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1、驱动微分学产生的三个问题：,1.求运动物体的瞬时速度；,2.求曲线某点处切线的斜率；,3.求最大值和最小值。,本章要介绍的内容：,1.微分中值定理,2.求极限的一个新方法,3.泰勒公式,4.函数的性态与作图,3.1中值定理,函数的极值,函数的最值,费马定理,费马定理,问题：是不是所有的极值点都是驻点？是不是所有的驻点都是极值点？,费马定理,例如,一、罗尔定理,几何解释:,如何从理论上证明？,证,注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,例如,又例如,例1,证,由介值定理,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,几何解释:,几何解释:,证,
2、分析:,弦AB方程为,作辅助函数,拉格朗日中值定理,注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,拉格朗日中值定理又称有限增量定理.,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.,微分中值定理,推论,例2,证,例3,例3,证,由上式得,三、柯西(Cauchy)中值定理,几何解释:,证,作辅助函数,例8,例8,证,分析:,结论可变形为,四、小结,Rolle定理,Lagrange中值定理,Cauchy中值定理,罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；,注意定理成立的条件；,注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.,第132页：4;8;9；10；11；15；16,
