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1、第5讲,中值定理,应用,研究函数性质及曲线性态,利用导数解决实际问题,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒公式,5 微分中值定理的应用与技巧,51 基本概念、内容、定理、公式,一、罗尔(Rolle)定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、拉格朗日中值定理,三、柯西(Cauchy)中值定理,中值定理,一、罗尔(Rolle)定理,满足:,(1)在区间 a,b 上连续,(2)在区间(a,b)内可导,(3)f(a)=f(b),使,证:,故在 a,b 上取得最大值,M 和最小值 m.,若 M=m,则,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若 M m,则 M 和 m 中至少有一个与
2、端点值不等,不妨设,则至少存在一点,使,注意:,1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.,例如,则由费马引理得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,使,2)定理条件只是充分的.,本定理可推广为,在(a,b)内可导,且,在(a,b)内至少存在一点,证明提示:设,证 F(x)在 a,b 上满足罗尔定理.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、拉格朗日中值定理,(1)在区间 a,b 上连续,满足:,(2)在区间(a,b)内可导,至少存在一点,使,思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数,作辅助函数,显然,在 a,b 上连续,在(a,b)内可导,且,证:,问题转化为证,由罗尔定理知至少存在
3、一点,即定理结论成立.,拉氏 目录 上页 下页 返回 结束,证毕,三、柯西(Cauchy)中值定理,分析:,及,(1)在闭区间 a,b 上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,(3)在开区间(a,b)内,至少存在一点,使,满足:,要证,柯西 目录 上页 下页 返回 结束,证:作辅助函数,且,使,即,由罗尔定理知,至少存在一点,思考:柯西定理的下述证法对吗?,两个 不一定相同,错!,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上面两式相比即得结论.,罗尔定理,柯西中值定理,几个中值定理的关系,证明中值定理的方法,辅助函数法,直观分析,逆向分析,例如,证明拉格朗日定理:,要构造满足罗尔定理条件的辅助函数.
4、,方法1.直观分析,由图可知,设辅助函数,(C 为任意常数),方法2.逆向分析,要证,即证,原函数法,辅助函数,同样,柯西中值定理要证,即证,原函数法,设,*中值定理的条件是充分的,但非必要.,可适当减弱.,因此,例如,设,在,内可导,且,则至少存在一点,使,证:设辅助函数,显然,在,上连续,在,内可导,由罗尔,定理可知,存在一点,使,即,*中值定理的统一表达式,设,都在,上连续,且在,内可导,证明至少存在一点,使,证:按三阶行列式展开法有,利用逆向思维设辅助函数,显然 F(x)在a,b 上连续,在(a,b)内可导,且,因此,由罗尔定理知至少存在一点,使,即,说明,设,都在,上连续,且在,内可
5、导,证明至少存在一点,使,若取,即为罗尔定理;,若取,即为拉格朗日中值定理;,若取,即为柯西中值定理;,(自己验证),中值定理的主要应用与解题方法,中值定理,原函数的性质,导函数的性质,反映,反映,中值定理的主要应用(1)利用中值定理求极限(2)研究函数或导数的性质(3)证明恒等式(4)判定方程根的存在性和唯一性(5)证明有关中值问题的结论(6)证明不等式,解题方法:,从结论入手,利用逆向分析法,选择有关中值定,理及适当设辅助函数.,(1)证明含一个中值的等式或证根的存在,常用,罗尔定理,此时可用原函数法设辅助函数.,(2)若结论中涉及到含一个中值的两个不同函数,可考虑用柯西中值定理.,注：（
6、1）几个中值定理中最重要、最常用的是:罗尔中值定理。（2）应用中值定理的关键为：如何构造合适的辅助函数？（难点、重点）,(3)若结论中含两个或两个以上中值,必须多次,使用中值定理.,(4)若已知条件或结论中含高阶导数,多考虑用,泰勒公式,有时也可考虑对导数用中值定理.,(5)若结论为恒等式,先证变式导数为 0,再利用,特殊点定常数.,(6)若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的,技巧.,构造辅助函数的方法,(1)不定积分求积分常数法.,例1.证明方程,有且仅有一个小于1 的,正实根.,证:1)存在性.,则,在 0,1 连续,且,由介值定理知存在,使,即方程有小于 1 的正根,2)唯一性.,假设
7、另有,为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点,但,矛盾,故假设不真!,设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5.2.例题选讲,例2.,求证存在,使,设,可导，且,在,连续，,证：,因此至少存在,显然,在 上满足罗尔定理条件,即,设辅助函数,使得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,辅助函数如何想出来的？,例3.设函数,在,内可导,且,证明,在,证:取点,再取异于,的点,对,在以,为端点的区间上用拉氏中值定理,得,(界于 与 之间),令,则对任意,即,在,内有界.,内有界.,例4.设函数,在,上连续,在,但当,时,内可导,且,求证对任意,自然数 n,必有,使,分析:在结论中换 为,得,因,
8、所以,证:设辅助函数,显然,在,上满足罗尔定理条件,因此必有,使,即,不定积分求积分常数法!,例5.设函数,在,上二阶可导,且,证明至少存在一点,使,得,证:设辅助函数,因,在,上满足罗尔定理条件,所以存在,使,因此,在,上满足,罗尔定理条件,故必存在,使,即有,不定积分求积分常数法!,例6.设,在,上连续,在,证明存在,内可导,且,使,证:方法1.,因为所证结论左边为,设辅助函数,由于,上满足拉氏中值定理条件,且,易推出所证结论成立.,在,方法2.令,因此可考虑设辅助函数,由于,在,上满足罗尔定理条件,故存在,使,由此可推得,故所证结论成立.,常数变易法,*例7.设,在,上连续,在,证明存在
9、,内可导,且,使,证:,转化为证,设辅助函数,由于它在,满足,拉氏中值定理条件,即证,因此存在,使,再对,转化为证,在,上用拉氏中值定理,则存在,使,因此,*例8.设,在,上连续,在,试证对任意给定的正数,内可导,且,存在,证:,转化为证,因,即,由连续函数定理可知,存在,使,使,因此,对,即,例10.设,至少存在一点,使,证:结论可变形为,设,则,在 0,1 上满足柯西中值,定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点,使,即,证明,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11.试证至少存在一点,使,证:,法1 用柯西中值定理.,则 f(x),F(x)在 1,e 上满足柯西中值定理条件,令,因此,
10、即,分析:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11.试证至少存在一点,使,法2 令,则 f(x)在 1,e 上满足罗尔中值定理条件,使,因此存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例12.当 时,试证,证:设,当 时,在,上,满足拉氏中值定理条件,因此有,解出,则,时,又因,及,在,单调递增,于是,说明:中值定理只告诉位于区间内的中值存在,一般不能确定其值,此例也只给出一个最好的上下界.,构造的辅助函数方法举例.,迫切问题：上面例子中构造的辅助函数如何想出来的？,作业：将上面例子中所构造的辅助函数自己全部练习构造一遍！,思考与练习,1.填空题,1)函数,在区间 1,2 上满足拉格朗日定理,条件,则中值,2)设,有,个根,它们分别在区间,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上.,方程,2.设,且在,内可导,证明至少存,在一点,使,提示:,由结论可知,只需证,即,验证,在,上满足罗尔定理条件.,设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.若,可导,试证在其两个零点间一定有,的零点.,提示:,设,欲证:,使,只要证,亦即,作辅助函数,验证,在,上满足,罗尔定理条件.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
