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1、二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一兀二次方程ax2 + bx + c = 0根的分布情况设方程ax2 + bx + c = 0（a。0）的不等两根为x ,x且x 0-b 02aa - f（0） 0A 0 0 0-b ) a得出的结论O 大致图象(V ) a得出的结论综合结论(不讨论a)表二：（两根与k的大小比较）分布情况两根都小于k即x k, x k, x k一个根小于k，一个大于k即A 0A 0x k x得出的结论b 7 0旦 k 2af (k) 0得出的结论o 2aQ综合结论(不讨论a)表三：(根在区间上的分布)分布情况两根都在(m, n )内两根有且仅有一根在 (m,
2、n) 内一根在 (m, n ) 内，另一根在(p, q)(图象有两种情况，只画了一种) 内，m n p 0f (m) 0f (n) 0bm n2af (m). f (n) 0f (n) 0 J f (m) f (n) 0 f (P) 0 或|f (P) f (q) 0得出的结论A 0f (m ) 0f (n ) 0bm n2af (m) f (n) 0f (m)。J f (m) f (n ) 0 或I f (P) f (q) 0f (q) 0根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间饥疽外，即在区间两侧气n，(图形分别如下)需满足的条件是(1) a 0 时，f (m ) 0 f(n)。(2)
3、 a 0f G) 0对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：(1)两根有且仅有一根在m,n)内有以下特殊情况：1。若f (m) = 0或 f (n) = 0，则此时 f (mf (n) 0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n， 可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(m,n)内，从而可以求出参数的值。如方程mx2 -(m + 2)x + 2 = 0 在区间(1,3)上有一根，因为 f (1)= 0，所以mx2-(m + 2)x + 2 = (x-1)(mx-2)，另一根为，由 1 3m m，2。，得3 m 2即为所求；2。方程有且只有一根，且这个根在区间(m, n)内，即A =
4、 0，此时由 = 0可以求出参数的值，然后再将参数 的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程 x2 - 4mx + 2m + 6 = 0有且一根在区间(一3, 4内，求m的取值范围。分析：由f (-3)Zf (0) 0即 (14m + 15)(m + 3) 0 得出 一3 m -15 ；由 A = 0 即 16m2 -4(2m + 6)= 0 得出 m = -1 或 m = 3，当142m = -1时，根x = -2 (-3,0)，即m = -1满足题意；当m = 3时，根x = 3 W(-3,0)，故m = 3不满足题意；综上分析，得出-3 m
5、-15或m = -114根的分布练习题例1、已知二次方程(2m +1)x2 -2mx+(m-1)= 0有一正根和一负根，求实数m的取值范围。例3、已知二次函数y =(m + 2)x2 一 (2m + 4)x + (3m + 3)与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数 m的取值范围。例4、已知二次方程mx2 +(2m-3)x + 4 = 0只有一个正根且这个根小于1，求实数m的取值范围。例5、设A = -2,4)，b = xx 2 一 - 4 0，若B( A，求实数a的取值范围.变式：已知方程x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0的两个根都属于(-3, 3)，且其中至少有一个根
6、小于1，求m的取值范围.例6、已知方程4x2 + 2(m -1)x + (2m + 3) = 0(m e R)有两个负根，求m的取值范围.例7、求实数m的范围，使关于x的方程x2 + 2(m -1)x + 2m + 6 = 0 .(1) 有两个实根，且一个比2大，一个比2小.(2) 有两个实根a, P，且满足0 a 1 P 4 .(3) 至少有一个正根.例8、已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. 若方程有两根，其中一根在区间(一1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.例9、已知二次方程mx2 + (2m -1)x- m +
7、 2 = 0的两个根都小于1，求m的取值范围.例10、已知a是实数，函数f (x) = 2ax2 + 2x-3-a，如果函数y = f (x)在区间1，1上有零点，求a的取值范围例11、若关于x的方程x2+(a-1)x+1=0有两相异实根，且两根均在区间0,2上，求实数a的取值范围.例12、若方程X2 + (k - 2)X + 2k -1 = 0的两根中，一根在0与1之间，另一根在1与2之间，求k的取值范围。例13、关于X的方程x2-ax+a2-7=0的两个根一个大于2,另一个小于2,求实数a的取值范围.2、二次函数在闭区间m,n上的最大、最小值问题探讨,f (n) f G)= min f (m) f -白min若-打 m, n ，则 fG maxf(m)f-京(2)若 一 2 -1(1)E = 2 + y；(2) =工 + 乂5+3j/15例2、求 二公+方的最大值和最小值，使式中的工、A满足约束条件0a 0,例4、已知x、y满足约束条件，尸兰0,贝0(x+3)2+y2的最小值为() 妇广1.A而 B 2也C. 8D. 103+2y 0,7 0
