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1、第四节 导数的应用,(一),目的与要求了解Lagrange中值定理及其几何意义掌握罗必塔(LHospital)法则会用罗必塔法则求未定式极限理解函数极值的概念,掌握求函数的极值(local max or min),用导数判断函数的增减性(increasing or decreasing),凹凸性(concave up or concave down),求函数图形的拐点(inflection point)等方法。能描绘函数的图形(包括水平、铅直和斜渐近线),掌握函数的最大值(max)和最小值(min)的求法及其简单应用,1、费马(Fermat)定理:,一、中值定理,2、罗尔(Rolle)定理,例
2、如,证明:,故在 a,b 上取得最大值M 和最小值 m,若 M=m,则,因此,若 M m,则 M 和 m 至少有一个与端点值不等,几何解释:,注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,例如,又例如,例1,证,由介值定理,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,3、拉格朗日(Lagrange)中值定理,推论1,推论2,例2,证,例3,证,由上式得,二、罗彼塔(LHospital)法则,定义,例如,定理,定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为罗必塔法则.,例1,解,例2,解,例3,解,例4,解,例5,解,注意：罗必塔法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.,例6,解,例7,解,关键:将其它类型未定式化为罗必塔法则可解决的类型.,步骤:,例8,解,步骤:,步骤:,例9,解,例10,解,例11,解,例12,解,极限不存在,罗必塔法则失效。,注意：罗必塔法则的使用条件,小结：,作业(习题二)27(1)(3)(5)(7)(9)(11);28,
