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1、2023年11月6日星期一,1,高等数学多媒体课件,牛顿（Newton）,莱布尼兹（Leibniz）,2023年11月6日星期一,2,第三章 微分中值定理与导数的应用,第三节 洛必达法则,第二节 泰勒(Taylor)公式,第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性,第五节 函数的极值与最大值、最小值,第一节 微分中值定理,第六节 函数图形的描绘,第七节 曲率,2023年11月6日星期一,3,第一节 微分中值定理,第三章,二、微分中值定理,一、函数的极值,三、小结与思考题,（The Mean Value Theorem）,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,2023年11月6日星期一,4,一、
2、函数的极值（Extremums of Function）,2023年11月6日星期一,5,注意：函数的极大值、极小值与最大值、最小值的区别函数的极值是对一点的邻域来说的，是局部性概念；而最值（最大值、最小值的简称）是整体性概念,2023年11月6日星期一,6,费马引理（Fermat Lemma）,且,存在,证:设,则,证毕,2023年11月6日星期一,7,二、微分中值定理,1.罗尔（Rolle）定理,满足:,(1)在区间 a,b 上连续,(2)在区间(a,b)内可导,(3)f(a)=f(b),使,证:,故在 a,b 上取得最大值,M 和最小值 m.,2023年11月6日星期一,8,若 M=m,
3、则,因此,若 M m,则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,不妨设,则至少存在一点,使,则由费马引理得,注意:,定理条件条件不全具备,结论不一定成立.,例如,2023年11月6日星期一,9,提示：,2023年11月6日星期一,10,有且仅有一个小于1 的,正实根.,证:1)存在性.,则,在 0,1 连续,且,由介值定理知存在,使,即方程有小于 1 的正根,2)唯一性.,假设另有,为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点,但,矛盾,故假设不真!,设,例2 证明方程,（补充题）,2023年11月6日星期一,11,2.拉格朗日（Lagrange）中值定理,(1)在区间 a,b 上连续,满足:,
4、(2)在区间(a,b)内可导,至少存在一点,使,思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数,作辅助函数,显然,在 a,b 上连续,在(a,b)内可导,且,证:,问题转化为证,由罗尔定理知至少存在一点,即定理结论成立.,证毕,2023年11月6日星期一,12,推论:,若函数,在区间 I 上满足,则,在 I 上必为常数.,证:在 I 上任取两点,日中值公式,得,由 的任意性知,在 I 上为常数.,令,则,拉格朗日中值定理的有限增量形式:,2023年11月6日星期一,13,证:设,由推论可知,(常数),令 x=0,得,又,故所证等式在定义域 上成立.,自证:,经验:,欲证,时,只需证在 I 上
5、,例3 证明等式,2023年11月6日星期一,14,证:设,中值定理条件,即,因为,故,因此应有,例4 证明不等式,2023年11月6日星期一,15,3、柯西(Cauchy)中值定理,分析:,及,(1)在闭区间 a,b 上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,(3)在开区间(a,b)内,至少存在一点,使,满足:,要证,2023年11月6日星期一,16,且,使,即,由罗尔定理知,至少存在一点,思考:柯西定理的下述证法对吗?,两个 不一定相同,错!,上面两式相比即得结论.,证:作辅助函数,2023年11月6日星期一,17,解题思路：,2023年11月6日星期一,18,内容小结,1.微分中值定理的条
6、件、结论及关系,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,2.微分中值定理的应用,(1)证明恒等式,(2)证明不等式,(3)证明有关中值问题的结论,关键:利用逆向思维设辅助函数,费马引理,2023年11月6日星期一,19,课后练习,习题3-1 3；5；7；8；12；14,思考与练习,1.填空题,1)函数,在区间 1,2 上满足拉格朗日定理,条件,则中值,2)设,有,个根,它们分别在区间,上.,方程,2023年11月6日星期一,20,且在,内可导,证明至少存,在一点,使,提示:,由结论可知,只需证,即,验证,在,上满足罗尔定理条件.,设,2.设,2023年11月6日星期一,21,可导,试证在其两
7、个零点间一定有,的零点.,提示:,设,欲证:,使,只要证,亦即,作辅助函数,验证,在,上满足,罗尔定理条件.,3.若,2023年11月6日星期一,22,使,证:,法1 用柯西中值定理.,则 f(x),F(x)在 1,e 上满足柯西中值定理条件,令,因此,即,分析:,4.试证至少存在一点,2023年11月6日星期一,23,使,法2 令,则 f(x)在 1,e 上满足罗尔中值定理条件,使,因此存在,4.试证至少存在一点,2023年11月6日星期一,24,使,法3 令,则 f(x)在 1,e 上满足零点定理条件,由于,4.试证至少存在一点,故由零点定理即证！,2023年11月6日星期一,25,考研真
8、题,提示：,2023年11月6日星期一,26,法国数学家,他是一位律师,数学,只是他的业余爱好.,他兴趣广泛,博,览群书并善于思考,在数学上有许多,重大贡献.,他特别爱好数论,他提出,的费马大定理:,至今尚未得到普遍的证明.,他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中,提炼出来的.,费马(1601 1665),2023年11月6日星期一,27,法国数学家.,他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百,余年来,数学中的许多成就都直接或间,接地溯源于他的工作,他是对分析数学,产生全面影响的数学家之一.,拉格朗日(1736 1813),2023年11月6日星期一,28,法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有 27 卷.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的分析教程,无穷小分析概论,微积,分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远.,对数学的影,他是经典分析的奠人之一,他为微积分,所奠定的基础推动了分析的发展.,复变函数和微分方程方面.,一生发表论文800余篇,著书 7 本,柯西(1789 1857),
