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1、第九章 用伽辽金法导出有限元方程,9.1 伽辽金方法,一、加权余量法,当微分方程不易求得精确解时，可以用加权余量法求得一个近似解。,假定u(x)为上微分方程的精确解， 为近似解。,余量,9.1 伽辽金方法,一、加权余量法,9.1 伽辽金方法,一、加权余量法,9.1 伽辽金方法,一、加权余量法, 权函数,权函数的取法可以是各种各样的，从而得到不同的加权余量法，常用的方法包括配点法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法。,9.1 伽辽金方法,一、加权余量法,（i=1，2，n， ）,与,当m=n时，则可确定出待定系数ci,9.1 伽辽金方法,二、伽辽金法,（i=1，2，n， ）,（i=1，2，m）,
2、9.1 伽辽金方法,二、伽辽金法,例：用伽辽金法求解下二阶常微分方程,解：,9.1 伽辽金方法,二、伽辽金法,9.1 伽辽金方法,二、伽辽金法,9.2 二维稳态热传导微分方程,对于二维稳态热传导，各向同性热传导微分方程提法为,质量密度,单位质量热源物质在单位时间内的生热率,热传导系数,9.3二维稳态热传导有限元方程,一、有限元方程,有n个结点的一个单元内的温度场设为,微分方程的余量,9.3二维稳态热传导有限元方程,一、有限元方程,9.3二维稳态热传导有限元方程,一、有限元方程,上,9.3二维稳态热传导有限元方程,一、有限元方程,9.3二维稳态热传导有限元方程,一、有限元方程,9.3二维稳态热传
3、导有限元方程,一、有限元方程,热传导刚度矩阵,温度载荷列阵,9.3二维稳态热传导有限元方程,一、有限元方程,9.3二维稳态热传导有限元方程,二、三结点三角形单元,单元结点温度列阵,9.3二维稳态热传导有限元方程,二、三结点三角形单元,9.3二维稳态热传导有限元方程,二、三结点三角形单元,9.3二维稳态热传导有限元方程,二、三结点三角形单元,热传导刚度矩阵,9.3二维稳态热传导有限元方程,二、三结点三角形单元,如果单元的热源密度 Q为常数，由内部热源产生的温度载荷列阵,9.3二维稳态热传导有限元方程,三、四结点等参元,对四结点等参元，须要导数变换,例 厚壁圆筒内半径为0.3m，外半径为0.5m ,圆筒内壁温度500C，外壁温度100 C，圆筒两端设为绝热，材料的导热系数为7.5W/(mK)，求沿圆筒壁厚方向的温度场。,例 厚壁圆筒内半径为0.3m，外半径为0.5m ,圆筒内壁温度500C，外壁温度100 C，圆筒两端设为绝热，材料的导热系数为7.5W/(mK)，求沿圆筒壁厚方向的温度场。,本次课结束,
