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1、微分中值定理的应用,1.微分中值定理,1)罗尔定理,2)拉格朗日中值定理,3)柯西中值定理,在 上连续,在 内可导,且,在 上连续,在 内可导,则至少存在一,使,在 上连续,在 内可导,则至少存在一 使,则至少存在一 使,5)三个定理之间的内在联系,拉格朗日中值定理,罗尔定理,柯西中值定理,4)判别 的方法,若,，则,6)微分中值定理的主要应用,(1)研究函数或导数的性态,(2)证明恒等式或不等式,(3)证明有关中值问题的结论,7).有关中值问题的解题方法,利用逆向思维,设辅助函数.,一般解题方法:,证明含一个中值的等式或根的存在,(2)若结论中涉及含中值的两个不同函数,(3)若结论中含两个或
2、两个以上的中值,可用原函数法找辅助函数.,多用罗尔定理,可考虑用柯,西中值定理.,必须多次应用,中值定理.,(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,(5)若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的技巧.,有时也可考虑对导数用中值定理.,5.证明有关中值问题的结论：,题型一：证明存在,使,例1.,证明：（存在与唯一性）设,上可导，,由零点定理，存在,，使,，由罗尔定理知，存在,，使,，即,这与,矛盾.,练习,例2.设,上连续，,求证：,证明:,设,题型二：证明,证明思路：,例3.设,上可导，,求证：,证明:,例4.,设函数 f(x)在 0,3 上连续,在(0,3)内可导,分析:所给条件可写为
3、,试证必存在,想到找一点 c,使,证:因 f(x)在0,3上连续,所以在 0,2 上连续,且在 0,2 上有最大值 M 与最小值 m,故,由介值定理,至少存在一点,由罗尔定理知,必存在,且,例5.,设函数 f(x)具有二阶导数,且,试证必存在,证:,在 0,1 上满足Rolle定理的条件,使,或 的一部分.,构造辅助函数的一般方法：,1.将结论改写为方程；,2.将方程中的 换成；,3.方程的一端就是 或,题型三：证明有关中值的等式成立,例6.设,在,内可导,且,证明至少存在一点,使,上连续,在,证:,设辅助函数,显然,在 0,1 上满足罗尔定理条件,故至,使,即有,少存在一点,问题转化为证,分
4、析,?,练习1,设 在 上连续,在 内可导,且,证明存在一点 使,证明:令,且,即,由已知条件知 在 上连续,在 内可导，,故由罗尔定理知,使,例7.,设 在 上连续,在 内可导,且,证明存在一点 使,证明:令,且,即,由已知条件知 在 上连续,在 内可导，,故由罗尔定理知,使,分析,例8.,证,即,证明：,练习1.,(2),练习2.,设 在 上连续,在 内可导,且,证明存在一点 使,证明:令,且,即,由已知条件知 在 上连续,在 内可导，,故由罗尔定理知,使,练习3.若,可导,试证在其两个零点间一定有,的零点.,提示:,设,欲证:,使,只要证,亦即,作辅助函数,验证,在,上满足,Rolle定
5、理条件.,练习4.,由罗尔定理,练习4.,构造辅助函数,构造辅助函数,构造辅助函数,总结：,通过恒等变形,例9.设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可微,试证存在,(a,b),使,证 对 f(x)与 x2在a,b上使用柯西中值定理,存在(a,b),使,再对 f(x)在a,b上使用拉格朗日中值定理,(a,b),使,上两式相除即得,(a,b).,练习.,例10.设,在,上连续,在,试证对任意给定的正数,内可导,且,存在,证:,转化为证,因,即,由连续函数定理可知,存在,使,使,因此,对,分别在,上用拉氏中值定理,得,即,1.设,且在,内可导,证明至少存,在一点,使,提示:,由结论可知,只需证
6、,即,验证,在,上满足Rolle定理条件.,设,练习,试证至少存在一点,使,2.,则f(x)在 1,e 上,使,因此,证 法一,令,满足Rolle中值定理条件,分析,?,即,3.,分析,将结论交叉相乘得,辅助函数F(x),证,设辅助函数,因此F(x)满足Rolle定理的条件.,即,得,证毕.,4.设,上连续，,求证：,分析:,证明:,设,分析,将所证等式变形为 或,可见，应对 与 在,上应用柯西中值定理.,5.f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导(0 a b),证明存在(a,b),使,证法一 对 f(x)与 g(x)=lnx 在a,b上用柯西中值定理(条件显然满足),得,整理即得所证结果
7、，,即,证法二 令,容易验证(x)在 a,b上满足罗尔定理的条件,故存在(a,b),使()=0,即,整理即得,证,6.,证明,为单调增加函数.,由lagrange中值定理，,7.,证,作辅助函数,8.设,上二阶可导，,求证,证明:,设,9.设,上是导数连续的函数，,求证,证明:,设,即,练习1.设,有界且导函数连续，,求证,证明:,设,即,10.,证明：,(1)反证法，,10.,分析,将结论交叉相乘移项得,辅助函数F(x),(2)设辅助函数,因此F(x)满足Rolle定理的条件.,11.设,上连续，,求证：,证明:,取辅助函数,12.设,上连续，,求证：,分析:,证一:,设,12.设,上连续，,求证：,证二:,设,13.,14.,14.,15.,
