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1、第三章,中值定理,应用,研究函数性质及曲线性态,利用导数解决实际问题,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒公式(第三节),微分中值定理,与导数的应用,一、罗尔(Rolle)定理,第一节,二、拉格朗日中值定理,三、柯西(Cauchy)中值定理,中值定理,第三章,一、罗尔（Rolle）定理,满足:,(1)在区间 a,b 上连续,(2)在区间(a,b)内可导,(3)f(a)=f(b),使,证:,故在 a,b 上取得最大值,M 和最小值 m.,1.若 M=m,则,因此,2.若 M m,则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,不妨设,则至少存在一点,使,是开区间(a,b)内的点，根据条件
2、可知,存在，即极限,而极限存在必定左、右极限都存在并相等，因此,存在,因为,右极限,左极限,即由于f()=M 是f(x)在a,b上的最大值，因此不,论x是正的还是负的，只要+x 在a,b上,总有,当x 0 时,从而当x 0时,因此必然有,1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.,例如,注意:,使,2)定理条件只是充分的.,本定理可推广为,在(a,b)内可导,且,在(a,b)内至少存在一点,证明提示:设,证 F(x)在 a,b 上满足罗尔定理.,试证:存在(a,b)使得,证明：由于a 0,作辅助函数,满足罗尔定理的三个条件，所以,使得,又因为,可得,从而有,例1.,设a 0,f(x)在a,b内
3、连续,在(a,b)上可导,且满足,例2.证明方程,有且仅有一个小于1 的正实根.,证:1)存在性.,则f(x)在 0,1 连续,且f(0)=1，f(1)=-3，,由介值定理知存在,使 f(x0)=0,即方程有小于 1 的正根 x0.,2)唯一性.,假设另有,x0，x1为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点,矛盾,故假设不真!,设,使 f(x1)=0，,二、拉格朗日中值理,(1)在区间 a,b 上连续,满足:,(2)在区间(a,b)内可导,至少存在一点,使,思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数,作辅助函数,显然,在 a,b 上连续,在(a,b)内可导,且,证:,问题转化为证,由罗
4、尔定理知至少存在一点,即定理结论成立.,证毕,y=f(x),书本证明,将辅助函数稍微改动为,证明：考虑函数,容易验证F(x)在 a,b 上满足拉格朗日中值定理条件，,因为b a 4,而,所以，存在(a,b)，使得,即,所以有,例3,设f(x)在区间 a,b 上可导，且b a 4,试证：存在(a,b)，使得,例4,在0,x上f(x)满足拉格朗日中值定理条件,证明不等式:e x 1+x（x0）,不等式:e x 1+x 成立,使得f(x)f(0)=e x 1=e(x 0)x,证：令f(x)=e x,f()=e 1,存在(0,x),拉格朗日中值定理的有限增量形式:,推论:,若函数,f(x)在区间 I
5、上满足,则f(x)在 I 上必为常数.,证:在 I 上任取两点x1，x2（x1 x2）,在x1，x2上拉格朗日中值公式,得,由x1，x2 的任意性知 f(x)在 I 上为常数.,令,则,练习.证明等式,证:设,由推论可知,(常数),令 x=0,得,又,故所证等式在定义域 上成立.,自证:,经验:,欲证,时,只需证在 I 上,三、柯西(Cauchy)中值定理,分析:,(1)在闭区间 a,b 上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,(3)在开区间(a,b)内,至少存在一点,使,满足:,要证,f(x)及F(x),证:作辅助函数,且,由罗尔定理知,至少存在一点,思考:柯西定理的下述证法对吗?,两个 不
6、一定相同,错!,上面两式相比即得结论.,教材所作辅助函数为,柯西定理的几何意义:,注意:,弦的斜率,切线斜率,试证：对,恒有,证明：对函数,在区间0,x上应用柯西中值定理:,使得,对,可由,在区间0,x上应用拉格朗日中值定理证得,从而,例5,例6+.设,证明:至少存在一点,使,证:结论可变形为,设,则,在 0,1 上满足柯西中值,定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点,使,即,内容小结,1.微分中值定理的条件、结论及关系,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,2.微分中值定理的应用,(1)证明恒等式,(2)证明不等式,(3)证明有关中值问题的结论,关键:利用逆向思维设辅助函数,思考与练习
7、,1.填空题,1)函数,在区间 1,2 上满足拉格朗日定理,条件,则中值,2)例设,有,个根,它们分别在区间,上.,方程,方程,有 个根,方程,有 个根。,2.思考:在,即,当,时,问是否可由此得出,不能!,因为,是依赖于 x 的一个特殊的函数.,因此由上式得,表示 x 从右侧以任意方式趋于 0.,应用拉格朗日中值定理得,上对函数,拉格朗日(1736 1813),法国数学家.,他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百,余年来,数学中的许多成就都直接或间,接地溯源于他的工作,他是对分析数学,产生全面影响的数学家之一.,柯西(1789 1857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有 27 卷.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的分析教程,无穷小分析概论,微积,分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远.,对数学的影,他是经典分析的奠人之一,他为微积分,所奠定的基础推动了分析的发展.,复变函数和微分方程方面.,一生发表论文800余篇,著书 7 本,
