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1、第一章函 数、极 限 与 连 接,(一)本 章 内 容 小 结,(二)常见问题分类及解法,(三)思 考 题,(四)课 堂 练 习,(一)本章内容小结,一、本章的主要内容,函数的定义；函数的几种特性；复合函数、反函数与初等函数的概念；数列与函数极限的定义；极限的运算法则；无穷小与无穷大的概念；两个重要极限；无穷小的比较；函数在点与区间的连续性及间断性；闭区间上连续函数的性质。,二、几个常用的基本极限,三、几个充要条件,六、本章关键词,函数 极限 连续,(二)常见问题分类及解法,一、求函数的定义域,分式的分母不等于零；,偶次方根式中，被开方式大于等于零；,含有对数的式子，真数式大于零；,反正弦、反
2、余弦符号内的式子绝对值小于等于1；,分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；,例1 求下列函数的定义域：,解,所求定义域应使函数式中各部分都有意义，即求解不等式组。,(1)若使函数有意义，必须,(2)若使函数有意义，必须,解,二、判断两个函数是否相同,一个函数的确定取决于其定义域和对应关系的确定，因此判断两个函数是否相同必须判断其定义域是否相同，且要判断函数表达式是否统一即可。,例3 判断下列各对函数是否相同？,利用定义域和对应法则来判断。,解,三、判断函数奇偶性,判断函数的奇偶性，主要的方法就是利用定义，其次是利用奇偶的性质，即奇(偶)函数之和仍是奇(偶)函数；两个奇函数之积是偶函数；两个偶
3、函数之积仍是偶函数；一奇一偶之积是奇函数。,例4 判断下列函数的奇偶性：,解,(1)用定义判断,(2)用性质判断,四、数列极限的求法,利用数列极限的四则运算法则、性质以及已知极限求极限。,例5 求下列数列极限：,解,2、若通项中含有根式，一般采用先分子或分母有理化，再求 极限的方法。,对通项式有理化得,解,3、若所求极限是无穷项之和，通常先利用等差或等比数列的 前n项和公式求和，再求极限。,解,4、利用两边夹逼定理求数列极限，方法是将极限式中的每一项 放大或缩小，并使放大、缩小后的数列具有相同的极限。,解,例9 求下列极限：,解,五、函数极限的求法,函数的极限比数列的极限复杂，原因有两个，一是
4、自变量的变化过程多；二是函数式复杂；因此，求函数的极限首先要观察自变量的变化和函数表达式，然后选择适当方法.一般地，函数极限有以下几种求法：,解,例11 已知,解,解,解,利用无穷小量的特性以及无穷小量与无穷大量的关系求极 限。即无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量；有限个无 穷小量之积仍是无穷小量；有限个无穷小量之代数和仍为 无穷小量等。无穷小量与无穷大量的关系是互为倒数。,例14 求下列函数的极限：,解,(2)利用无穷大量与无穷小量的关系求该极限。,六、判断函数连续性,利用函数连续性的等价定义，对于分段函数在分界点的连续性，可用函数在某点连续的充要条件以及初等函数在其定义域内是连续函数的结论等来讨论函数的连续性。,解,解,(三)思考题,1、讨论分段函数连续性的关键是什么？,2、奇、偶函数有何性质？,3、函数的极限比数列的极限复杂，为什么？,4、无穷小与无穷大是什么关系？,答 案,答 案,答 案,答 案,(四)课堂练习题,答 案,答 案,答 案,答 案,返 回,1、是着重讨论分段函数的分界点的连续性.,返 回,2、奇(偶)函数之和仍是奇(偶)函数；两个奇函数之积是偶 函数；两个偶函数之积仍是偶函数；一奇一偶之积是奇 函数.,返 回,3、首先是因为自变量的变化过程多；其次是因为函数式 复杂.,返 回,4、互为倒数.,返 回,返 回,返 回,返 回,
