆序数,以下我们只讨论n个自然数的全排列,下页,在一个排列中 如果某两个元素的先后次序与标准排列的次序不同 就说有1个逆序 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数,标准排列,在n个自然数的全排列中排列123 n称为标准排列,逆序与逆序数,在排列p1p2 pn中 如果pi的前面

6、有ti个大于pi的数 就说元素pi的逆序数是ti,逆序数的计算,排列的逆序数为tt1t2 tn,举例,在排列32514中,t51,t43,t30,t21,t10,排列32514的逆序数为t010315,标准排列12345的逆序数是多少?,下页,在一个排列中 如果某两个元素的先后次序与标准排列的次序不同 就说有1个逆序 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数,标准排列,在n个自然数的全排列中排列123 n称为标准排列,逆序与逆序数,举例,排列32514的逆序数是5 它是奇排列,标准排列12345的逆序数是0 它是偶排列,逆序数为奇数的排列叫做奇排列 逆序数为偶数的排列叫做偶排列,奇排列与偶

7、排列,下页,1.3 n 阶行列式的定义,观察与想考,为了给出n阶行列式的定义 我们要先研究三阶行列式的结构,上页,下页,结束,返回,首页,观察与想考,(1)行列式右边任一项除正负号外可以写成,三阶行列式的结构,其中p1p2p3是1、2、3的某个排列,(2)各项所带的正负号可以表示为(1)t 其中t为列标排列的逆序数,下页,(1)行列式右边任一项除正负号外可以写成,三阶行列式的结构,其中p1p2p3是1、2、3的某个排列,(2)各项所带的正负号可以表示为(1)t 其中t为列标排列的逆序数,三阶行列式可以写成,其中t为排列p1p2p3的逆序数 表示对1、2、3三个数的所有排列p1p2p3取和,下页

8、,n阶行列式的定义,特别规定一阶行列式|a|的值就是a,由n2个数aij(i j1 2 n)构成的代数和,称为n阶行列式 记为,简记为det(aij)其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 表示对所有排列p1p2 pn取和,在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元,下页,例1 证明行列式,上三角形、下三角形及对角形行列式的值等于主对角线上n个元素的乘积,解,因为它的列标排列为标准排列 其逆序数为0 所以在它前面带有正号,要使取自不同行不同列的n个元素的乘积不为零,第一行只能取a11,第二行只能取a22,第三行只能取a33,第n行只能取ann,这样的乘积项

9、只有一个 即a11a22a33 ann,因此,Da11a22a33 ann,下页,解,若记iai ni1 则依行列式定义,(1)ta1na2 n1 an1,其中t为排列n(n1)21的逆序数 故,t012(n1),例2 证明n阶行列式,因此,(1)t12 n,结束,1.4 对换,在排列中 将任意两个元素对调 其余的元素不动 就得到另一个排列 这种对排列的变换方法称为对换 将相邻两个元素对换 叫做相邻对换,对换,举例,在排列21354中 对换1与4,排列21354的逆序数是2,经过对换 排列的奇偶性发生了变化,得到的排列是24351,排列24351的逆序数是5,下页,上页,下页,结束,返回,首页

10、,定理1 一个排列中的任意两个元素对换 排列改变奇偶性,推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数 偶排列变成标准排列的对换次数为偶数,这是因为 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数 而标准排列是偶排列 因此知推论成立,下页,定理1 一个排列中的任意两个元素对换 排列改变奇偶性,推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数 偶排列变成标准排列的对换次数为偶数,结束,1.5 行列式的性质,性质1,性质5、性质6,性质2、性质3、性质4,上页,下页,结束,返回,首页,行列式的转置 将行列式D的行变为列后得到的行列式称为D的转置行列式 记为DT,a11a12a1n,a21a22a2n,an1an2

11、ann,则bij=aji(i,j=1,2,n),显然 如果,即,下页,性质1 行列式D与它的转置行列式DT相等,由此性质可知 行列式中的行与列具有同等的地位 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 反之亦然,行列式的转置 将行列式D的行变为列后得到的行列式称为D的转置行列式 记为DT,a11a12a1n,a21a22a2n,an1an2ann,即,下页,这是因为 把这两行互换 有DD 故D0,性质2 互换行列式的两行 行列式变号,推论 如果行列式有两行(列)完全相同 则此行列式等于零,下页,推论 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,性质2 互换行列式的两行 行列式

12、变号,推论 如果行列式有两行(列)完全相同 则此行列式等于零,性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k 等于用数k乘此行列式,性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例 则行列式等于零,下页,性质5 若行列式的某一行(列)的元素都是两个数之和 则行列式等于两个行列式之和 即,性质6 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去 行列式不变 即,下页,在计算行列式时,可以使用如下记号以便检查:,符号规定,第i行(或列)提出公因子k 记作rik(或cik),交换i j两行记作rirj 交换i j两列记作cicj,以数k乘第j行(列)加到第i行(列)上 记

13、作rikrj(cikcj),下页,解,c1c2,r2r1,r45r1,0,0,8,16,6,4,7,2,r2r3,r34r2,r48r2,40,下页,6,解,c1c2c3c4,6,c16,r2r1,r4r1,r3r1,6848,下页,D,例3 计算,解,r4r3,r3r2,r2r1,r4r3,r3r2,r4r3,a4,下页,对D1作运算rikrj 把D1化为下三角形行列式 设为,证,对D2作运算cikcj 把D2化为下三角形行列式 设为,于是 对D的前k行作运算rikrj 再对后n列作运算cikcj 把D化为下三角形行列式,故Dp11 pkk q11 qnnD1D2,下页,把D2n中的第2n行

14、依次与2n1行、第2行对调(作2n2次相邻对换)再把第2n列依次与2n1列、第2列对调 得,根据例4的结果 有 D2nD2D2(n1)(adbc)D2(n1)以此作递推公式 即得 D2n(adbc)2D2(n2)(adbc)n1D2(adbc)n,解,结束,1.6 行列式按行(列)展开,余子式与代数余子式,行列式按行(列)展开法则,上页,下页,结束,返回,首页,余子式与代数余子式 在n阶行列式Ddet(aij)中 把元素aij所在的第i行和第j列划去后 剩下来的n1阶行列式叫做元素aij的余子式 记作Mij记Aij(1)i jMijAij叫做元素aij的代数余子式,A23(1)23M23M23

15、,例如 已知,则a23的余子式和代数余子式为,下页,引理 在n阶行列式D中 如果第i行元素除aij外都为零 那么这行列式等于aij与它的代数余子式Aij的乘积 即DaijAij,余子式与代数余子式 在n阶行列式Ddet(aij)中 把元素aij所在的第i行和第j列划去后 剩下来的n1阶行列式叫做元素aij的余子式 记作Mij记Aij(1)i jMijAij叫做元素aij的代数余子式,下页,定理3(行列式按行(列)展开法则)行列式等于它的任一行(列)各元素与其对应的代数余子式乘积的和 即 Dai1Ai1ai2Ai2 ainAin(i=1 2 n)或 Da1j A1ja2j A2j anj Anj

16、(j=1 2 n),推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 即 ai1Aj1ai2Aj2 ainAjn 0(ij)或 a1i A1ja2i A2j ani Anj0(ij),综合结论,下页,D=a13A13+a23A23+a33A33+a43A43,其中a13=3 a23=1 a33=-1 a43=0,例1 计算行列式,将D按第三列展开,解,所以,=-24,D=319+1(-63)+(-1)18+0(-10),应有,下页,注,行列式Dn称为n阶范德蒙行列式。,提示,第n1行乘a1加到第n行 第n2行乘a1加到第n1行 第n3行乘a1加到第n2行,提示,

17、按第一列展开,提示,各列提出公因式,例2,下页,(a2a1)(a3a1)(ana1)(a3a2)(ana2)Dn2,例2,(a2a1)(a3a1)(ana1)Dn1,于是,Dn(a2a1)(a3a1)(ana1)Dn1,下页,相关结果,行列式按第i行展开 得,将元素ai1换成b1 ai2换成b2 ain换成bn 得,下页,相关结果,如果第i行的元素为b1 b2 bn 则有,如果第j列的元素为b1 b2 bn 则有,下页,解,按第三列展开,c2c1,按第三行展开,4,下页,解,M11M21M31M41,A11A21A31A41,0,r4r3,按第四行展开,r12r3,结束,1.7 克拉默法则,本

18、节讨论n个未知数n个方程的线性方程组,的求解问题,(),上页,下页,结束,返回,首页,克拉默法则,如果线性方程组()的系数行列式D不等于零 则方程组()有唯一解,其中Dj(j1 2 n)是把系数行列式D中第j列的元素a1j a2j anj对应地换为方程组的常数项b1 b2 bn后所得到的n阶行列式,下页,提示,克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零 则方程组有唯一解xjDj/D(j1 2 n),因为,解,D27,D181,27,81,下页,克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零 则方程组有唯一解xjDj/D(j1 2 n),提示,27,108,因为,D27,D2108,D1

19、81,解,下页,克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零 则方程组有唯一解xjDj/D(j1 2 n),提示,27,27,因为,D27,D327,D2108,D181,解,下页,克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零 则方程组有唯一解xjDj/D(j1 2 n),提示,27,27,因为,D27,D427,D327,D2108,D181,解,下页,所以 所给方程组的唯一解为,克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零 则方程组有唯一解xjDj/D(j1 2 n),因为,D27,D427,D327,D2108,D181,解,下页,提示,例2 设曲线ya0a1xa2x2a3x

20、3通过四点(1 3)、(2 4)、(3 3)、(4 3)求系数a0 a1 a2 a3,把四个点的坐标代入曲线方程 得线性方程组,解,(41)(31)(21)(42)(32)(43),12,因为,D12,下页,提示,例2 设曲线ya0a1xa2x2a3x3通过四点(1 3)、(2 4)、(3 3)、(4 3)求系数a0 a1 a2 a3,把四个点的坐标代入曲线方程 得线性方程组,36,解,因为,D12,D136,12,下页,提示,例2 设曲线ya0a1xa2x2a3x3通过四点(1 3)、(2 4)、(3 3)、(4 3)求系数a0 a1 a2 a3,把四个点的坐标代入曲线方程 得线性方程组,1

21、8,解,因为,D12,D218,D136,12,下页,提示,例2 设曲线ya0a1xa2x2a3x3通过四点(1 3)、(2 4)、(3 3)、(4 3)求系数a0 a1 a2 a3,把四个点的坐标代入曲线方程 得线性方程组,24,解,因为,D12,D324,D218,D136,12,下页,提示,例2 设曲线ya0a1xa2x2a3x3通过四点(1 3)、(2 4)、(3 3)、(4 3)求系数a0 a1 a2 a3,把四个点的坐标代入曲线方程 得线性方程组,因为,D12,D46,D324,D218,D136,6,解,12,下页,例2 设曲线ya0a1xa2x2a3x3通过四点(1 3)、(2

22、 4)、(3 3)、(4 3)求系数a0 a1 a2 a3,把四个点的坐标代入曲线方程 得线性方程组,因为,D12,D46,D324,D218,D136,解,所以方程有唯一解,即曲线方程为,下页,讨论 常数项均为零的线性方程组称为齐次线性方程组问齐次线性方程组有什么样的解?,定理4 如果线性方程组()的系数行列式D0 则方程组()一定有解 且解是唯一的 定理4 如果线性方程组()无解或有两个不同的解 则它的系数行列式必为零,提示,下页,定理5 如果齐次线性方程组()的系数行列式D0 则齐次线性方程组()没有非零解 定理5 如果齐次线性方程组()有非零解 则它的系数行列式必为零,齐次线性方程组,下页,若所给齐次线性方程组有非零解 则其系数行列式D0 而,解,(5)(6)(4),由D0,得2、5或8,(5)(2)(8),4(4)4(6),结束,当2、5或8时 齐次线性方程组有非零解,