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第四节 函数展开成幂级数,一、泰勒级数,二、函数展开成幂级数,三、小结 思考题,一、泰勒级数,上节例题,存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数,问题:,1.如果能展开,是什么?,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,证明,泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得,泰勒系数,问题,泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?,不一定.,定义,可见,在x=0点任意可导,证明,必要性,充分性,证明,二、函数展开成幂级数,1.直接法(泰勒级数法),步骤:,例1,解,由于M的任意性,即得,例2,解,例3,解,两边积分,得,即,牛顿二项式展开式,注意:,双阶乘,2.间接法,根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.,例如,例4,解,三、小结,1.如何求函数的泰勒级数;,2.泰勒级数收敛于函数的条件;,3.函数展开成泰勒级数的方法.,思考题,什么叫幂级数的间接展开法？,思考题解答,从已知的展开式出发,通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数展开式的方法称之.,练 习 题,练习题答案,
