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1、1,第三章 导数的应用,导数是研究函数性质的重要工具.仅从导数概念出发并不能充分体现这种工具的作用,需要微分学的基本定理作为桥梁.,微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理.,3.1 中值定理,定理1(罗尔定理)设函数(x)满足下列条件:(1)在闭区间 a,b上连续;(2)在开区间(a,b)上可导;(3)(a)=(b);,罗尔(Rolle)定理,2,则在(a,b)内至少存在一点,使得,b,o,x,A,B,y=f(x),a,y,罗尔定理的几何意义:,函数(x)在a,b上的图形是连续曲线弧 AB,如果除端点外,处处具有不垂直于 x 轴的切线,且在闭区间a,b的两个端点a与b处的纵坐
2、标相同,即(a)=(b);此时弦,3,AB平行于 x 轴;则在弧 AB 上至少能找到一点C(),使曲线在点 C 处的切线平行于弦AB,即平行于x轴,从而该点C处的切线斜率为,b,o,x,A,B,y=f(x),a,y,4,注1.罗尔定理中的三个条件是充分条件,缺一不可.否则结论不一定成立.(一般地说结论正确就需证明;否则,只须举反例即可)用下列各图形分别说明:,o,y,x,a,b,y=f(x),o,y,x,a,b,y=f(x),o,y,x,a,b,y=f(x),(x)在a,b内有间断点,(x)在(a,b)内有不可导点(尖点),注2.罗尔定理中的三个条件是充分而不必要的,如,5,此函数在其定义域内
3、罗尔定理中的三个条件均不满足,但是却存在 和=,使,o,x,y=f(x),y,6,例1.验证函数 在区间1,2上满足罗尔定理的条件,并求出满足此结论中的 值.,注3.罗尔定理是定性的结果,它只肯定了至少存在一个,而不能肯定 的个数,也没有指出实际计算 的值的方法.但对某些简单情形,可从方程中解出.,7,解 因(x)是一初等函数,其定义域为,则(x)在1,2上连续,在(1,2)内存在,即(x)在(1,2）可导.,则满足题意的点为,而(1)=(2)=0.即(x)在 1,2上满足罗尔定理的条件.由,8,例2.不求函数(x)=(x1)(x2)(x3)x 的导数,说明方程 有几个实根?并指出它们所在区间
4、.,9,例3.设(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且(a)=(b)=0.试证:在(a,b)内至少存在一点,使得,显然罗尔定理的端点条件要求太强了,将它去掉后就有,证,则 F(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且,F(a)=F(b)=0,即满足罗尔定理的条件.,则在(a,b)内至少存在一点,使得,10,二.拉格朗日(Lagrange)中值定理,定理2 拉格朗日(Lagrange)中值定理)设函数(x)满足下列条件:(1)在闭区间a,b上连续;(2)在开区间(a,b)上可导;,则在(a,b)内至少存在一点,使得,o,x,y,y=f(x),a,A,b,B,C,或 也称微分中值定理.,几
5、何意义:,如果在连续曲线弧AB上,除端点外,处处具有,不垂直于x轴的切线,又因弦AB的斜率为 则在弧AB上至少,D,11,o,x,y,y=f(x),a,A,b,B,既然罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形,下面利用分析的方法来构造辅助函数.,要证,故只须令 F(x)=(b)(a)(xa)(x)(a)(ba),C,能找到一点C,使曲线在点 C 处的切线平行于弦 AB.,从而只需验证 F(x)满足罗尔定理的条件即可.易验证这个函数的连续性、可导性以及端点条件.,注:在a,b内的任意闭区间 上,拉格朗日中值定理均成立.,D,12,特别地,若 x 与 x+x为区间(a,b)内的任意两点,则有,由于当x
6、为有限时,上式是y的准确表达式.因而也把上式称为有限增量公式.而函数的微分 仅是y的近似表达式,因而有限增量公式在理论上十分有用.,13,例4.验证函数(x)=ln x在1,e上满足拉格朗日中值定理.若满足求出.,解 因(x)在 1,e上连续,在(1,e)内可导.即(x)在 1,e上满足拉格朗日中值定理.而,则由拉格朗日中值公式有,14,推论1.,几何意义：斜率处处为 0 的曲线,一定是平行于 x 轴的直线.,推论2.,下面利用拉格朗日中值定理证明等式和不等式.,例5.证明,证,15,例6.证明不等式,分析:因 0 a b,从而 b a不为0,即只须证,是函数值之差,可以考虑用拉格朗日中值定理
7、,解,令(x)=ln x,因(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导.即(x)在 a,b上,满足拉格朗日中值定理.从而,另一方面,显然,利用拉格朗日中值定理证明等式的关键是:,16,例7.当 x 1时,证明不等式,最后特殊取点,(2)根据不等式的特点选取适当的函数(x)及对应区间a,b,使其满足定理的条件,便有,再根据 a b 放大或缩小导数,证出不等式.,解 令,(1)根据等式特点选取适当的函数(x).先证,再证,17,则在(a,b)内至少存在一点,使得,定理3(柯西Cauchy中值定理),(1)在闭区间a,b上连续；(2)在开区间(a,b)上可导；,理论证明略.,注：当 g(x)=x时,柯西中值定理即为拉格朗日中值定理.,若函数(x),g(x)满足下列条件：,三.柯西(Cauchy)中值定理,18,例8.若(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导且a 0,试证在(a,b)内方程 至少存在一个根.,证 因,而 在a,b上满足柯西中值定理的条件.,所以在(a,b)内至少存在一点,使得,故在(a,b)内方程至少存在一个根.,19,结论:拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广;柯西中值定理又是拉格朗日中值定理的推广.柯西中值定理的特殊情形为拉格朗日中值定理,拉格朗日中值定理的特殊情形为罗尔定理.,C,R,L,(a)=(b),g(x)=x,
