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1、第5章 临界力的近似解法,第5章 临界力的近似解法,Timoshenko 能量法瑞利里兹法勃布诺夫伽辽金法有限差分法,5.1 Timoshenko 能量法,在临界力作用下，体系从一种平衡状态过渡到另一种平衡状态时，应变能的增量与外力功的改变应该相等。UW(1)根据这一条件即可确定临界荷载。UW：体系是稳定的UW：体系是不稳定的,如图所示受外力N作用的两端铰支杆，应变能增量和外力功的增量都是从压杆的直线平衡状态算起。应变能增量：(2)外力功的增量：(3)将(2)、(3)代入(1)，得：,(4),按Timoshenko 能量法计算临界荷载时，需要假定变形曲线；按Timoshenko 能量法计算得到
2、的临界荷载通常是近似的临界荷载；临界荷载的近似程度取决于假定的变形曲线与实际变形曲线的接近程度；通常由Timoshenko 能量法计算得到的临界荷载都大于精确值。,(1)设利用边界条件x=0，x=l时，v=0，得：c=0，b=-al v=a(x2-lx)因而：代入式(4)，求得临界荷载：精确值：误差：,(2)设满足边界条件x=0，x=l时，v=0因而：代入式(4)，积分后求得临界荷载：精确值：误差：,(3)设满足边界条件x=0，x=l时，v=0因而：代入式(4)，积分后求得临界荷载：精确值：误差：,Timoshenko 能量法求解临界荷载，可避免建立和求解联立方程，但需设定屈曲时变形曲线；Ti
3、moshenko 能量法求解临界荷载的关键是假定的变形曲线必须合适，尽可能接近实际屈曲形式且便于计算；假定的变形曲线应尽可能地满足较多的边界条件；假定的变形曲线形状必须合理；假定的变形曲线方程必须便于积分运算；,U选用不同的表达形式，导致不同的近似程度(1)若 则因而：临界荷载：精确值：误差：,(2)若 则因而：临界荷载：精确值：误差：,变形曲线的一般形式(5)式中：满足给定边界条件的函数；ai 未知常数参变数(广义坐标)。代入式(4)：(6)为求得临界荷载，应选择ai使N为最小，即N取极小值的条件：(i=1,2,3,n)所以：(7),(7)式中：同理：代入式(7)，可得：(i=1,2,3,n
4、)令：(i=1,2,3,n)则：(i=1,2,3,n)(8),(8)式可展开为：参数ai不能全等于零，故系数行列式应等于零，即(9)(9)式为稳定方程微分方程 n个齐次线性代数方程,5.2 瑞利里兹法,瑞利里兹法是建立在势能驻值原理基础上的近似方法。瑞利里兹法是采用具有n个广义坐标的位移函数近似代替真实的位移曲线。瑞利里兹法是将具有无限多个变量的泛函变分问题转化为有限多个变量的函数极值问题。设失稳时的变形曲线如下：(10)临界状态的变形状态就取决于参数a1、a2、an。,总势能的变分：由稳定的能量准则，有 为微小的任意值，所以：(i=1,2,3,n)(11)在线性问题中，势能可表示为：将式(1
5、0)代入上式，可得：(12),将式(12)代入式(11)，可得：(i=1,2,n)进而可得，稳定方程：(13)式中：由稳定方程，可以确定临界荷载。由解变分问题获得稳定方程的方法，称为瑞利里兹(Rayleigh-Ritz)法,举例：一端固定，一端自由的压杆，受轴力N作用，用瑞利里兹法确定其临界力。设变形曲线代入势能表达式：由 可得：误差：,设变形曲线代入势能表达式：令 及 可得：可得稳定方程：式中：展开行列式：，可解得：误差：,若势能表达式取:仍取变形曲线任意截面弯矩：，其中：，故：总势能：由 可得：误差：,5.3 勃布诺夫伽辽金法,勃布诺夫伽辽金法是建立在虚位移原理基础上的近似方法；近似变形曲
6、线应同时满足几何边界条件及静力边界条件；根据虚位移原理：(14)设位移函数：(15)则：将(15)代入(14)，则：,为任意值，可得伽辽金方程组：(i=1,2,n)(16)将式(15)代入式(16)，经积分，可得到含有n个参数ai的线性齐次代数方程；令ai的系数行列式D=0，从而确定临界荷载。伽辽金方程与里兹法方程，都满足同一能量关系，两种方法的结果一致;伽辽金方法的优点是经过积分运算直接得到线性方程组，而瑞利里兹法须进行微分运算；,伽辽金方程组的其他形式：(i=1,2,n)(17)或：(i=1,2,n)(18)举例：用伽辽金法确定一端固定一端铰支压杆临界荷载。取试解位移函数：满足几何边界条件
7、：x=0及x=l时，v=0;x=l时，v=0;满足静力边界条件：M0=0，即x=0时，v=0;,由位移函数，可得：代入伽辽金方程：积分运算后，可得：误差：,5.4 有限差分法,差分法是求解微分方程的数值解法；差分法的基本原理就是以函数的差分近似地去代替函数的微分，使微分方程转化为差分方程来求解；差分法属于应用静力准则求解稳定问题的近似方法；差分法只能得到微分方程的数值解，而不能得到挠度函数的解析式。,5.4.1 差分公式,如图所示函数v=f(x)f(x)在i点的一阶导数以fi表示，可近似表示为：(19a)或(19b)或(19c)式a)、b)、c)分别称为：向前差分/向后差分/中间差分,对一阶导
8、数的差分公式进行差分，可得二阶导数的差分公式：(20)同理，可得更高阶导数的差分公式：(21)(22)利用差分公式代替各阶导数，其误差随h的减小而减小，通过增加分段数可以提高计算精度。,对于边界上的节点，其差分公式包含边界外的假想节点的函数值，通常可以根据几何或力学条件确定界外节点与界内节点间的关系。简支端：及固定端：及自由端：及,5.4.2 差分法的应用（1）两端铰支压杆压杆屈曲微分方程：边界条件：由式(20)，任意节点i的二阶导数:代入微分方程：或(23),N,a)压杆2等分（n=2，h=l/2）i=1处差分方程：考虑边界条件：v0=v2=0，得：临界荷载：误差：b)压杆3等分（n=3，h
9、=l/3）i=1，2处差分方程：根据对称性(v1=v2)，边界条件v0=v3=0，得：临界荷载：误差：,c)压杆4等分（n=4，h=l/4）i=1，2处差分方程：考虑边界条件(v0=0)及对称性(v1=v3)，则：令 则：稳定方程：展开：有：临界荷载：误差：,（2）一端固定一端铰支压杆压杆屈曲微分方程：边界条件：由式(20)、(22)，可得任意节点i的差分方程:a)压杆2等分（n=2，h=l/2）i=1处差分方程：由i=0,2处边界条件：v0=0,v-1=v1,v2=0,v3=-v1得：临界荷载：误差：,N,b)压杆3等分（n=3，h=l/3）i=1,2处差分方程：边界条件：简支端(v3=0,
10、v4=-v2),代入差分方程，得：固结端(v0=0,v-1=v1)其中稳定方程：，解之得：临界荷载：误差：,c)压杆4等分（n=4，h=l/4）i=1,2,3处差分方程：边界条件：简支端(v4=0,v5=-v3),代入差分方程，得：固结端(v0=0,v-1=v1)其中稳定方程：，解之得：临界荷载：误差：,5.4.3 里查森外推法,考察两端铰支压杆，分段数及求解误差误差可表示为：e=ch2，c为常数。若n1、n2为分段数，h1=l/n1,h2=l/n2。设S1、S2为差分法求得的近似解，S为精确解，则：,两端铰支压杆n1=3，S1=9，n2=4，S2=9.3728所以：临界荷载：误差：一端铰支一端固结n1=3，S1=16.063，n2=4，S2=17.7728所以：临界荷载：误差：,小结,Timoshenko 能量法求解临界荷载，可避免建立和求解联立方程，但需设定屈曲时变形曲线；瑞利里兹法是将具有无限多个变量的泛函变分问题转化为有限多个变量的函数极值问题。勃布诺夫伽辽金法是建立在虚位移原理基础上的近似方法，近似变形曲线应同时满足几何边界条件及静力边界条件；差分法属于应用静力准则求解稳定问题的近似方法，其基本原理就是以函数的差分近似地去代替函数的微分，使微分方程转化为差分方程来求解；,
