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1、第三章 初等代数运算命令与例题,北京交通大学,3.1多项式运算,多项式是我们最熟悉的简单表达式，n 次一元多项式的一般形式为:Pn(x)=a 0+a1x+a2x 2+a nx n在Mathematica 中,有关表达式的任何运算都可以应用到多项式中，特别，多项式的加减乘除四则运算只要用Mathematica 中的加减乘除号来连接两个多项式即可,如:数学形式 Mathematica 输入形式 多项式相加(3+x 2)+(1-2x5)(3+x2)+(1-2*x5)多项式相减(3+x 2)-(1-2x5)(3+x2)-(1-2*x5)多项式相乘(3+x 2)(1-2x5)(3+x2)*(1-2*x5
2、)多项式相除(3+x 2)(1-2x5)(3+x2)/(1-2*x5),下面列举其中的常用函数及功能:,Mathematica 函数形式 功能1)Expand多项式 把多项式按升幂展开2)Factor多项式 对多项式进行因式分解3)Collect多项式,x 把多项式按x的同次幂合并形式展开4)Simplify多项式 把多项式写成项数最小的形式5)Exponent多项式,x 取出多项式中x的最高幂数6)Coefficient多项式,form 取出多项式中form的系数7)Part多项式,n 取出多项式的第n项8)Length多项式 给出多项式的项数9)PolynomialQuotientp,q,
3、x 计算pq的商,这里p,q是关于x的多项式10)PolynomialRemainderp,q,x 计算pq的余式,这里p,q是关于x的多项式11)PolynomialGCDp,q,求多项式p,q,的最大公因子12)PolynomialGCDp,q,求多项式p,q,的最小公倍数,例1:展开多项式(2+3x)4，并取出它的第3项。解:Mathematica 命令为:In1:=p=Expand(2+3x)4Out1=16+96x+216x 2+216x3+81x4In2:=Partp,3Out2=216 x2,例2:设多项式q=(1+2x-y)2，做(1)展开多项式q(2)按y的同次幂合并形式展开
4、多项式q(3)取出多项式q中y和xy的系数解:Mathematica 命令为:In3:=q=Expand(1+2x-y)2Out3=1+4 x+4 x 2-2 y-4 x y+y2 In4:=Collect(1+2x-y)2,y Out4=1+4 x+4 x 2+(-2-4 x)y+y2In5:=Coefficientq,yOut5=-2-4 xIn6:=Coefficientq,x*yOut6=-4,例3:对多项式120-46x-19 x 2+4 x 3+x 4进行因式分解。解:Mathematica 命令为:In7:=Factor120-46x-19 x2+4 x3+x4Out7=(-3+
5、x)(-2+x)(4+x)(5+x)例4:设多项式p=1-4x-19 x2+4 x3，q=1-3x，1)计算pq的商；2)计算pq的余式 解:Mathematica 命令为:In8:=p=1-4x 19x2+4x3;q=1-3x;In9:=PolynomialQuotientp,q,xOut9=89/27+53 x/9-4 x2/3 In10:=PolynomialRemainderp,q,xOut10=-62/27,例5:设多项式p=120-46x-19 x 2+4 x 3+x 4，q=20 x+9x2+x 3 1)求多项式p，q的最大公因子；2)求多项式p，q的最小公倍数 解:Mathem
6、atica 命令为:In11:=p=120-46x-19 x2+4 x3+x4;q=20 x+9x2+x3;In12:=PolynomialGCDp,q Out12=20+9 x+x2 In13:=PolynomialLCMp,q Out13=120 x-46 x2-19 x3+4 x4+x5,3.2有理函数运算,两个多项式相除构成有理函数，它的一般形式为:在Mathematica 中提供了有理函数运算的一些函数，常用的函数有:Mathematica 函数形式 功能1)Togetherexpr 对expr进行通分2)Apartexpr 把expr写成简单分式之和3)Cancelexpr 对ex
7、pr进行约分 4)Simplifyexpr 对expr进行化简5)Numerator有理函数 取出有理函数的分子6)Denominator有理函数 取出有理函数的分母,例6:设有理函数之和为:1)对r(t)通分；2)取出r(t)的分子；3)取出r(t)的分母解:Mathematica 命令为:In14:=r=6/t-3/(1+t)-(3t+3)/(1+t2);In15:=s=Togetherr In16:=Numerators Out16=6In17:=Denominators Out17=t(1+t)(1+t)2,例7:设有理函数为1)把q(x)写成简单分式之和；2)对qx进行约分；3)对q
8、(x)进行化简:解:Mathematica 命令为:In18:=q=(1-x2)/(9+21x+16x2+4x3);In19:=Apartr In20:=CancelqIn21:=Simplifyq,3.3连续求和与连续求积运算,在数学中，有时需要计算n个有规律的数相加或相乘，这就是数学中由符号表示求和运算和由符号表示的求积运算，即:上式中 ai 称为通项.Mathematica 提供了这种快速求和和求积运算命令。3.3.1 连续求和命令连续求和命令的一般形式为 Sum 通项,求和范围 或 NSum 通项,求和范围,命令形式1:Sumf(i),i，imin，imax，h 功能：计算和 f(im
9、in)+f(imin+h)+f(imin+2h)+f(imin+nh)imax h imin+nh imax,h0例如：计算和12+3 2+19 2,由连加的规律,知通项为i2 Mathematica命令：In22:=Sum i2,i,1,19,2 Out22=1330,命令形式2:Sum f(i),I，imin，imax 功能：计算和 f(imin)+f(imin+1)+f(imin+2)+f(imax)例如：计算 Mathematica命令：In23:=s=Sum1/(k2-1),k,3,20Out23=103/280,命令形式3:Sum f(i,j)，i，imin，imax,j,jmin
10、，jmax功能：计算二重和式例如：计算 Mathematica 命令:In24:=Sum(i-j)3,i,1,20,j,1,10Out24=149500,例8:计算:解:Mathematica 命令为:In25:=s1=SumSink,k,1,5 Out25=Sin1+Sin2+Sin3+Sin4+Sin5 In26:=s1=NSumSink,k,1,5 Out26=0.176162 In27:=s2=NSum1/k2,k,1，Infinity Out27=1.64493,例9:设 用Sum命令生成s1(x),s3(x),s6(x),并在同一个坐标系中画出s1(x),s3(x),s6(x)在-
11、1,1上的图形解:Mathematica 命令为:In28:=s1=Sum(k+1)*xk,k,0,1Out28=1+2xIn29:=s3=Sum(k+1)*xk,k,0,3Out29=1+2x+3x 2+4x3In30:=s6=Sum(k+1)*xk,k,0,6Out30=1+2x+3x2+4x3+5x 4+6x5+7x 6In31:=Plots1,s3,s6,x,-1,1,3.3.2 连续求积命令,求积命令的一般形式为 Product 通项,求积范围 或 NProduct 通项,求积范围 式中的范围与求和命令Sum相同,具体形式有命令形式1:Product f(i),i，imin，imax
12、，h 功能：计算和 f(imin)f(imin+h)f(imin+2h)f(imin+nh)imax h imin+nh imax,h0例如：计算和1232 19 2,由连乘的规律,知通项为i2 Mathematica命令：In32:=Product i2,i,1,19,2 Out32=428670161650355625,命令形式2:Product f(i),i，imin，imax 功能：计算和 f(imin)f(imin+1)f(imin+2)f(imax)命令形式3:Product f(i,j)，i，imin，imax,j，jmin，jmax功能：计算二重和式,例:计算 Mathemat
13、ica命令：In33:=s=Product1/(k2-1),k,2,15Out33=1/912006534786239692800000例:计算解:Mathematica 命令为:In34:=s=ProductCosk,k,1,4Out34=Cos1 Cos2 Cos3 Cos4 In35:=s=NProductCosk,k,1,4Out35=-0.145498,3.4方程求根,在数学中,函数等于零的式子就称为方程。f（x）=0(1)就称为一元函数方程.类似的有多元函数方程组:1(x1,x2,x n)=0 2(x1,x2,x n)=0.(2)n(x1,x2,x n)=0,3.4.1 求多项式方
14、程的根n次多项式方程的一般形式为:a0+a1x+a2x2+anx n=0式中a0,a1,a2,an为常数。求多项式方程的根的一般形式为 Solve 方程或方程组,变量或变量表 或 NSolve 方程或方程组,变量或变量表 具体形式有:命令形式1:Solveeqn,x功能：求多项式方程eqn的所有根，当多项式方程的次数n4时，给出eqn所有根的准确形式,当n4时，不一定能求出所有的根,此时，命令输出形式为 ToRulesRootseqn,x,命令形式2:Solveeqn1,eqn2,eqnk,x1,x2,xk功能：求多项式方程组eqn1,eqn2,eqnk的所有根,当其中每个多项式方程的次数n4
15、时,给出所有根的准确形式:ToRulesRootseqn1,eqn2,eqnk,x1,x2,xk 命令形式3:NSolveeqn,x功能：求多项式方程eqn的所有根的近似形式。命令形式4:NSolveeqn1,eqn2,eqnk,x1,x2,xk功能：求多项式方程组eqn1,eqn2,eqnk所有根的近似形式。,例:求方程 x3-4x 2+9x-10=0 的所有根 解:Mathematica 命令为:In36:=Solvex3-4x2+9x-10=0,xOut36=x-1-2 I,x-1+2 I,x-2所以，所求全部根为 x1=1-2I，x2=1+2I，x3=2，I为虚数单位。例:求方程x 2
16、-ax-4b=0的所有根，a，b 为常数。解:Mathematica 命令为:In37:=Solvex2-a*x-4*b=0,x a-Sqrta2+16b a+Sqrta2+6bOut37=x-,x-2 2所求全部根为 a-Sqrta2+16b a+Sqrta2+6b x1=-,x2=-2 2,例:求方程组 x+3y=0 x2+y2=1 的所有根。解:Mathematica 命令为:In38:=Solvex+3y=0,x2+y2=1,x,y-3 1 3 1 Out38=x-,y-,x-,y-(-)Sqrt10 Sqrt10 Sqrt10 Sqrt10所求全部根为-3 1 3 1x1=-,y1=
17、-,x2=-,y2=-(-)Sqrt10 Sqrt10 Sqrt10 Sqrt10,例:求方程 x6-x2+2x-3=0 的所有根。解:Mathematica 命令为:In39:=Solvex6-x2+2x-3=0,xOut39=ToRulesRoots2 x x2+x6=3,x In40:=NSolvex6-x2+2x-3=0,xOut40=x-1.40825,x-0.465869-1.19413 I,x-0.465869+1.19413 I,x-0.608047-0.885411 I,x-0.608047+0.885411 I,x-1.12389 得所求全部6个近似根为 x1=-1.408
18、25,x2=-0.465869-1.19413 I x3=-0.465869+1.19413 I,x4=0.608047-0.885411 I,x5=0.608047+0.885411 I,x6=1.12389,I为虚数单位。,例:求方程组 a1+a2=1 x1 a1+x2a2=1/4 x12a1+x22 a2=1/9 x13a1+x23 a2=1/16 的所有根，这里x1，x2，a1，a2 是变量。解:Mathematica 命令为:In41:=Solvea1+a2=1,x1*a1+x2*a2=1/4,x12*a1+x22*a2=1/9,x13*a1+x23*a2=1/16,a1,a2,x1
19、,x2 212-9 Sqrt106 212+9 Sqrt106 Out41=a1-,a2-,424 424 15-Sqrt106 180+12 Sqrt106 x2-,x1-,42 504,In42:=N%Out42=a1-0.281461,a2-0.718539,x2-0.112009,x1-0.602277,a1-0.718539,a2-0.281461,x2-0.602277,x1-0.112009In43:=N%,8Out43=a1-0.28146068,a2-0.71853932,x2-0.11200881,x1-0.60227691,a1-0.71853932,a2-0.28146
20、068,x2-0.60227691,x1-0.11200881,3.4.2 求超越方程的根求超越方程的根的一般形式为 FindRoot 方程或方程组,变量或变量表,初值 具体形式有命令形式1:FindRooteqn,x,x0功能：求方程eqn的在初值x0附近的一个近似根。命令形式2:FindRooteqn1,eqn2,.,x,x0,y,y0,.功能：求方程组eqn1,eqn2,在初值(x0,y0,)附近的一个近似根。,例:求方程组 x=y2 y=cos x 在(1,2)附近的根 解:Mathematica 命令为:In44:=FindRootx=y2,y=Cosx,x,1,y,2Out44=x-0.641714,y-0.801071 所求的根为 x=0.641714,y=0.801071。,例:求方程x sin x=1在0,5内的所有根。解:Mathematica 命令为:In45:=Plotx*Sinx-1,x,0,5In46:=FindRootx*Sinx 1=0,x,1（*方程在1附近的根)Out46=x-1.11416 In47:=FindRootx*Sinx 1=0,x,3（*方程在3附近的根)Out47=x-2.7726 所求根为x1=1.11416,x2=2.7726。,第三章结束谢谢!,
